Открытый урок по теме: "Тела вращения"

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Карагандинский агротехнический колледж

Открытый урок по теме: «Тела вращения»

Караганда 2014

Рассмотрено на заседании МК ОД 10.11.14 г. протокол №

Составитель работы: преподаватель математики первой категории высшего уровня квалификации Пронина Надежда Николаевна

Аннотация: Данный сдвоенный урок (80 минут) разработан для студентов второго курса специальности ТОРА (техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта), как обобщающий урок по теме: « Тела вращения».

Содержание:

Первый этап урока.

Урок начинается с проверки домашнего задания. Первое задание это методика трех предложений, каждое из пяти тел вращения (цилиндр, конус, усеченный конус, сфера, шар) надо описать тремя предложениями. Второе задание – «Тела вращения в моей будущей профессии». Здесь ребята должны рассказать связь темы со своей профессией. Учитель сообщает, как устроена фаза (параболоид вращения), как устроены роликовые подшипники (цилиндры), объясняет, что такое тор (тело вращения, полученное в результате вращения круга вокруг прямой, лежащей в плоскости. Студенты приводят примеры тора в автомобиле – это руль, автомобильная камера.

Второй этап урока начинается с кроссворда. Он составлен для повторения определения тел вращения и их сечений. Потом учитель сообщает исторические сведения о цилиндре, конусе, шаре. Далее студентам раздаются карточки с таблицей, в которой записаны формулы и на другой карточке записаны вопросы рядом с которыми нужно написать номер соответствующей формулы. Далее студенты выполняют тест на карточках, состоящий из десяти заданий в двух вариантах.

На третьем этапе урока студенты решают две логические задачи и одну практическую задачу. На столе учитель ставит шесть стаканов в ряд, три из которых доверху наполнены водой, а три пустых. Задает вопрос: как сделать так, чтобы стаканы чередовались, полный, пустой, полный и т.д., но стакан в руки можно брать всего один раз. Ответ прост - надо взять второй стакан и перелить содержимое в пятый и поставить стакан на место. Далее каждому ряду дается задача (на конус, на цилиндр, на шар). Каждый ряд совместно решают задачу, оформляют решение на ватман маркерами и спикер с каждого ряда объясняет решение своей задачи всей группе.

План урока

1. Организационный момент (2 минуты)

2. Видеоролик №1 (1 минута)

3. Проверка домашнего задания (10 минут)

4. Кроссворд (7 минут)

5. Исторические сведения о телах вращения (2 минуты)

6. Проверка знаний формул и определений (15 минут)

7. Зарядка для глаз (2 минуты)

8. Логические задачи (10 минут)

9. Решение задач по рядам (20 минут)

10. Литературная мастерская (5 минут)

11. Домашнее задание (1 минуту)

12. Рефлексия (2 минуты)

13. Видеоролик №2 ( 3 минуты)

Эпиграф урока: «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг – геометрия»

Ле Корбюзье

Цель урока: обобщить и систематизировать знания по теме: «Тела вращения»

Задачи урока:

1. Образовательная: способствовать выработке навыков применения знаний к решению задач по данной теме;

2. Развивающая: способствовать развитию пространственного воображения через умение анализировать геометрическую форму предметов;

3. Воспитывающая: способствовать самостоятельному поиску решения, творческого подхода к делу
   
   
   

Тип урока: урок закрепления знаний

Методы обучения: наглядный, практический, проблемно- поисковый, самостоятельной работы

Оборудование: мультимедийный проектор, электронные презентации, модели тел, таблицы, тестовые задания, чертежные принадлежности, листы А4.
Межпредметная связь: устройство автомобиля, литература, история

Ход урока

1. Организационный момент (3 минуты)

-Здравствуйте ребята. Сегодня у нас урок обобщения темы «Тела вращения». Цель урока – обобщить и систематизировать знания по данной теме. На уроке мы вспомним определения, формулы, свойства, чертежи, развертки, сечения пяти тел вращения. Итак, какие же это тела?

