Понятие о непрерывности функции. Производная. Понятие о производной,её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции

Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края

«Лабинский социально-технический техникум»

Методическая разработка

урока математики

по теме:

«Понятие о непрерывности функции. Производная. Понятие о производной,её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции»

Подготовила:

преподаватель математики

Пятакова З.В.

Лабинск, 2017

«Понятие о непрерывности функции.Производная.Понятие о производной, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции»

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие производной, познакомить с ее физическим и геометрическим смыслом, с алгоритмом нахождения производнойрассмотреть задачи, приводящие к понятию производной, закрепить умение применять физический и геометрический смысл производной на конкретных примерах.

Развивающие: расширение кругозора учащихся, формирование умений применять приёмы сравнивания, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления, речи, умение комментировать, развитие учебно-познавательных компетенций учащихся

Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи, привитие навыков самооценки, умения работать в коллективе, умения правильно оценивать работуодногруппников,прививать интерес к предмету.

Форма учебной деятельности: групповая.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Изучение нового материала.

4. Закрепление изученного материала.

5. Итог урока.

6. Самостоятельная подготовка.

7. Релаксация.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал (карточки с заданиями, основными формулами)

Тип урока: комбинированный

Ход урока

1. Организационный момент

Эпиграфом к сегодняшнему уроку будут слова Ломоносова

“Примеры учат больше, чем теория”.

Введение в тему, знакомство с целями и задачами урока.

2. Актуализация знаний.

Фронтальный опрос.

• Дать определение функции.

• Какие функции вы знаете

• Как строятся графики функций? (назовите алгоритм построения)

(Рассказ преподавателя с элементами фронтальной беседы)

Существует множество задач совершенно разных по смыслу, но при этом есть математические модели, которые позволяют рассчитывать решения наших задач совершенно одинаковым способом. Например, если рассмотреть такие задачи как:
а) Есть некоторый счет в банке, который постоянно изменяется один раз в несколько дней, сумма постоянно растет, требуется найти с какой скоростью растет счет.
б) Завод выпускает конфеты, есть некоторый постоянный прирост выпуска конфет, найти насколько быстро увеличивается прирост конфет.
в) Скорость движения автомобиля в некоторый момент времени t, если известно положение автомобиля, и он движется по прямой линии.
г) Нам дан график функции и в некоторой точке к нему проведена касательная, требуется найти тангенс угла наклона к касательной.
Формулировка наших задач совершенно разная, и, кажется, что они решаются совершенно разными способами, но математики придумали как можно решить все эти задачи совершенно одинаковым способом. Было введено понятие производной.
Термин производная ввел великий математик – Ж.Лагранж, перевод на русский язык получается из французского слова derivee, он же и ввел современные обозначения производной.
Рассматривали понятие производной в своих работах Лейбниц и Ньютон, применение нашему термину они находили в геометрии и механики соответственно.
Чуть позже мы с вами узнаем, что производная определяется через предел, но существует небольшой парадокс в истории математики. Математики научились считать производную раньше, чем ввели понятие предела и собственно поняли, что же такое производная.

Прежде чем мы с вами приступим к изучению производной, рассмотрим понятие о непрерывности функции, без которого невозможно говорить о производной.

Слух, зрение, восприятие ультразвука, используемые многими биологическими видами – все эти явления связаны с колебательными процессами, описание которых достигается с помощью тригонометрических функций y = sin x, y = cos x.
А представьте себе графики этих функций. Они представляют собой сплошную линию, т.е. линию, которую можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Это – графики непрерывных функций. Наша с вами задача построить строго математическую модель понятия непрерывности функции. И начнем с непрерывности функции в точке.
Нам предстоит изучить новое понятие математики – непрерывность функции в точке.

– Рассмотрите графические иллюстрации понятия предела функции в точке. Ответьте на вопрос:

– Есть ли предел функции в указанной точке? Если есть, то чему он равен. Если нет – то объясните почему.

(Рисунки учитель заранее приготовил на доске, они выполнены цветным мелом)

Дорисуйте график функции так, чтобы в точке х ₀ = 1 функция:

а) имела предел,
б) не имела предела.

