Открытый урок по алгебре по теме "Теорема Виета" в 8 классе

План-конспект урока по алгебре с учащимися 8 класса

Тема урока: Теорема Виета

Тип урока: открытие новых знаний

Технология: проблемно – диалогическая

Цель урока: изучить теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета

Задачи урока:

Образовательные:

- формировать умение применять теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета в приведенных квадратных уравнениях;

- совершенствовать навык решения квадратных уравнений;

- обеспечить мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и социализации личности учащихся.

Развивающие:

- формировать самостоятельность и коммуникативность;

- создавать условия для проявления познавательной активности учащихся;

- учить формулировать проблему, выдвигать гипотезы и искать их подтверждение, формулировать и высказывать суждения.

Воспитательные:

- воспитание личностно значимых ценностей (установка на самообразование, самооценку);

- воспитывать культуру умственного труда.

Материалы к занятию: презентация, лист самооценки (Приложение), задания на карточках, эталоны и критерии для проверки и оценки, карточки для рефлексии.

Ход урока

I.Организационный момент (1 мин)

- Приветствие учителя.

- Прочитайте высказывание Бернарда Шоу : «Единственный путь, ведущий к знаниям, - это деятельность»(Слайд 1)

- Как вы понимаете это высказывание?

-Урок не может быть вне деятельности, мы с вами будем трудиться в поисках научной истины. Пожелайте друг другу удачи.

II. Актуализация знаний(5 мин)

Заполняем на доске кластер

- Какую тему мы изучаем последние уроки? (Квадратные уравнения)

- полные, неполные, приведенные

-как решаются полные квадратные уравнения? -формула

-Запишите на доске и в тетрадях общий вид приведенного квадратного уравнения

(х² + bx + c = 0) (способ выполнения: 1 ученик у доски, остальные в тетрадях)

-Задание №1.Преобразуйте квадратное уравнение в приведенное(Слайд 2)

а) 3х² + 6х – 12 = 0

б) 2х² = 0

в) 3х² – 7 = 0

г)5х² - 10х + 2 = 0

д) 4х² – 13 = 0

- Выполним самопроверку (Слайд 3)

- Возьмите лист самооценки и поставьте себе отметку за это задание по следующим критериям:

«5» - преобразованы правильно 5 уравнений

«4» - преобразованы правильно 4 уравнения

«3» - преобразованы правильно 3 уравнения

«2» - не выполнено задание или преобразованы правильно 1-2 уравнения

- Задание №2. Решите уравнения(Слайд 4).

а) х² + 6х + 5 = 0

б) х² – х – 12 = 0

в) х² + 5х + 6 = 0

г) х² + 3х – 10 = 0

д) х² – 8х – 9 = 0

- Выполним самопроверку. Возьмите лист самооценки и поставьте себе отметку за это задание по следующим критериям(Слайд 5)

«5» - решены верно 5 уравнений

«4» - решены верно 4 уравнения

«3» - решены верно 3 уравнения

«2» - не выполнено задание или решены правильно 1-2 уравнения

- Кто по всем заданиям поставил себе отметку «5»? Возможно, «2»?

Итог: Общая оценка результата и индивидуальная словесная оценка учителем (обозначение высоких результатов, указание тем ученикам, кому нужно еще закрепить знания по этой теме).

III.Создание проблемной ситуации (2 мин)

- А сейчас я приглашаю вас в сказку «Попадет ли Золушка на бал»?(Слайд 6)

В некотором царстве, в некотором государстве произошла такая история. Король пригласил всех жителей своей сказочной страны на бал, но злая мачеха не хотела брать с собой свою падчерицу Золушку(Слайд 7).

Мачеха: Золушка, ты сможешь поехать на бал, если за 5 минут найдешь сумму и произведение корней 20 уравнений.

Золушка: Я хорошо решаю уравнения, но за 5 минут мне никак не успеть!!!

Учитель: На помощь Золушке спешит Фея.

Золушка: Здравствуй, дорогая Фея! (Слайд 8)

Фея: Золушка, не горюй. Я открою тебе секрет, и ты справишься с заданием даже быстрей!

И Фея открыла Золушке секрет. А этот секрет, который вы сами откроете, и будет являться темой нашего урока.

