Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции

Этапы работы

Содержание этапа

(заполняется педагогом)

1.

Организационный момент, включающий:

• постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися на данном этапе урока (что должно быть сделано учащимися, чтобы их дальнейшая работа на уроке была эффективной)

• определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;

• описание методов организации работы учащихся на начальном этапе урока, настроя учеников на учебную деятельность, предмет и тему урока (с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог)

Повторить пройденный материал на предыдущих уроках: таблица производных, правила нахождения производных, свойства функций.

Проверить знания учащихся по теме «Производная».

Устная работа по теме «Производная».

По графику функции, изображенному на рисунке, найдите её наибольшее и наименьшее значения. В каких точках они достигаются?

Талица производных ( назвать производные элементарных функций).

Правила нахождения производной (суммы, произведения, частного).

Производная сложной функции.

2.

Опрос учащихся по заданному на дом материалу, включающий:

• определение целей, которые учитель ставит перед учениками на данном этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);

• определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;

• описание методов, способствующих решению поставленных целей и задач;

• описание критериев достижения целей и задач данного этапа урока;

• определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленных целей;

• описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;

• описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе опроса;

• описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.

Проверка домашней работы.

Проверить выполнение домашней работы.

Проверка и корректировка знаний и умений учащихся при выполнении домашней работы.

Взаимопроверка в группах, вынесение решения на доску заданий, вызвавших наибольшие затруднения. Решении задач подобных вызвавшим затруднения.

Оценивание работы учащихся при проверки домашней работы:

Оценка «5» задание выполнено полностью, даны верные устные ответы,

«4» при решении допущена одна ошибка или два недочета,

«3» выполнено более половины работы без ошибок,

«2» работа не выполнена или сделаны грубые ошибки, приведшие к не правильном решению.

3.

Изучение нового учебного материала. Данный этап предполагает:

• постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);

• определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;

• изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися (на основе содержания данного пункта эксперт выносит суждение об уровне владения педагогом предметным материалом);

• описание форм и методов изложения (представления) нового учебного материала;

• описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;

• описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;

• описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала;

Наибольшее и наименьшее значение Функции, алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений.

Ввести понятие наибольшего и наименьшего значений функции.

Используя поисковый метод привести учащихся к понятию наибольшего и наименьшего значений, алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений.

Объяснение проводить согласно пункту учебника. Однако выводы, которые в нём даны в готовом виде, желательно получить вместе с учащимися.

Для этого следует рассмотреть график некоторой функции и предложить учащимся найти её наибольшее и наименьшее значения на различных отрезках.

а) [–8; –4]; б) [–6; –2]; в) [–4; –0];

г) [–2; 1]; д) [3; 4]; е) [4; 9].

После этого задать учащимся ряд вопросов и прийти к важным выводам.

1) Является ли функция, график которой изображен на рисунке, непрерывной?

2) На любом ли отрезке, определенном для данной функции, можно найти её наибольшее и наименьшее значения?

Вывод 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

3) В каких из рассмотренных случаев функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка?

4) В каких случаях функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений внутри отрезка?

Вывод 2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

5) В случае в) чем являлись для функции точки, в которых она достигла наибольшего и наименьшего значений на заданном отрезке?

6) В каких ещё случаях функция достигла своего наибольшего и наименьшего значений в точках экстремума?

Вывод 3. Если наибольшее или наименьшее значение функции достигается внутри отрезка, то только в точке экстремума.

7) Может ли функция достигать своего наибольшего и наименьшего значений и не на концах отрезка, и не в точках экстремума?

Вывод 4. Своего наибольшего и наименьшего значений функция может достигать или на концах отрезка, или в точках экстремума, принадлежащих этому отрезку.

Из всех полученных выводов вытекает алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке, который учащиеся должны записать в тетрадь.

Алгоритм проговаривается несколько раз, а затем разбирается пример 1 из учебника. Примеры 2 и 3 – более сложные, их лучше рассмотреть на следующем уроке.

4.

Закрепление учебного материала, предполагающее:

• постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);

• определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;

• описание форм и методов достижения поставленных целей в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог.

• описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;

• Описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда учитель определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.

Уметь находить наибольшее и наименьшее значения функции.

Научить находить наибольшее и наименьшее значения функций, используя производную или свойства функции.

Все задания можно разбить на две группы. В первой группе будут даны элементарные функции, наибольшие и наименьшие значения которых учащиеся смогут найти и без использования производной. А во вторую группу войдут задания, при выполнении которых обязательно использование производной.

1-я группа.

1. № 32.1 (а; г).

Решение:

а) у = 3х – 6, [–1; 4]

Учащиеся должны рассуждать следующим образом:

– функция у = 3х – 6 является линейной;

– она монотонно возрастает на всей числовой прямой;

– своего наибольшего и наименьшего значений данная функция будет достигать на концах отрезка [–1; 4];

– поскольку функция возрастающая, то при х = –1 её значение будет наименьшим, а при х = 4 – наибольшим.

у (–1)= 3 · (–1) – 6 = –9

у (4) = 3 · 4 – 6 = 6

Ответ: у_наим = –9; у_наиб = 6.

г)

Рассуждения аналогичны, только данная функция монотонно убывает на своей области определения.

Ответ: у_наим = 1,5; у_наиб = 10.

2. № 32.2 (б), № 32.3 (б), № 32.7 (б).

При выполнении этих заданий можно воспользоваться знаниями о свойствах тригонометрических функций. Это позволит избежать громоздких рассуждений с использованием производной.

Можно одно и то же задание выполнить двумя способами: с использованием производной и без неё.

Решение:

№ 32.2 (б).

1-й способ.

Замечаем, что на указанном промежутке функция у = cos х принимает все свои значения, то есть [–1; 1]. Значит, наибольшим значением функции будет 2, а наименьшим –2.

2-й способ.

Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1)

2)

На отрезке получим два корня и

3)

Ответ:

3. № 32.4 (в), № 32.5 (а; б).

При выполнении этих заданий также можно не использовать производную.

2-я группа.

1. № 32.6 (а).

Решение:

Здесь также можно использовать два способа.

1-й способ.

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Своего наименьшего значения такая функция достигает в точке, которая служит вершиной этой параболы. Найдем её:

Эта точка входит в рассматриваемый промежуток, причём х = 4 является осью симметрии параболы. Значит, наибольшего значения функция достигает в точке х = –1.

Ответ:

2. № 32.8 (а).

Функцию, предложенную для рассмотрения в этом упражнении, можно исследовать на наибольшее и наименьшее значения только с помощью производной.

3. № 32.12.

Решение:

1)

2)

х – 1 = 2 или х – 1 = –2

х = 3 х = –1

3) а) [2; 4].

Данному отрезку принадлежит точка х = 3.

Ответ:

б) [–2; 0].

Данному отрезку принадлежит точка х = –1.

Ответ:

Вопросы учащимся:

– Всегда ли непрерывная функция достигает наибольшего и наименьшего значений на отрезке?

– Если функция монотонно возрастает на отрезке, то в какой точке она достигает наибольшего значения?

– В каких точках функция может достигать наибольшего и наименьшего значений на отрезке?

– Опишите алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

5.

Задание на дом, включающее:

• постановку целей самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);

• определение целей, которые хочет достичь учитель, задавая задание на дом;

• определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.

Закрепить полученные знания и умения при выполнении домашней работы.

Проверить степень усвоения знаний и умений учащихся.

Краткие пояснения к выполнению домашней работы

Домашнее задание: № 32.1 (б; в), № 32.2 (в; г), № 32.5 (в; г), № 32.11.