Методы решения иррациональных уравнений.

3. Методы решения иррациональных уравнений.

Урок-семинар в 11-м классе

по алгебре и началам анализа.

Из опыта работы учителя математики

СОШ № 24, г. Уральска

Жердецской Ю.Н.

Тема: «Методы решения иррациональных уравнений».

Форма проведения: семинар, работа в группах по 5-6 человек (в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Цели и задачи урока:

1. Обучающие: обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные методы решения иррациональных уравнений, показать умение учащихся подходить к решению уравнений с исследовательской позиции.

2. Развивающие: формирование навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие логического мышления, алгоритмической культуры.

3. Воспитательные: воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения общаться в группах, повышения интереса к предмету.

Тип урока: Применение теоретических знаний, умений и навыков к решению иррациональных уравнений различными методами.

Форма урока: Семинар-практикум: работа в группах.

Методы: фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, защита творческой домашней работы, дифференцированная самостоятельная работа.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, кодоскоп, слайды, , раздаточный материал для самостоятельной работы с дифференцированными заданиями.

Наглядность: таблица «Решение иррациональных уравнений», плакат «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».,плакат: « я слышу-я забываю,я вижу-я запоминаю, я делаю-я понимаю»

Подготовительная работа:

1. Творческое задание №1. (За 2 недели до занятия. Работа в 3 группах).

Решить различные иррациональные уравнения, взятые из сборников ЕНТ 2003-2015 гг., из сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы

Творческое задание №2. (За одну неделю до занятия. Индивидуальная работа.)

Решить уравнение различными способами. Оценить достоинства и недостатки каждого способа. Оформить задание в виде презентации.

1. В течение выполнения творческого задания провести (по необходимости) консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.

Структура урока:

1. Мотивация урока: сообщение темы и цели урока.

2. Презентация исследовательской работы учащихся «Анализ методов решений иррациональных уравнений».

3. Защита творческого задания № 2.

4. Устная проверочная работа (теория и упражнения)

5. Самостоятельная работа.

6. Итог урока.

7. Домашнее задание

Ход занятия:

1. Сообщение темы и цели урока.

2. Презентация исследовательской работы, проводится двумя ученицами, на тему «Анализ методов решения иррациональных уравнений».

Способ I

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой

,

возведем обе части уравнения в квадрат

,

возведем обе части уравнения в квадрат.

По теореме Виета:

Проверка:

1). Если х=42, то

Значит, число 42 не является корнем уравнения.

2). Если х=2, то

Значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2

Достоинства Недостатки

1. Понятно 1. Словесная запись

2. Доступно 2. Громоздкая проверка иногда занимает

много времени и места

Вывод:

При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Способ II

Метод равносильных преобразований

По теореме Виета:

Ответ: 2.

Достоинства Недостатки

1. Отсутствие словесного описания 1. Громоздкая запись

2. Нет проверки 2. Можно ошибиться при комбинации знаков

3. Четкая логическая запись системы и совокупности и получить

4. Последовательность равносильных неверный ответ

переходов

Вывод:

При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности не редко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.

Способ III

Функционально графический метод

+=4,

.

Рассмотрим функции и .

1). у = - степенная функция.

Найдем область определения функции D(x).

.

Составим таблицу значений х и у:

х	1,5	2	6
у	0	1	3

2). у =4 - - степенная функция.

Найдем область определения функции D(x).

.

Составим таблицу значений х и у:

х	-0,25	0	2	6
у	4	3	1	-1

Построим данные графики функции в одной системе координат.

y

4 y

3 A(1;2)

2

1

1 2 3 4 5 6

Графики функции пересекаются в точке с абсциссой х=2.

Ответ: 2

Достоинства Недостатки

1. Наглядность 1. Словесная запись

2. Если ответ точный, то не нужна проверка. 2. Ответ может быть приближенным, не

точным

Вывод:

Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Способ IV

Метод введения новых переменных

+=4.

Введем новые переменные, обозначив ,

Получим первое уравнение системы: a+b=4.

Составим второе уравнение системы:

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно а и b:

по теореме Виета:

Вернемся к переменной х:

Ответ: 2.

Достоинства Недостатки

1. Этот метод для данного уравнения 1.Словесное описание.

не рационален. 2. Громоздкое решение.

Вывод:

Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.

Итак, ребята, значит, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.

Ребята, поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

а) методу возведения обеих частей уравнения в одну и туже степень с проверкой;

б) методу равносильных переходов;

в) функционально графическому методу;

г) методу введения новых переменных?

1. Защита творческого домашнего задания «Применение методов решения иррациональных уравнений». В ходе этого этапа каждый учащийся должен записать в свою тетрадь все примеры, предложенные другими группами и решить дома.

Задание 1.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений, для которых метод введения новой переменной наиболее рационален.

Группа I.

2х² – 6х + +2=0

Группа II

Группа III

Задание 2.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений, решаемых возведением в степень корня.

Группа I.

Группа II

Группа III

Задание 3.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений нестандартными способами: метод ОДЗ и функциональный метод.

Группа I.

Группа II

Группа III

(Перед началом занятия учащиеся групп №1 и №2 записали на доске предложенные ими способы решения, учащиеся группы №3 записали на слайде.)

а) Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает вывод. Учащиеся других групп делают дополнения, если это необходимо. Оценивается анализ и вывод, какой группы будет наиболее четким и полным.

1. Устная проверочная работа.

А) фронтальная беседа:

1. Что такое уравнение? [Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений].

2. Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].

3. Что значит решить уравнение? [Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].

4. Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].

5. Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].

6. Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений – это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод – это метод замены переменных].

Б) проверочная работа:

1. Является ли уравнение иррациональным:

• 1+х

• 2х- 5=0

1. Какие из чисел 5; 0; -3 являются корнями уравнений:

• 

• 

• 

1. Решите уравнения:

• 

• 

• 

• 

5. Самостоятельная работа

Каждый учащийся получает карточку с одним из 3х вариантов: гр.А, В, С. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.

Группа А.

• (х-5)(х+2)

• 

• х-

Группа В.

• 

• 

• 

Группа С.

• 

• 

• 

6.Итоги урока и рефлексия.

Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний,

умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.

Оценки за урок. Рефлексия.

Заполнив таблицу, отразите в ней уровень успешности владения темой урока.

	Теория	Устные упражнения	Методы
			Возв. в степень	Замена	ОДЗ	Функ-ый
Уровень

! – успешно

+ хорошо

- недостаточно

Отобразите свое настроение по завершению урока смайлом.

1. Домашнее задание. Решить задания, которые защищали учащиеся из других групп.