Определенный интеграл и его свойства

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

План изучения темы.

1. Понятие криволинейной трапеции.

2. Определенный интеграл, его свойства.

3. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов.

4. Метод замены переменной в определенном интеграле

Цель урока:

• Познакомиться с понятием криволинейной трапеции

• Дать понятие определенного интеграла

• Познакомиться с формулой Ньютона-Лейбница

• Научиться вычислять определенные интегралы табличным методом и методом замены переменной

1. Понятие криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная, неотрица­тельная функция y = f(x).

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой y = f(x), осью ОХ, прямыми x = a и x = b.

Из геометрии мы знаем, как найти площади различных многоугольников: прямоугольника, треугольника, трапеции. Возникает вопрос: а как найти площадь фигуры, имеющей «неправильную» форму? Обычно такую фигуру можно разбить на некоторое число криволинейных трапеций и искомую площадь найти как алгеб­раическую сумму площадей криволинейных трапеций, со­ставляющих эту фигуру.

Значит, для нахождения площади любой фигуры нужно уметь вычислять площадь криволинейной трапеции.

Чтобы понять общую идею интегрирования посмотрите презентацию

1. Определенный интеграл.

Рассмотрим криволинейную трапецию.

1. Интервал [a; b] разделим на n частей точками

1. На каждом из полученных интервалов выберем произвольные точки и найдем значения функции в этих точках:

.

1. На каждом из полученных интервалов построим прямоугольники, ширина которых , а высота .

1. Очевидно, что площадь полученной n-ступенчатой фигуры приближенно равна искомой площади криволинейной трапеции

эта сумма получила название интегральной суммы функции y = f(x) на интервале [a; b].

1. Будем увеличивать число точек разбиения, так что. В этом случае интегральная сумма стремится к некоторому конечному пределу, который не зависит ни от вы­бора точек деления, ни от промежуточных точек.

2. 

1. Мы видим, что ступенчатая фигура практически совпадает с криволинейной трапецией. Переходя к пределам, получим

1. Определение. Определенным интегралом называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего из интервалов разбиения.

Читается: “интеграл от a до b функции f(x) по dx”.

a – нижний предел интегрирования;

b – верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции y = f(x), осью ОХ, прямыми x = a, и x = b, т. е.

Знак интеграла отражает тот факт, что площадь криволинейной трапеции можно условно представить как сумму бесконечно тонких полосок основанием dx и высотой f(x).

Сам знак представляет собой стилизованную букву S (summa).

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов.

Немного истории: презентация.

Теорема. Значение определенного интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при нижнем и верхнем преде­лах интегри­рования.

Формула Ньютона–Лейбница:

Чтобы найти определенный интеграл нужно:

1. Найти первообразную функцию F(x) для функции f(x)

2. Вычислить значение функции F(x) при x=b

3. Вычислить значение функции F(x) при x=a

4. Вычислить разность F(b)-F(a)

Например:

Воспользуемся формулой двойного угла синуса,

sin2α = 2sinαcosα:

Почленно разделим числитель на знаменатель и, сократив дробь, найдем интеграл от суммы двух функций:

Методом замены переменной определенные интегралы решаются точно также как и неопределенные. Единственное различие заключается в том, что наряду с ведением новой переменной, заменяются также и пределы интегрирования.

В результате изучения этой темы необходимо выполнить тестовые задания 3.3.(1) Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница и 3.3.(2). Метод замены переменной в определенном интеграле.