Первообразная

Тема урока: Первообразная

Цели:

Общеобразовательные: повторить понятие производной функции, ее физический смысл, основные формулы дифференцирования;

ввести понятие первообразной функции, научить учащихся определять является ли функция F(x) первообразной для функции f(x).

Развивающие: развивать у учащихся грамотную устную и письменную математическую речь, научное мировоззрение.

Воспитательные: воспитывать умение участвовать в диалоге, понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение.

Ход урока:

I.Организационный момент (постановка цели и задач урока).

Эпиграф к уроку: «Открытие дифференциального и интегрального исчислений

невозможно было бы без фантазии» (Г.В. Лейбниц)

II. Повторение

1. Фронтальный опрос:

1.Что называется производной

2. Как называется процесс нахождения производной;

3. Назовите основные формулы дифференцирования:

а)Чему равна производная степенной функции. Назовите производную функции х⁸, х^-9, .

б) производные тригонометрических функций;

в) производная сложной функции.

4. Сформулируйте правила вычисления производных.

2. Вычислите производные функций, изображенные на слайде.

y=2sin x-4x y=tg x – cos x

3. Проверочная работа с выбором ответа (с самопроверкой) (выполняется на листочках)

Найти производную функции

Затем учащиеся сдают листочки с решениями, а свои ответы проверяют по слайду. (Количество правильных ответов соответствует полученной отметке).

III Объяснение нового материала

Задача 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону

s(t) = t³ +2t² – 5t.

Найти функцию, выражающую закон изменения скорости движения v(t)

Решение:

Учащимся предлагается составить задачу, обратную по отношению к решенной задаче.

Задача 2. Скорость прямолинейно движущейся точки изменяется по закону

.

Найти функцию s(t), выражающую зависимость перемещения точки от времени.

Решение. Так как, , то из условия следует, что

Значит, по заданной производной требуется восстановить функцию s(t).

Искомая функция s(t) называется первообразной для данной функции v(t), если

для всех t.

Вопрос: Какую функцию s(t)надо продифференцировать, чтобы получить

?

(Надо продифференцировать функцию s(t) = t³ +2t² – 5t.)

Вопрос: Как проверить, верно ли найдена первообразная функция s(t)?

(Надо найти производную полученной функции: ;

Первообразная функции s(t) найдена верно).

Вопрос: А нельзя ли первообразную функции s(t) изменить так, чтобы при этом ее производная осталась прежней?

Какое слагаемое можно прибавить к функции s(t), чтобы при этом не изменилась производная этой функции?

(Если к функции s(t) прибавить постоянное слагаемое, то это не изменит производную , т.к. производная постоянной равна нулю: )

Вопрос: Мы получили закон перемещения точки в виде s(t) = t³ +2t² – 5t; какой другой вид может иметь закон перемещения точки при заданной функции скорости

, сколько ответов имеет задача?

( Может быть

s(t) = t³ +2t² – 5t+2, s(t) = t³ +2t² – 5t+8 s(t) = t³ +2t² – 5t-1 и т.д.;

задача имеет бесконечное множество ответов.

Вопрос: Нельзя ли бесконечное множество ответов для s(t) записать в виде одной формулы, если мы установили, что к s(t) можно прибавлять любое постоянное число С?

(s(t) = t³ +2t² – 5t+С, где )

Ответ: При заданной скорости закон перемещения может выражаться

любой из функций вида s(t) = t³ +2t² – 5t+С, где С – любое действительное число.

Вопрос: как называется каждая из найденных функций s(t) для данной функции v(t)?

(s(t) – первообразная для функции v(t)).

Вопрос: Как убедиться в том, что s(t) – первообразная для функции v(t)?

(Надо проверить, что )

Отвлечемся от конкретной задачи и введем понятие функции F(x)- первообразной для функции f(x) на заданном промежутке Х.

Учащиеся формулируют определение первообразной. Учитель анализирует ответы учеников и дает определение первообразной.

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке Х, если для всех х из этого промежутка

IV. Первичное закрепление (по слайду):

1. Какая из двух функций является первообразной для другой. Запишите ответ.

1. sin x и – cos x 2. sin x и cos x 3. 4x+2 и 4 4. 5-3х и -3 5. tg x и

1. ( по слайду) Найдите какую-нибудь первообразную для заданной функции

(самостоятельно, с последующей проверкой (один ученик решает на обратной стороне доски))

Вопрос: как проверить, что полученные функции F(x) являются первообразными для соответствующих функций f(x)?

(нужно найти ; если для каждого х из указанного промежутка, то F(x) – первообразная для f(x) на этом промежутке.

V Закрепление материала: (письменно)

Выполнить № 1 (1,3,5), №2 (1,3)

1. Вопрос: Вернемся к решенной нами задаче 2: какое свойство первообразной мы заметили, решая эту задачу?

(Если к найденной первообразной прибавить любое постоянное слагаемое, то функция хотя и изменится, но останется первообразной для данной функции, т.к. производная постоянной равна нулю).

Попробуем сформулировать это утверждение в виде теоремы и доказать ее:

(ученики формулируют теорему и один ученик доказывает ее у доски)

Теорема: Если F(x) – первообразная для функции f(x) на промежутке Х, то любая функция вида

F(x)+C

Также является первообразной для f(x) на этом промежутке.

Выполнить № 3(1,3,5)

VI. Историческая справка.

Математический анализ имеет две главные составляющие его части: дифференциальное и интегральное исчисления.

Дифференцировать – значит «разделять» процесс, например, находить его мгновенную скорость в каждой отдельно взятой точке; интегрировать – значит «соединять», суммировать бесконечно малые части искомого целого.

Таким образом, операции дифференцирования («разделения») и интегрирования («суммирования») оказываются взаимно обратными (как, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня).

Инструментом для вычисления интегралов служит понятие первообразной функции. Операция нахождения первообразной является обратной по отношению к операции дифференцирования функции.

Овладев понятием первообразной функции, а затем и интеграла, мы сможем решать самые разнообразные алгебраические, геометрические и физические задачи.

VII. Итог урока: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию». Ян Амос Коменский.

VIII. Д.з. п. 1 гл. IV, № 1-3 (чет)

5