Мы повторили теоретический материал, а теперь для знакомства с новым понятием, я попрошу рассмотреть Вас на доске графики следующих функций:

Ответим на вопросы:

1. Определена ли функция в данной точке?

2. Является ли указанная точка внутренней точкой области определения?

3. Имеет ли функция предел в указанной точке?

4. Равен ли предел значению функцию в данной точке?

Вывод: функцию называют непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке.
– Давайте выделим характерные признаки непрерывности:

• a  D(f);

• x = a – внутренняя точка области определения;

• существует предел функции в точке х = а;

• предел функции в точке х = а равен значению функции в точке х = а.

Вывод из работы учеников: непрерывными в точке х = а являются графики № 1 и № 3.

– А что можно сказать про функцию №6 в точке х = 0?

Наряду с непрерывностью функции в точке рассматривают одностороннюю непрерывность (справа и слева), определяя ее равенствами
f (a + 0) = f (a) или f (a – 0) = f (a).

Вопрос: Назовите функцию, которая имеет одностороннюю непрерывность в точке? (Ответ: чертеж № 6)

Определение. Функция f(x), непрерывная в каждой точке интервала (а, b), называется непрерывной на этом интервале.

Определение. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна на интервале (а, b), и в точке а непрерывна справа, а в точке b – непрерывна слева.

А теперь приступим к введению понятия производной:

Рис. 1. График функции .

Рассмотрим функцию , ее график и дадим физическую интерпретацию.

Построим систему координат и кривую  (см. рис.1), где

 независимая переменная или аргумент (время),

 – зависимая переменная или функция (расстояние),

 – закон или правило, по которому каждому значению  ставится в соответствие только одно значение .

Зафиксируем момент времени  (см. рис.2). В этот момент времени можно вычислить по заданному закону  , т.е. имеем точку . Эта точка показывает, что в данный момент времени , расстояние -  . Дадим аргументу приращение , т.е. прошло некоторое время . Момент времени, который будет рассматриваться  - это  .

Рис. 2. Секущая к графику функции .

 – приращение аргумента – это разность между новым значением аргумента и старым.

Итак, в новый момент времени, расстояние (от дома) - . Это расстояние можно вычислить по заданному закону, т.е. если подставить в функцию новое значение независимой переменной (аргумента), то можно вычислить новое значение функции. Так получилась точка . В результате получилась секущая , которая наклонена к оси   под углом .

 – секущая,  – ее угол наклона. Этот угол, во – первых, в верхней полуплоскости и, во – вторых, с положительным направлением оси .

Рассмотрим треугольник  (см. рис.3). Он прямоугольный. В этом треугольнике острый угол – это угол -  угол  наклона секущей. Один из катетов - это приращение аргумента, а второй катет – это разность между значением функции в новой точке и значением функции в старой точке.

Рис. 3. Приращение функции и приращение аргумента.

Величина  называется  – приращение функции и вычисляется как разность значений функции в новый момент времени минус значение функции в старый момент времени

.

Рассмотрим отношение  , где  – приращение функции,  – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения  .

Рис. 4. Физический и геометрический смысл отношения   .

Рассмотрим отношение  , где  – приращение функции,  – приращение аргумента (см. рис.4).

Из физических соображений ясно, что отношение расстояния ко времени – это средняя скорость . В этом заключается физический смысл отношения  .

С другой стороны отношение катета  к катету  – это тангенс угла  – тангенс угла наклона секущей, т.е. геометрический смысл отношения   – это тангенс угла наклона секущей  .

Пусть . Понятно, что и . Точка  будет стремиться к точке , а положение секущей  будет стремиться занять положение касательной в точке  к кривой   (см. рис.4). Имеем

Зафиксируем эту касательную,  – угол наклона этой касательной. Если зафиксировать точку , то отношение   зависит только от величины .

Если отношение    при стремится к какому-то числу, то это число называется производной функции  в точке  и обозначается .

Определение. Производной функции  в точке  называется число, к которому стремится разностное соотношение    при

Определение производной с помощью пределов.

Предел при разностного отношения  , если он существует, называется производной функции в точке  и обозначается .