Цилиндр, конус, усеченный конус, шар и сфера. (видеоролик №1)

1. Проверка домашнего задания (10 минут)

На дом было задано 1) методика трех предложений и 2) «Тела вращения в моей будущей профессии». Вам нужно охарактеризовать тремя предложениями каждую из фигур вращения. Итак, вам слово…

Какая же связь темы «Тела вращения» с профессией автомеханик?

В технике цилиндры распространены чрезвычайно широко: достаточно сказать, что их форму имеют практически все валы и их отдельные составные части, используемые, скажем, в двигателях внутреннего сгорания. К тому же, расчет объема цилиндра – одна из важнейших задач, которую приходится решать конструкторами при проектировании современных бензиновых и дизельных силовых агрегатов, ведь от этого параметра зависит множество их характеристик, и в первую очередь такая важнейшая, как мощность. Почти все типы ДВС снабжаются поршнями, которые также имеют цилиндрическую форму.

Чрезвычайно распространенными деталями, которые присутствуют в конструкции многих сложных технических устройств, являются роликовые подшипники. Как нетрудно догадаться по самому их названию, одними из основных их компонентов являются прочные и износостойкие металлические ролики, имеющие цилиндрическую форму. Именно благодаря такой геометрии, эти детали имеют достаточно большую несущую способность и в большинстве случаев способны выдерживать весьма значительные нагрузки, чем их шариковые аналоги. Роликовые подшипники являются высокоточными деталями, и поэтому при их разработке и проектировании правильный расчет объема цилиндра (в данном случае – ролика) играет немаловажную роль.

А вы знаете, что принцип строения фары это параболоид вращения. Параболоид это тело, полученное в результате вращения параболы вокруг ее оси симметрии.Сам параболический отражатель еще в 1779 году изобрел Иван Петрович Кулибин — тот самый Кулибин, который создал трехколесную «самокатку» с маховиком и с прообразом коробки передач. Для того, чтобы зеркало фар отражало лучи параллельным пучком, зеркалу нужно придать форму параболоида вращения, внутри которого в определенной точке (в фокусе) находиться лампочка.

Вот так выглядит параболоид вращения и тор.

Тор (латин. torus - узел) - тело, получаемое от вращения круга около оси, лежащей в его плоскости.

Что в автомобиле имеет форму тора? (да, конечно, руль автомобиля, автомобильная камера)

1. Кроссворд (10 минут)

По горизонтали:

1. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 2. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно осевому сечению. 3 и 4. Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси вращения. 5. Хорда, проходящая через центр шара. 6. Тело, полученное в результате вращения полукруга, вокруг его диаметра.

По вертикали:

4. Тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета. 8. Отрезок, соединяющий вершину конуса с точками окружности основания.

9. Граница (поверхность) шара. 10. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра. 11. Тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг его стороны.

ОТВЕТЫ: По горизонтали: 1. Высота. 2. Касательная. 3. Круг. 4. Круг. 5. Диаметр. 6. Шар.

По вертикали: 4. Конус. 8. Образующая. 9. Сфера. 10. Осевое. 11. Цилиндр.

1. Исторические сведения о телах вращения:

Как вы думаете, от каких слов произошли слова цилиндр, конус, шар и сфера. Слово цилиндр произошло от греческого слова, которое означало валик или каток, слово конус в переводе на русский язык означает сосновая шишка, слово шар или сфера произошло от слова «сфайра» и в переводе означает мяч.

Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром.

1. Проверка знаний формул и определений (тест)

1. πR2		2. πR2H	3. 2πRH	4. 4πR2	5. πH(R12+R1R2+R22)
6. πRl		7. 2πR	8. πR(R+l)	9. πR3	10. π(R+r)l
11. πR(H+R)		12. 2πRl	13. 2πR(H+R)	14. πR2H	15. πR3H
№	Вопрос: По какой формуле можно вычислить					Ответ - № формулы
1	Площадь боковой поверхности конуса
2	Площадь сферы
3	Объем конуса
4	Площадь боковой поверхности цилиндра
5	Объем шара
6	Площадь полной поверхности конуса
7	Объем усеченного конуса
8	Площадь полной поверхности цилиндра
9	Площадь круга
10	Объем цилиндра
11	Площадь боковой поверхности усеченного конуса
12	Длина окружности

