Объемы тел вращения

КГУ ОШ № 117

Согласовано

Зам.директора по УВР__________Жорабаева Г.А.

Открытый урок по геометрии

в 11 «В» классе на тему:

«Объемы тел вращения»

учитель математики

Ермекбаева Г.А.

Г.Алматы , 2023г

Цель обучения –

11.3.14-знать формулу нахождения объема цилиндра и применять при решении задач

11.3.15-знать формулы нахождения объемов конуса и усеченного конуса и применять при решении задач

11.3.16-знать формулы нахождения объема шара и его частей и применять их при решении задач

Цель урока - развивать  у учащихся навыки  применения теоретических  знаний  по теме «Объём цилиндра, конуса, шара» для решения задач, выявить отношение объёмов вписанных и описанных тел вращения.

Задачи:

Образовательные: совершенствовать умения учащихся применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения; показать практическую значимость данной темы в жизни человека.

Развивающие: способствовать формированию у учащихся ключевых компетенций (сравнение, сопоставление, классификация объектов, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов);  развитию памяти, внимания,  мышления и  пространственного воображения учащихся, навыков самооценки и самоконтроля; навыков творческого подхода к решению задач,  исследовательской работы над задачей.

Воспитательные: способствовать развитию устойчивого интереса и созданию положительной внутренней мотивации к изучению математики; воспитанию ответственного отношения к учению. 

Планируемые результаты: уметь вычислять объемы тел вращения; зная объемы вписанных фигур ,найти объемы описанных фигур; не бояться решать задачи ЕГЭ, связанные с вычислением объемов тел.

Тип урока: урок применения знаний и умений учащихся.

Технологии:  личностно-ориентированная, проблемно-исследовательская, индивидуально–дифференцированного обучения.

Методы обучения:  словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, проблемный.

Формы работы:  индивидуальная, фронтальная, работа в парах, групповая.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, интерактивная доска, презентация, раздаточный материал, геометрические фигуры.

Девиз урока: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».

Ход урока.

1.Организационный момент : Приветствие. Проверка готовности к уроку.

2.Вызвать к доске 3 учеников, чтоб подготовиться ответить на вопросы : 1) конус

2)цилиндр

3) шар

Пока они готовятся, провести математический диктант.

Математический диктант:

-Выберите лишнее

а) квадрат, прямоугольник, цилиндр;

б) призма ,конус, параллелепипед;

в) шар, треугольник, параллелограмм .

ответ: цилиндр, конус, шар.

Учитель: Как вы догадались, тема нашего урока будет связана с этими фигурами.

-как по другому их можно назвать?

( тела вращения)

-вращением каких фигур получаем цилиндр, конус, шар?

(прямоугольника, треугольника, окружности)

-тема нашего урока «Объемы тел вращения»

- откройте тетради и напишите число и тему нашего урока.

-но вначале вспомним, что это за фигуры.

(слушаем ответы детей у доски)

3. На доске написать 3 формулы : 1) V = S_оснн

2) V =S_оснн

3) V = R³

И названия фигур :пирамида, прямая призма ,конус, цилиндр, , наклонная призма, шар ,прямоугольный параллелепипед, куб.

-написать в тетрадях объемы каких фигур можно вычислить по первой , второй и третьей формулам?

Ответ: 1) пирамида, конус;

2) цилиндр, прямая призма, наклонная призма, прямоугольный параллелепипед, куб;

3) шар

Разбиваем класс на 4 группы и решаем задачи по группам.

Задание 1:

-Найдите объем конуса с высотой 3 см и диаметром 8 см .

-Найдите объём цилиндра, если диаметр его основания равен 10 см., а высота цилиндра 12 см.

- Найдите объём шара, диаметр которого равен 12 см.

Задание 2:

1 группа: В цилиндр вписан шар радиуса 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

2 группа: В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

3 группа: В цилиндр вписан шар радиуса 4. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

4 группа: В цилиндр вписан шар радиуса 5. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

( пока все решают ,вызвать одного ученика к доске решить задачу : найти отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него шара)

-Давайте посмотрим, что у вас получилось?

Учитель записывает на доске результаты.

-Чему равно отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него шара?

Гипотеза: отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него шара равно3:2.

-А теперь проверим так ли это на самом деле.( Проверить доказательство утверждения в общем виде записать в тетрадях).

- В любой цилиндр можно вписать окружность?

Вывод: Мы доказали теорему Архимеда: «Объём равностороннего цилиндра в полтора раза превышает объём вписанного в него шара».

Историческая справка.

Архимед — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. Задачи на вычисление объёмов геометрических тел интересовали учёных – математиков ещё с древности. Этим открытием он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета, благодаря чему через  200

лет в Сиракузах была найдена могила Архимеда.  Сегодня вы доказали знаменитую теорему Архимеда и  соприкоснулись с историей математики. 

 

Устно.

-Объём шара вписанного в цилиндр равен 40см3. Чему равен объём цилиндра? (Ответ: 60 см³)

-Объём цилиндра равен 120. Найдите объём вписанного в него шара.( Ответ: 80.)

Задание 3:

-Рассмотрим ещё одну зависимость объёмов тел вращения.

1 группа. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 32.

  2 группа. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем  конуса, если объем цилиндра равен 60куб см.

  3 группа. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 84.

  4 группа. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 96.