Золушка: Я все поняла, дорогая Фея! Спасибо!(Слайд 9)

И через 5 минут Золушка дала ответы. А вы сможете найти суммы и произведения корней этих уравнений так же быстро? (Слайд 10) (Нет)

IV. Выдвижение гипотез (3 мин)

- Почему вы не можете также быстро выполнить это задание? (Не знаем секрета, не знаем быстрого способа определения суммы и произведения корней приведенных квадратных уравнений).

- Как вы думаете, с чем могут быть связаны корни квадратного уравнения? (C коэффициентами).- на слайде показать 2 уравнения-корни разные –а почему?-разные коэфициенты

- Какой у вас возникает вопрос? Что вам предстоит выяснить? (Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если да, то какова эта связь?)(Слайд 11)

- Сформулируйте цель своей деятельности (Узнать, существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения. Если да, то какова эта связь.)

- Предположите, существует связь между корнями и коэффициентами или нет? Какова она? (Выдвижение гипотез, учитель все принимает)(Слайд 12)

- Если есть версии, нужно их проверить.

V. Открытие нового знания (12 мин)

2 ученика работают на закрытой доске, находят сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения, записанного в общем виде.

В уравнении х² + bх + c = 0 D0. Найдите сумму и произведение корней.

- Сейчас мы проведем небольшую исследовательскую работу. Работать будете в группах по 4 человека. Прочитайте задание на карточке. Вы должны заполнить таблицу, проанализировать ее, найти закономерность, и определить связь корней с коэффициентами, сделать вывод.

Каждая группа получает таблицу: уравнения выписаны из домашнего задания.

Проверка выполнения заданий в группах и на доске, выводы(Слайд 13)

Общий вывод:

- Ваше предположение подтвердилось? (да)

- Сделайте вывод(Связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения существует) (Слайд 14)

-Какова она? (Сумма корней равна второму коэффициенту b взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену c).

- Вывод: Утверждение верно для всех уравнений, имеющих корни (Слайд15)

- Это утверждение называется теоремой Виета, названной в честь французского математика Франсуа Виета.

- Послушайте небольшую историческую справку об этом математике. (Выступление ученика, сопровождающееся презентацией с портретом Виета)

Сообщение. Франсуа Виет родился в 1540 году во Франции. В родном городке Виет был лучшим адвокатом, но главным делом его жизни была математика. Занимаясь наукой, Виет пришел к выводу, что необходимо усовершенствовать алгебру и тригонометрию. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов уравнения. Ввел формулы. Франсуа Виет отличался необыкновенной работоспособностью. Иногда, увлекшись каким-нибудь исследованием, он проводил за письменным столом по трое суток подряд.

- Какой же секрет открыла Фея Золушке (Теорему Виета)(Слайд 16)

- Назовите тему урока.

- Сформулируйте теорему

- Запишите теорему в виде символов на плакате (Слайд 17)

- В этой теореме о каких квадратных уравнениях идет речь? (О приведенных)

-Как быть с неприведенными? (Вначале представить в виде приведенных и применить теорему Виета). Что вы умеете делать с неприведенными квадратными уравнениями?

- Запишите в виде символов в тетрадь(Слайд 18)

- Существует и теорема, обратная теореме Виета. -Объяснение- Запишите теорему в тетрадь (Слайд 19)

Зарядка для глаз (Слайды 20-23) (1 мин)

VI. Применение новых знаний (18 мин)

Задание №1 (5 мин)

- Теперь вы сможете также быстро, как Золушка, найти суммы и произведения корней 20 уравнений? (Да).

- Что будете применять? (Теорему Виета). Сумму и произведение корней первых 10 уравнений находите, работая в паре, а оставшихся 10 решаете самостоятельно.

Эталон для самопроверки задания №1

1. x₁ + x₂ = -17; x₁ • x₂ = -38.

2. x₁ + x₂ = 16; x₁ • x₂ = 4

3. x₁+ x₂ = -8/3 ; x₁ • x₂ = -5.

1. x₁ + x₂ = -23/7; x₁ • x₂ = 5/7.

2. x₁ + x₂ = - 2; x₁ • x₂ = -3.

3. x₁ + x₂ = -12; x₁ • x₂ = 32.