Правильные ответы:

№	Вопрос: По какой формуле можно вычислить	Ответ - № формулы
1	Площадь боковой поверхности конуса	6
2	Площадь сферы	4
3	Объем конуса	14
4	Площадь боковой поверхности цилиндра	3
5	Объем шара	9
6	Площадь полной поверхности конуса	8
7	Объем усеченного конуса	5
8	Площадь полной поверхности цилиндра	13
9	Площадь круга	1
10	Объем цилиндра	2
11	Площадь боковой поверхности усеченного конуса	10
12	Длина окружности	7

Тест по теме: «Тела вращения»

Ф.И.	1 вариант
№	Вопрос	Ответ
1	Цилиндр нельзя получить вращением	А)треугольника вокруг одной из сторон; В) квадрата вокруг одной из сторон; С) прямоугольника вокруг одной из сторон
2	Осевое сечение усеченного конуса	А) круг; В) равнобокая трапеция; С) прямоугольная трапеция
3	Точки А и В принадлежат сфере. Принадлежат ли этой сфере любая точка отрезка АВ	А) да В) нет
4	Точки А и В принадлежат шару. Принадлежат ли этому шару любая точка отрезка АВ	А) да В) нет
5	Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра может быть	А) прямоугольник; В) ромб; С) параллелограмм
6	Сечением конуса плоскостью, перпендикулярной его оси, является	А) треугольник; В) прямоугольник; С) круг
7	Плоскость имеет со сферой только одну общую точку, если расстояние от центра сферы до плоскости	А) больше её радиуса; В) меньше её радиуса; С) равно её радиусу
8	Разверткой боковой поверхности прямого кругового конуса является круговой	А) сегмент В) сектор С) слой
9	Сечением шара плоскостью, проходящей через его диаметр, является	А) круг В) полукруг С) большой круг
10	Цилиндр, в осевом сечении которого квадрат называется	А) квадратным В) равносторонним С) правильным

Тест по теме: «Тела вращения»

Ф.И.	2 вариант
№	Вопрос	Ответ
1	Цилиндр получается вращением	А) треугольника вокруг одной из сторон; В) прямоугольника вокруг одной из сторон; С) трапеции вокруг одной из сторон
2	Осевое сечение конуса	А) круг; В) равнобокая трапеция; С) равнобедренный треугольник
3	Точки А и В принадлежат сфере. Точка О центр сферы. Принадлежат ли этой сфере любая точка отрезка ОВ	А) да В) нет
4	Точки А и В принадлежат шару. Точка О центр шара. Принадлежат ли этому шару любая точка отрезка АО	А) да В) нет
5	Разверткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра может быть	А) прямоугольник; В) ромб; С) параллелограмм
6	Сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, является	А) треугольник; В) прямоугольник; С) круг
7	Плоскость, которая имеет со сферой только одну общую точку, называется	А) перпендикулярной В) касательной С) секущей
8	Разверткой боковой поверхности прямого кругового конуса является круговой	А) сегмент В) сектор С) слой
9	Сечением шара плоскостью является	А) круг В) полукруг С) большой круг
10	Осевое сечение усеченного конуса	А) трапеция В) прямоугольная трапеция С) равнобедренная трапеция

Правильные ответы к тесту

1 вариант 2 вариант

1	А
2	В
3	В
4	А
5	А
6	С
7	С
8	В
9	С
10	В

1	В
2		С
3		В
4		А
5		А
6		С
7		В
8		В
9		А
10		С

Разминка для глаз (на слайде)

1. Логические задачи:

Задача №1:

Если шар, куб и цилиндр будут одновременно пущены вниз по наклонной плоскости, что первым очутится внизу, а что последним?

(ответ: первым достигнет низа куб, вторым – шар, последним – цилиндр. Шар и цилиндр потратят часть энергии на вращение, что соответственно уменьшит их скорость)

Задача №2:

Имеется сосуд цилиндрической формы. Как, не имея никаких измерительных приборов, отмерить воды ровно половину сосуда?