.( пока все решают ,вызвать одного ученика к доске решить задачу : найти отношение объёма цилиндра к объёму вписанного в него конуса)

Учитель записывает на доске результаты

Гипотеза: Если цилиндр и конус имеют общее основание и высоту, то объём цилиндра в 3 раза больше объёма конуса.

Доказательство утверждения в общем виде(записать на доске и в тетрадях)

Устно.

1.Объём цилиндра равен 30. Чему равен объём конуса с таким же основанием и высотой?

Ответ: 10.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 21.

Физминутка

1.Наклон головы вперёд-назад.

2.Наклон головы влево- вправо.

3.Описать головой полукруг.

4.Руки вперёд, кисти «замком», повороты сцепленными руками влево- вправо.

5.Руки вниз, поднимаем и опускаем плечи

Задание 4( задания ЕГЭ):

1 группа: В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

2 группа: В бак, имеющий форму прямой  призмы, налито 10 литров воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,3 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических дециметрах.

3 группа: Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 60 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

4 группа

“....Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим 
Велел снести земли по горсти в кучу, 
И гордый холм возвысился, - и  царь 
Мог с вышины с весельем озирать 
И дол, покрытый белыми шатрами, 
И море, где бежали корабли.” 
(А.С. Пушкин “Скупой рыцарь”)

. Предположив, что численность войска составляет 100 000 человек, объем горсти равен 0,2 дм³, а угол при основании холма 45⁰, найдите объем и высоту конуса.

Ответ: 2,7 м

-Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 2,7 м ( 1,5 человеческих роста) назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

Подведение итогов. Рефлексия.

Сегодня мы хорошо поработали.

Что нового узнали?

Что понравилось?

Что удивило?

Попробуйте понять, для чего лично Вам может пригодиться сегодняшнее занятие.

Домашнее задание.

1. Задачи № 5, 7, 9, 11 стр 165

2..Найдите объём стакана.

3.Вычислить объём пожарного ведра.

ЛИТЕРАТУРА

1.«Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 10-11 классы». Составитель Т.А. Бурмистрова. Издательство Москва. «Просвещение». 2009г.

2.«Геометрия 10-11Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Поздняк, И.И. Юдина». Издательство: Москва. Просвещение. 2010г.

3.«Математика. Типовые тестовые задания. ЕГЭ-2018» Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко» Рекомендовано МИОО Издательство: Москва. Экзамен.2018 г.

4.«Поурочные планы. Геометрия 10» Т.Л. Афанасьева.Л.А. Тапилина Издательство «Учитель». г.Волгоград . 2005г.

Группа 1

1. В цилиндр вписан шар радиуса 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

1. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 32.

1. В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Группа 1

1. В цилиндр вписан шар радиуса 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

1. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 32.

1. В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Группа 1

1. В цилиндр вписан шар радиуса 2. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

1. Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 32.

1. В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Группа 2

1. В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем  конуса, если объем цилиндра равен 60куб см.

3. В бак, имеющий форму прямой  призмы, налито 10 литров воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,3 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических дециметрах.

Группа 2

1. В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем  конуса, если объем цилиндра равен 60куб см.

3. В бак, имеющий форму прямой  призмы, налито 10 литров воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,3 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических дециметрах.

Группа 2

1. В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем  конуса, если объем цилиндра равен 60куб см.

3. В бак, имеющий форму прямой  призмы, налито 10 литров воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,3 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических дециметрах.

Группа 2

1. В цилиндр вписан шар радиуса 3. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем  конуса, если объем цилиндра равен 60куб см.

3. В бак, имеющий форму прямой  призмы, налито 10 литров воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 1,3 раза. Найдите объем детали. Ответ дайте в кубических дециметрах.

Группа 3

1. В цилиндр вписан шар радиуса 4. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 84куб.ед.

3. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 60 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Группа 3

1. В цилиндр вписан шар радиуса 4. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 84куб.ед..

3. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 60 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Группа 3

1. В цилиндр вписан шар радиуса 4. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 84куб.ед.

3. Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне h = 60 см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

Группа 4

1. В цилиндр вписан шар радиуса 5. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 96 куб.ед.

“....Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим 
Велел снести земли по горсти в кучу, 
И гордый холм возвысился, - и  царь 
Мог с вышины с весельем озирать 
И дол, покрытый белыми шатрами, 
И море, где бежали корабли.” 
(А.С. Пушкин “Скупой рыцарь”)

. Предположив, что численность войска составляет 100 000 человек, объем горсти равен 0,2 дм³, а угол при основании холма 45⁰, найдите объем и высоту конуса.

Группа 4

1. В цилиндр вписан шар радиуса 5. Найдите отношение объёмов цилиндра и шара.

2. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 96 куб.ед.

“....Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим 
Велел снести земли по горсти в кучу, 
И гордый холм возвысился, - и  царь 
Мог с вышины с весельем озирать 
И дол, покрытый белыми шатрами, 
И море, где бежали корабли.” 
(А.С. Пушкин “Скупой рыцарь”)

. Предположив, что численность войска составляет 100 000 человек, объем горсти равен 0,2 дм³, а угол при основании холма 45⁰, найдите объем и высоту конуса.

геометрическое место точек, удаленных от одной фиксированной точки на расстояние, не более заданного.

тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из сторон.

тело вращения, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны при прямых углах

Осевое сечение – прямоугольник

Осевое сечение - равнобедренный треугольник

Осевой сечение – круг

Осевое сечение - трапеция