Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования. Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов. Совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления. Знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
В метапредметном направлении.
Воспитание культуры личности, отношения к геометрии как к части общечеловеческой культуры, формирование понимания значимости геометрии для научно-технического прогресса.
В направлении личностного развития.
Формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Понятие производной»
Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 11 классе.
Тема: «Понятие производной».
Тип урока - урок изучения нового материала.
Цели урока:
В предметном направлении.
Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования. Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов. Совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления. Знакомство с основными идеями и методами математического анализа.
В метапредметном направлении.
Воспитание культуры личности, отношения к геометрии как к части общечеловеческой культуры, формирование понимания значимости геометрии для научно-технического прогресса.
В направлении личностного развития.
Формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей.
Задачи урока:
В предметном направлении.
- Рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной.
- Ввести определение производной.
- Рассмотреть производные элементарных функций.
В метапредметном направлении.
Сформировать представления учащихся о понятии производной функции как о неотъемлемой части окружающего нас мира, об использовании приобретённых знаний и умений в практической деятельности. Показать учащимся способы описания практической жизненной задачи на математическом языке, интерпретировать результаты решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений. Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.
В направлении личностного развития.
Воспитывать у учащихся интерес к математике. Формировать умение слушать и вступать в диалог, понимать партнера, уметь договариваться; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и учителем; правильно выражать свои мысли в речи; смыслообразование; самоопределение; установление связи между целью учебной деятельности и определением того, «какое значение, смысл имеет данная тема для меня»; участие в коллективном обсуждении проблем; планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, формировать адекватную самооценку.
Учебные материалы урока. 1) Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 1 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / ; под ред. А.Г.Мордковича.- 10-е изд., стер.- М.:Мнемозина, 2010.
2) Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / ; под ред. А.Г.Мордковича.- 10-е изд., стер.- М.:Мнемозина, 2010.
Техническое оснащение: компьютер, презентация к уроку.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Целеполагание и мотивация.
3. Изучение нового материла (в виде лекции).
4. Организация первичного контроля.
5. Информация о домашнем задании.
6. Рефлексия (подведение итогов урока).
Описание основных этапов урока.
1. Организационный момент.
Цель: создание благоприятного психологического настроя на работу.
Планируемые результаты.
Личностные: самоопределение. Регулятивные: прогнозирование своей деятельности.
Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог.
Деятельность учеников: приветствие, включение в деловой режим урока. Деятельность учителя: Приветствие, проверка готовности учащихся к уроку, организация внимания.
2. Целеполагание и мотивация.
Цель: обеспечение мотивации учения учащимися, принятие ими цели урока.
Планируемые результаты.
Личностные: установление связи между целью учебной деятельности и определением того, «какое значение, смысл имеет данная тема для меня». Регулятивные: целеполагание, планирование, прогнозирование. Коммуникативные: участие в коллективном обсуждении проблем; умение слышать, слушать и понимать партнера; планировать и согласованно выполнять совместную деятельность; уметь договариваться; вести дискуссию; правильно выражать свои мысли в речи; уважать в общении и сотрудничестве партнера и самого себя. Познавательные: самостоятельное исследование, поиск, формулирование познавательной цели; рефлексия способов и условий действия. Логические: подведение под понятие; построение логической цепи рассуждений; выдвижение гипотез и их обоснование.
Объявление темы урока. Совместная постановка цели урока.
Фронтальная беседа с классом.
На предыдущих уроках мы ввели понятия «приращение аргумента» и «приращение функции», научились находить отношение приращения функции к приращению аргумента, а также предел этого отношения при условии, что Δx.
Эти понятия позволят нам рассмотреть задачи, которые приведут нас к очень важному в математике понятию – понятию «производной».
3. Изучение нового материла (в виде лекции).
Цель: рассмотрение задач, приводящих к понятию производной; введение определения производной; нахождение производных элементарных функций по определению.
Планируемые результаты.