(ответ: любая посуда правильной цилиндрической формы, если смотреть на нее сбоку, представляет собой прямоугольник. Диагональ прямоугольника делит его на две равные части. Воды в сосуд надо налить так, чтобы пока поверхность воды с одной стороны не достигнет угла посуды, где ее дно смыкается со стенкой, а с другой стороны края посуды, через который она выливается. В этом случае в сосуде воды будет ровно половина)

Задача №3: (практическая)

Перед вами шесть стаканов цилиндрической формы, три из них наполненных водой, а три пустых. Вам надо сделать так чтобы стаканы чередовались, то есть полный, пустой, полный и так далее. Но стакан в руки можно брать только один раз.

(Ответ: надо взять второй стакан и перелить его содержимое в четвертый и поставить пустой стакан на место)

1. Решение задач по рядам

(спикер с каждого ряда оформляет задачу на ватмане и объясняет решение)

Задача для ряда №1:

Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см в первый раз вращается вокруг меньшего катета, а во второй раз вокруг большего катета. Сравните объемы этих конусов.

Решение к задаче №1:

Так как в первый раз прямоугольный треугольник вращается вокруг меньшего катета, то H=3см и R=4см. Найдем объем конуса по формуле V=πR²H=π4²3=16π (cм³), а во второй раз, вокруг большего катета, следовательно, H=4см и R=3см. Вычислим по формуле

V=πR²H=π3²4=12π (cм³). Выходит, что объем первого конуса больше второго на 4 π см².

Задача для ряда №2:

Найдите диаметр шара, объем которого равен 36π см³.

Решение к задаче №2:

Формула объема шара V= πR³

πR³=36π

R³=27

R=3

D=2R=2*3=6(cм)

Задача для ряда №3:

Измениться ли объем кругового цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза.

Решение к задаче №3:

V=πR²H

Vнового=π(2R)²= πR²H. Таким образом, объем цилиндра не измениться.

С каждого ряда выбрать спикера, который объяснит задачу.

1. Литературная мастерская

«Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии»

А.С. Пушкин

А сейчас я прочитаю фрагмент старинной легенды восточных народов, рассказанной А.С. Пушкиным в “Скупом рыцаре”.

“...Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу.
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли”.

Это одна из немногих легенд, в которой, при кажущемся правдоподобии, нет и зерна правды. Докажем геометрически, что если бы какой-нибудь царь вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный “гордый холм”.

Итак, войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным. Следовательно, общий объём всех горстей будет равен

V = 0,2· 100 000 = 20 000 дм³ = 20 м³.

Возьмем угол откоса равным 45°, а иначе земля начнет осыпаться.

Дано: конус, V = 20 м³, α = 45°.

Найти: H_конуса

Решение:

; так как H = R,

то , м

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м (в 1,5 человеческих роста) назвать “гордым холмом”. Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

У Аттилы было самое многочисленное войско, которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек. К сведению, Аттила – предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многих племен. И если бы все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, образовалась бы куча повыше, чем вычисленная, но всё равно, даже близко не подходила бы к описанию грандиозного холма… Но, советую вам самим дома вычислить высоту кургана и подумать, удовлетворила бы такая высота честолюбие Аттилы или нет.

9. Рефлексия:

Желтый – солнечный цвет. Его выбираешь, если тебе на уроке было комфортно, но при выполнении заданий ты пользовался помощью друзей.

Зеленый – цвет спокойствия. Его выбираешь, если тебе на уроке было комфортно, со всеми заданиями справился самостоятельно, без проблем.

Красный – цвет тревоги. Его выбираешь, если тебе было тревожно, и даже помощь друзей не помогла.

10. Домашнее задание:

1. Изобразить фантастическое здание, используя тела вращения

2. Решить задачу на высоту холма Аттилы (численность войска 700000, α = 45°)

Завершить урок я хочу видеороликом самые необычные архитектурные сооружения мира, подтвердив слова французского архитектора Ле Корбюзье, что «Все вокруг – геометрия».

Всем спасибо за урок!