Рассмотрим физическую задачу, при решении которой мы с вами придем к понятию производной:

Механическая задача.

Итальянский ученый Г. Галилей, изучая свободное падение тел, экспериментальным путем определил зависимость пути S, пройденного телом за время t: S = gt²/2, где g – ускорение свободного падения. При свободном падении скорость тела v растет, движение неравномерное. Как найти скорость тела в любой момент времени, т.е. мгновенную скорость v(t)? Мы знаем, что при равномерном движении v=S/t. При неравномерном движении по этой формуле находится средняя скорость на всем пути: v_ср=∆S/∆t. Рассмотрим два момента времени: t и t+∆t, причем ∆t – малый промежуток времени. Тогда за этот промежуток времени тело пройдет путь ∆S=S(t+∆t) – S(t) и v_ср=∆S/∆t. Если ∆t0, то v_срv(t), значит.= v(t), v(t)

Вывод. Физический смысл производной заключается в том, что мгновенная скорость – это производная пути по времени:

v = S^′ (t)

Вспомним определение ускорения: а = ∆v/∆t, но если ∆t0, то

а = Итак,задача механики о нахождении скорости тела в любой момент времени решена. Нужно только вычислить предел отношения приращения пути к приращению времени, если приращение времени стремится к нулю, т. е. найти производную пути.

Еще одна задача, приводящая к понятию производной, – задача о касательной к графику функции 𝒚 = f(𝑥).

Геометрическая задача:

Рассмотрим график непрерывной функции и проведем в точке А секущую и касательную к графику

Прямая АВ – секущая, ee уравнение y = k_секх +b, где k_сек – угловой коэффициент секущей,

k_сек =∆y/∆x = tgα_сек, где α_сек – угол наклона секущей (отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки).

Пусть ∆х стремится к нулю, тогда секущая стремится к своему предельному положению – к касательной в точке А, т. е. угловой коэффициент касательной равен пределу углового коэффициента секущей: = k_кас, причем k_кас = tgα, где α - это угол наклона касательной, отсчитываемый от положительного направления оси Ох.

Значит, k_кас= tgα =

Вывод.Геометрический смысл производной заключается в том, что угловой коэффициент или тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке с абсциссой 𝑥 равен производной функции в этой точке:

k_кас = tgα = f^′ (𝑥)

Алгоритм нахождения производной функции y=f(x).
а) Зафиксировать значение x, найти f(x).
б) Найти приращение аргумента x+ Δx, и значение приращения функции f(x+ Δx).
в) Найти приращение функции Δy= f(x+ Δx)-f(x).
г) Составить соотношение: Δy/Δx
д) Вычислить


- это и есть производная нашей функции.

Дифференцирование функции

Если функции y=f(x)имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процесс нахождения производной называют дифференцированием функции y=f(x).
Вернемся к вопросу непрерывности функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке, тогда к графику функции в этой точке можно провести касательную, функция не может иметь разрыв в этой точки, тогда нельзя провести касательную.
И так запишем выше сказанное как определение:
Определение: Если функция дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Однако, если функция непрерывна в точке, то это не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но касательную провести нельзя, а значит и производной не существует.

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловойкоэффициент и координаты одной точки.

Начнём с углового коэффициента:

Рис.5

Рассмотрим график функции y = f(x)  дифференцируемой в точке А(x₀, f(x₀)) (рисунок 5).
Выберем на нём точку M(x₀ + Δх, f(x₀+ Δх)) и проведем секущую AM.
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT. Другими словами AT, обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x₀, f(x₀)).

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f '(x₀). Значение производной в точке х₀ примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей  при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x₀, f(x₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f '(x₀) . В этом состоит геометрический смысл производной

Определение касательной: Касательная    к    графику   дифференцируемой    в точке х₀функции f  — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f '(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x)  в точках х₁, х₂, х₃,  (рисунок 6) и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направ­лении от положительного направления оси до прямой.)

Рисунок 6

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна осиОх. Тангенс острого угла   положителен,   тупого — отрицателен. Поэтому  f '(х₁)0, f '(х₂) = 0, f '(х₃)