Первообразная (два урока)
(параграф 12 Ю.М. Колягин «Алгебра и начала анализа», 11 класс)
Цель – ознакомление с понятием первообразной, обучение нахождению первообразной степенной функции.
Ход 1 урока
I. Математический диктант.
Учащиеся в рабочие тетради вкладывают копировальные листы, сверху кладут контрольные листы.
Учитель читает задания дважды.
- Найдите производные функций
X3+2X2-1 sin 2x 3X3-X2+2 cos (x/3)
cosx+ex (5-2x)3 sinx+lnx (1-5x)4
log2x-tgx 2x-ctg x
- Найдите движения по закону S=S(t). Задайте закон, по которому изменяется скорость точки, если
S(t)=t4-3t2+t S(t)=2t3-5t2+1
- Вычислите скорость материальной точки в момент времени t0, если
t0=2 t0=3
Сдайте контрольные листы.
Проверим ответы. Поменяйтесь тетрадями.
Ответы:
1) 3x2+4x 2cos 2x 1) 9x2-2x - 1/3 sin (x/3)
-sin x+ex -6(5-2x)2 cos x+1/x -20 (1-5x)3
2) V(t) = 4t3-6t+1 2) V(t) = 6t2-10t
3) 21 3) 24
Поставьте рядом с верными ответами «+», рядом с неверными «-», рядом с частично верными «+».
Оцените ответ. Продиктуйте свои оценки.
II. Изучение нового материала.
Пусть материальная точка движется по закону S=S(t)
Вопрос: Как найти закон, по которому изменяется скорость точки?
Ответ: V(t) = S’(t)
Вопрос: Можно ли по заданной скорости V=V(t) найти закон движения?
S(t) – первообразная для функции V(t).
Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка F’(x) = f(x).
Примеры: 1) F(x)=sin x f(x) = cos x
2) F(x)=x4 f(x) = 4x3
Вопрос: Как проверить, является ли функция F(x)=0,5sin 2x первообразной для функции f(x) = cos2x
Ответ: F’(x)=(0,5sin 2x)’ = cos2x=f(x)
Вопрос: Выведите формулу первообразной степенной функции.
Ответ: f(x) = xn
F(x) = , n≠-1, x>0
F’(x) =
Вопрос: Найдите первообразные функций: f(x)=x2; f(x)=; f(x)=
Ответ:
Вопрос: Сколько первообразных может иметь функция?
Ответ: Множество, т.к. (F(x)+C)’=F’(x)=f(x)
Основное свойство первообразных: если F(x) – первообразная функции f(x) на некотором промежутке, то F(x)+C – первообразная функции f(x) на этом промежутке.
Таблица первообразных
Функция
xn, n≠-1
, x>0
ex
Sin x
Cos x
ax
Первообразная
F(x) = +C
Lnx+C
ex+C
-cos x+C
Sin x+C
III. Закрепление
Докажите, что F(x) есть первообразная для функции f(x)
- f(x)=0, F(x)=C
- f(x)=1, F(x)=x
- f(x)=C, F(x)=Cx
- f(x)=x, F(x)=
- f(x)=x2, F(x)=
- f(x)=sin x, F(x)=-cos x
- f(x)=, F(x)=ctg x
- f(x)=, F(x)=7x
- f(x)=(3x+7)10, F(x)=
- f(x)=cos (2x-1), F(x) = ½ cos(2x-1)+3
IV. Домашнее задание
$12, № 193(1,3,5), № 194 (3,4)
выучить конспект, обратить особое внимание на графики первообразных и задачу №4
Ход 2 урока.
I. Проверка знания предыдущего материала.
Один ученик на доске, остальные в тетрадях воспроизводят конспект предыдущего урока. Тетради сдаются через 6 минут, затем ученик, работавший у доски, рассказывает весь материал по первообразной.
II. Закрепление.
1. № 330 (учебник Колмогорова)
а) F(x)=sin2x
f(x)=sin 2x, xR
F’(x)=2sinx*cosx=sin2x=f(x)
б) F(x)= ½ cos2x
f(x)=-sin2x, xR
F’(x)= ½ (-2sin2x)=-sin2x=f(x)
в) F(x)=sin3x
f(x)=3cos3x, xR
F’(x)=3cos3x=f(x)
3. № 339(г) (учебник Колмогорова)
Ш. Домашнее задание.
$12, №193 (2), № 195 (4), № 196 (3, 4)
IV. Самостоятельная работа.
1) № 193 (6) 1) № 193 (4)
F(x)= 1-e-x, f(x)=e-x F(x)=1+sin2x, f(x)=2cos2x
F’(x)=(1-e-x)’=-e-x*(-1)=e-x=f(x) F’(x)=(1+sin2x)’=2cos2x=f(x)
2) № 194 (1) 2) № 194 (2)
3) № 195 (6) 3) № 195 (2)
4) № 196 (1) 4) № 196 (2)
f(x)=x2 f(x)=x
M(1;2) M(-1;3)
5) № 337 (а) (Колмогоров) 5) № 337 (в) (Колмогоров)
f(x)= f(x)=x3
F( ½ )=-12 F(-1)=2