Познавательные: структурирование знаний, осознание и производство речевого высказывания, построение модели – преобразование объекта из чувственной формы в знаково-символическую, преобразование модели с целью выделения общих законов. Регулятивные: контроль в форме сличения действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона, предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик. Коммуникативные: умение слушать и вступать в диалог; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество с учителем; правильно выражать свои мысли в речи. Личностные: смыслообразование.
Объяснение учителем нового материала (сопровождается презентацией).
I. Задачи, приводящие к понятию производной.
Задача о скорости движения.
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t.
Решение: Пусть в момент времени t тело находится в точке М.
Дадим аргументу t приращение Δt, за это время тело переместится в некоторую точку Р, т.е. пройдёт путь ΔS.
Итак, за время Δt тело прошло путь ΔS.
Что можно найти, зная эти два значения?
, т.е. среднюю скорость движения тела за промежуток времени .
Определение: Средней скоростью движения тела называется отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь пройден.
В физике часто идёт речь о скорости v(t), т.е. скорости в определённый момент времени t, часто её называют мгновенной скоростью.
Можно рассуждать так: мгновенную скорость получим если Δt, т.е. Δt выбирается всё меньше и меньше, т.е.
Можно указать ещё много задач из физики, геометрии (учебник, стр.157 – 159), для решения которых необходимо отыскать скорость изменения соответствующей функции.
Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, отыскание теплоёмкости тела при нагревании, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени и т.п.
Все эти задачи требуют для своего решения нахождения скорости изменения соответствующей функции.
Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства.
Этот предел называется производной функции.
II. Определение производной.
Определение: Производной функции y = f(x) в данной точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.
Обозначение производной: . Тогда или
Если внимательно проанализировать определение производной, то мы обнаружим, что в нём заложен алгоритм её нахождения.
С помощью этого алгоритма можно найти производную любой функции, т.е. получить таблицу производных, а также доказать правила вычисления производных, которыми в дальнейшем мы и будем пользоваться.
4. Организация первичного контроля.
Первый пример учитель рассматривает совместно с учащимися с оформлением решения на доске и образцом записи в тетради. Все следующие примеры решаются учащимися либо самостоятельно с последующей проверкой, либо работой в группах (учитель – консультант), либо один учащийся выполняет работу на доске, остальные ведут запись решения в тетради.
Пример 1.
Найти производную функции y = C.
Решение: f(x) = C.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4..
Значит, = 0 или производная постоянной равна нулю.
Пример 2.
Найти производную функции y = x.
Решение: f(x) = x.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4..
Значит, = 1.
Пример 3.
Найти производную функции y = x2.
Решение: f(x) = x2.
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4..
Значит, = 2x.
Пример 4.
Найти производную функции y =.
Решение: f(x) = .
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4..
Значит, = k.
Пример 5.
Найти производную функции y =.
Решение: f(x) = .
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4..
Значит, = .
Пример 6.
Найти производную функции y =.
Решение: f(x) = .
1.Возьмём два значения аргумента x и x + Δx.
2.
3.
4.
Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое числителю
Значит, = .
Таким образом, с помощью определения производной, можно найти производную любой функции.
Запишем найденные производные в таблицу и в дальнейшем будем ей пользоваться.
5. Информация о домашнем задании.
Цель: обеспечение понимания учащимися целей и содержания домашнего задания.
Планируемые результаты.
Познавательные: поиск и выделение информации.
6. Рефлексия (подведение итогов урока).
Цель: качественная оценка работы класса и отдельных учащихся. Организовать рефлексию учащихся по поводу их психологического состояния, мотивации собственной деятельности и взаимодействия с окружающими.
Планируемые результаты.
Регулятивные: оценка – осознание уровня и качества усвоения материала; контроль. Личностные: нравственно-этическое оценивание, смыслообразование. Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Познавательные: рефлексия способов и условий действия.
Ученикам предлагается высказать мнение по поводу урока.
Рассмотрим прямолинейное движение некоторого тела. Закон движения задан формулой S = S(t), т.е. каждому моменту времени t соответствует определённое значение пройденного пути S. Найти скорость движения тела в момент времени t. 