7. x₁ + x₂ = 7; x₁ • x₂ = 10.

8. x₁ + x₂ = 2; x₁• x₂ = -3.

9. x₁ + x₂ = 12; x₁ • x₂ = 32.

10. x₁ + x₂ = 5,5; x₁ • x₂ = 7,5.

1. x₁ + x₂ = -1; x₁ • x₂ = -6.

2. x₁ + x₂ = 3,5; x₁ • x₂ = 1,5.

3. x₁ + x₂ = -17; x₁ • x₂ = -18.

4. x₁ + x₂ = 17; x₁ • x₂ = -18.

5. x₁ + x₂ = 11; x₁ • x₂ = 18.

6. x₁ + x₂ = -7; x₁ • x₂ = -38.

7. x₁ + x₂ = 9; x₁ • x₂ = 18.

8. x₁ + x₂ = 13; x₁ • x₂ = 36.

9. x₁ + x₂ = 15; x₁ • x₂ = 36.

10. x₁ + x₂ = 5; x₁ • x₂ = -36.

- Выполните самопроверку по эталону и поставьте отметку по критериям:

«5» - правильно найдены суммы и произведения в 9 - 10 уравнениях

«4» - правильно найдены суммы и произведения в 7 -8 уравнениях

«3» - правильно найдены суммы и произведения в 5 - 6 уравнениях

«2» - правильно найдены суммы и произведения менее 5уравнений.

Задание №2. Решите уравнения и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета(1 ученик на открытой доске с комментированием, остальные в тетрадях)

а) х²– 5х + 6 = 0; х₁ =2, х₂ = 3,

б) х²– 9х + 20 = 0; х₁ = 5, х₂ = 4,

в) х²+ 11х – 12 = 0; х₁ =1, х₂ = -12,

- Выполните самопроверку по эталону и оцените себя по критериям:

Решены уравнения, правильно найдены суммы и произведения корней у

3 уравнений - «5»;

2 уравнений - «4»;

1 уравнений - «3»;

- Кто справился с этим зданием в полном объеме?

- Изучая новый материал, мы повторили ранее изученный.

- А теперь поставьте себе отметку за весь урок, основываясь на те отметкив листах самооценки, которые вы ставили себе на протяжении урока.

VII. Рефлексия(2 мин)

- Сформулируйте теорему Виета.

- Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

- Что побудило нас к открытию нового знания? (Поставленная проблема)

- Вы открывали новое знание сами или учитель сам рассказал вам теорему Виета?

- Заполните шкалы в соответствии с вопросами в листе самооценки:

1) я понял(а) тему урока

2) я сделал(а) открытие нового знания сам

3) мне было комфортно на уроке

4) я доволен(а) собой.

VIII. Домашнее задание (1 мин) Теорема Виета, №580 (а-г), №581 (в, г)

Приложение

Лист самооценки ФИ___________________________________

Список литературы:

1. Алгебра, 8 класс , ФГОС (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) 2015г.

Домашнее задание

Задание №1.Преобразуйте квадратное уравнение в приведенное:

а) 3х² + 6х – 12 = 0

б) 2х² = 0

в) 3х² – 7 = 0

г)5х² - 10х + 2 = 0

д) 4х² – 13 = 0

Задание №2. Решите уравнения:

а) х² + 6х + 5 = 0

б) х² – х – 12 = 0

в) х² + 5х + 6 = 0

г) х² + 3х – 10 = 0

д) х² – 8х – 9 = 0

Домашнее задание

Задание №1.Преобразуйте квадратное уравнение в приведенное:

а) 3х² + 6х – 12 = 0

б) 2х² = 0

в) 3х² – 7 = 0

г)5х² - 10х + 2 = 0

д) 4х² – 13 = 0

Задание №2. Решите уравнения:

а) х² + 6х + 5 = 0

б) х² – х – 12 = 0

в) х² + 5х + 6 = 0

г) х² + 3х – 10 = 0

д) х² – 8х – 9 = 0

Домашнее задание

Задание №1.Преобразуйте квадратное уравнение в приведенное:

а) 3х² + 6х – 12 = 0

б) 2х² = 0

в) 3х² – 7 = 0

г)5х² - 10х + 2 = 0

д) 4х² – 13 = 0

Задание №2. Решите уравнения:

а) х² + 6х + 5 = 0

б) х² – х – 12 = 0

в) х² + 5х + 6 = 0

г) х² + 3х – 10 = 0

д) х² – 8х – 9 = 0

Задание для Золушки №1

Лист самооценки ФИ___________________________________

Лист самооценки ФИ___________________________________

Лист самооценки ФИ___________________________________

«Единственный путь, ведущий к знаниям, - это деятельность»

Б ернард Шоу  



Уравнение

Уравнение после преобразования

а) 3х 2 + 6х – 12 =0

а) х 2 + 2х – 4 =0

б) 2х 2 =0

б) х 2 =0

в) 3х 2 – 7 =0

в) х 2 – 7/3 =0

г) 5х 2 - 10х + 2 =0

г) х 2 - 2х + 2/5 =0

д) 4х 2 – 13 =0

д) х 2 - 13/4 =0

Самопроверка

«5» - преобразованы правильно 5 уравнений;

«4» - преобразованы правильно 4 уравнения;

«3» - преобразованы правильно 3 уравнения;

«2» - задание не выполнено или

преобразованы правильно 1-2 уравнения.

а) х 2 + 6х + 5 = 0

х 1 = -1, х 2 = -5

б) х 2 – х – 12 = 0

х 1 = 4, х 2 = -3

в) х 2 + 5х + 6 = 0

х 1 = -3, х 2 = -2

г) х 2 + 3х – 10 = 0

х 1 = -5, х 2 = 2

д) х 2 – 8х – 9 = 0

х 1 = -1, х 2 = 9

Самопроверка

«5» - решены верно 5 уравнений;

«4» - решены верно 4 уравнения;

«3» - решены верно 3 уравнения;

«2» - не выполнено задание или решены правильно 1-2 уравнений.

Попадет ли Золушка на бал?

В некотором царстве, в некотором государстве произошла такая история: король пригласил всех жителей своей сказочной страны на бал, но злая мачеха не хотела брать с собой Золушку…

Я хорошо решаю уравнения, но за 5

минут мне никак не успеть!!!

Золушка, ты сможешь поехать на бал, если за 5 минут найдёшь сумму и произведение корней 20 уравнений

1.        х   х 

2.        х   х 

3.         х   х 

4.          х   23х 

5.        х   х 

6.        х   х 

7.        х   х 

8.        х   х 

9.      х   х 

10.      х   х 

11.      х 2   х 

12.      х   х  ,

13.     х   х 

14.     х   х  ,

15.     х   х 

16.     х   х 

17.     х   х 

18.     х   х 

19.     х   х 

20.     х   х 

Секрет?!!

Здравствуй, Золушка. Не горюй! Я открою тебе один секрет. И ты справишься с заданием даже быстрей!

Здравствуй, дорогая Фея!

• x 1 + x 2 =  17; x 1 • x 2  38.
• x 1 + x 2 = 16; x 1 • x 2 = 4

3. x 1 + x 2 =  8/3 ; x 1 • x 2 =  5.

• x 1 + x 2 =  23/7; x 1 • x 2 = 5/7.
• x 1 + x 2 =  2; x 1 • x 2 =  3.
• x 1 + x 2 =  12; x 1 • x 2 = 32.

7. x 1 + x 2 = 7; x 1 • x 2 = 10.

8. x 1 + x 2 = 2; x 1 • x 2 =  3.

9. x 1 + x 2 = 12; x 1 • x 2 = 32.

10. x 1 + x 2 = 5,5; x 1 • x 2 = 7,5.

• x 1 + x 2 =  1; x 1 • x 2 =  6.
• x 1 + x 2 = 3,5; x 1 • x 2 = 1,5.
• x 1 + x 2 =  17; x 1 • x 2 =  18.
• x 1 + x 2 = 17; x 1 • x 2 =  18.
• x 1 + x 2 = 11; x 1 • x 2 = 18.
• x 1 + x 2 =  7; x 1 • x 2 =  38.
• x 1 + x 2 = 9; x 1 • x 2 = 18.
• x 1 + x 2 = 13; x 1 • x 2 = 36.
• x 1 + x 2 = 15; x 1 • x 2 = 36.
• x 1 + x 2 = 5; x 1 • x 2 =  36.

