План урока. Определенный интеграл.

ПЛАН УРОКА

Тема урока: «Определенный интеграл и его приложения»

Тип урока: повторительно-обобщающий

Цель урока:

а) обучающая: закрепление навыков в решении задач с приложением определенного интеграла;

б) воспитывающая: сознательное усвоение материала;

в) развивающая: обучение учащихся умозаключениям.

1. Организационный момент.

а) отметить в журнале отсутствующих учащихся;

б) проверить готовность учащихся к уроку (наличие у учащихся тетрадей, учебников, чертежных

инструментов);

в) проверить подготовленность классного помещения к уроку (чистота, классная доска, мел,

таблицы).

1. Провести фронтальный письменный опрос всех учащихся по вопросам:

1) записать формулы интегрирования;

2) сформулировать свойства определенного интеграла;

3) записать формулы для вычисления площадей, объемов тел вращения, давления жидкости и работы силы с помощью определенного интеграла.

Устный опрос:

1) Вычисление определенного интеграла с помощью неопределенного.

Формула Ньютона-Лейбница;

2) Способы интегрирования.

Решить примеры на вычисление определенного интеграла способами:

а) Непосредственное интегрирование:

б) Способ подстановки:

Вычислить

Пусть

Вычислим новые пределы интегрирования:

Получим новый интеграл:

в) Способом интегрирования по частям:

Формула интегрирования по частям имеет вид:

Пример. Вычислить

Полагая u=lnx, dv = dx, находим и v=x.

Применяя формулу интегрирования по частям:

3) Вопрос.

Какие площади вычисляем с помощью определенного интеграла?

Показать геометрическое их изображение.

у у у

м

S

S₁ S₂ S

а о в c х о а х о а в х

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс.

Решение. Парабола лежит под осью абсцисс, потому площадь искомой фигуры будет со знаком минус. Приравнивая данную функцию к нулю, найдем пределы интегрирования: а = - 3, в=3.

Затем интегрируем:

у

Вопрос к группе:

Назвать более рациональный способ решения.

Ответ: -3 0 3 х

4) Задача.

Вычислить объем шара, образованного вращением полуокружности х²+у²=16 вокруг оси ОХ.

Решение. Находим пределы интегрирования:

х² = 16, х = + 4

у²=16-х²

Применяем формулу: =

(куб.ед.).

Вопрос. Назвать рациональный способ вычисления.

5) Задача. Найти силу давления, испытываемого плотиной, имеющей форму трапеции, параллельные основания которого равны 40 м.и 15 м.и высота 8 м. Верхнее основание плотины лежит на поверхности воды.

A Z E B =

Из подобия треугольников AQE и CQFполучаем:

C K F h

8 D следовательно:

Q

Давление вычислено по формуле:

6) Задача. Из цистерны цилиндрической формы с радиусом основания 2 м и высотой 3 м нужно выкачать воду. Вычислить работу которую необходимо совершить, чтобы выкачать воду из цистерны.

Решение. Работу вычисляем по формуле:

Объем высоты слоя dx равен ΔV=πx²dx и изменение веса Р на величину ΔР=9810 πr²dx, а совершаемая работа А измененная на величину dA=9810 πr²dx.

Тогда A= Дж.

Сделать вывод.

Для того, чтобы применить определенный интеграл к решению практических задач, надо знать пределы интегрирования и подинтегральную функцию.

6) Задание на дом.

Повторить тему «Определенный интеграл и его приложение»:

Решить задачи.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

2. Найти объем тела, полученный от вращения эллипса вокруг малой оси.

3. Рессора прогибается под нагрузкой 3 т на 2 см.Какую работу нужно затратить для деформации рессоры на 3 см.

Подготовиться к контрольной работе.

Наглядные пособия к уроку:

Таблицы: а) формулы интегрирования;

б) примеры вычисления площадей с помощью определенного интеграла;

в) примеры вычисления объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.