Я все поняла, дорогая Фея!

Спасибо!

И через 5 минут

Золушка дала

следующие ответы:

Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если да, то какова эта связь ?

Уравнение

х 2 + рх + q=0

p

q

Корни

Сумма корней

Произведение корней

а) х 2 + 6х + 5 = 0

б) х 2 – х – 12 = 0

в) х 2 + 5х + 6 = 0

г) х 2 + 3х – 10 = 0

д) х 2 – 8х – 9 = 0

• x 1 + x 2 =  17; x 1 • x 2  38.
• x 1 + x 2 = 16; x 1 • x 2 = 4

3. x 1 + x 2 =  8/3 ; x 1 • x 2 =  5.

• x 1 + x 2 =  23/7; x 1 • x 2 = 5/7.
• x 1 + x 2 =  2; x 1 • x 2 =  3.
• x 1 + x 2 =  12; x 1 • x 2 = 32.

7. x 1 + x 2 = 7; x 1 • x 2 = 10.

8. x 1 + x 2 = 2; x 1 • x 2 =  3.

9. x 1 + x 2 = 12; x 1 • x 2 = 32.

10. x 1 + x 2 = 5,5; x 1 • x 2 = 7,5.

• x 1 + x 2 =  1; x 1 • x 2 =  6.
• x 1 + x 2 = 3,5; x 1 • x 2 = 1,5.
• x 1 + x 2 =  17; x 1 • x 2 =  18.
• x 1 + x 2 = 17; x 1 • x 2 =  18.
• x 1 + x 2 = 11; x 1 • x 2 = 18.
• x 1 + x 2 =  7; x 1 • x 2 =  38.
• x 1 + x 2 = 9; x 1 • x 2 = 18.
• x 1 + x 2 = 13; x 1 • x 2 = 36.
• x 1 + x 2 = 15; x 1 • x 2 = 36.
• x 1 + x 2 = 5; x 1 • x 2 =  36.

1.        х   х 

2.        х   х 

3.         х   х 

4.          х   23х 

5.        х   х 

6.        х   х 

7.        х   х 

8.        х   х 

9.      х   х 

10.      х   х 

11.      х 2   х 

12.      х   х  ,

13.     х   х 

14.     х   х  ,

15.     х   х 

16.     х   х 

17.     х   х 

18.     х   х 

19.     х   х 

20.     х   х 

q

(c)

Сумма корней

Корни

Уравнение

х 2 + рх + q=0

p

( b)

Произведение корней

- 6

х 1 = -1, х 2 = -5

5

5

а) х 2 + 6х + 5 = 0

6

- 12

- 12

1

б) х 2 – х – 12 = 0

х 1 = 4, х 2 = -3

- 1

в) х 2 + 5х + 6 = 0

6

х 1 = -3, х 2 = -2

6

5

- 5

- 10

г) х 2 + 3х – 10 = 0

х 1 = -5, х 2 = 2

- 10

- 3

3

- 9

8

х 1 = -1, х 2 = 9

- 8

д) х 2 – 8х – 9 = 0

- 9

Родился в 1540 году в городе Фонтен-ле-Конт, в провинции Пуату. По образованию был юристом, но глубоко занимался многими науками, прежде всего астрономией, астрологией и даже криптографией (тайнописью).

Ему принадлежит установление единого способа решения уравнений 2-й, 3-й, и 4-й степеней, но больше всего сам ученый оценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Именно за это его до сих пор называют «отцом алгебры».

Секрет?!!

Т е о р е м а В и е т а

Если х 1 , х 2 – корни уравнения

x 2 + b x + c = 0,

то х 1 + х 2 = – b ; х 1 · х 2 = c .

Т е о р е м а В и е т а

Если х 1 , х 2 – корни уравнения

аx 2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0,

то х 1 + х 2 = ; х 1 ∙ х 2 =

Теорема, обратная теореме Виета

Если x 1 и x 2 таковы, что

x 1  x 2    b , x 1 x 2  c ,

то x 1 и x 2 – являются корнями

квадратного уравнения

х 2  b х   c   0 .

Домашняя работа

П.24,№ 581,№584,№591