Методы решения иррациональных уравнений

Урок семинар - практикум в 11-м классе по алгебре и началам анализа

Тема: «Методы решения иррациональных уравнений».

Цели и задачи урока:

1. Обучающие: обобщить знания учащихся по данной теме, продемонстрировать различные методы решения иррациональных уравнений, показать умение учащихся подходить к решению уравнений с исследовательской позиции.

2. Развивающие: формирование навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развитие логического мышления, алгоритмической культуры.

3. Воспитательные: воспитание самостоятельности учащихся, умения выслушивать других и умения общаться в группах, повышения интереса к предмету.

Тип урока: Применение теоретических знаний, умений и навыков к решению иррациональных уравнений различными методами.

Форма урока: Семинар-практикум: работа в группах.

Методы: фронтальная беседа, комментирование решений, устная проверочная работа, защита творческой домашней работы, дифференцированная самостоятельная работа.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, кодоскоп, кодопозитивы, диск CD, раздаточный материал для самостоятельной работы с дифференцированными заданиями.

Наглядность: таблица «Решение иррациональных уравнений», плакат «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит».,плакат: « я слышу-я забываю,я вижу-я запоминаю, я делаю-я понимаю»

Подготовительная работа:

1. Задание №1. (За 2 недели до занятия. Работа в 3 группах).

Решить различные иррациональные уравнения, взятые из сборников ЕНТ 2003-2010 гг., из сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы

Задание №2. (За одну неделю до занятия. Индивидуальная работа.)

Решить уравнение различными способами. Оценить достоинства и недостатки каждого способа. Оформить задание в виде презентации.

1. В течение выполнения творческого задания провести (по необходимости) консультации для учащихся, у которых возникают вопросы по заданию.

Структура урока:

1. Орг.момент.

   1. Сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся:

   1. Презентация исследовательской работы учащихся «Анализ методов решений иррациональных уравнений».

   2. Защита творческого задания № 2.

   3. Устная проверочная работа (теория и упражнения)

3. Самостоятельная работа.

4. Домашнее задание

5. Итог урока.

6. Рефлексия

Ход занятия:

1. Сообщение темы и цели урока.

2. Презентация исследовательской работы, проводится двумя ученицами, на тему «Анализ методов решения иррациональных уравнений». Рассматриваются решения рационального уравнения различными способами.

Способ I

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой

Достоинства Недостатки

1. Понятно 1. Словесная запись

2. Доступно 2. Громоздкая проверка иногда занимает

много времени и места

Вывод:

При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает громоздкой и занимает много времени. Этот метод можно использовать для несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Способ II

Метод равносильных преобразований

Достоинства Недостатки

1. Отсутствие словесного описания 1. Громоздкая запись

2. Нет проверки 2. Можно ошибиться при комбинации знаков

3. Четкая логическая запись системы и совокупности и получить

4. Последовательность равносильных неверный ответ

переходов

Вывод:

При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако, последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными плюсами данного способа.

Способ III

Функционально графический метод

Достоинства Недостатки

1. Наглядность 1. Словесная запись

2. Если ответ точный, то не нужна проверка. 2. Ответ может быть приближенным,

неточным

Вывод:

Функционально графический метод – это наглядный метод, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Способ IV

Метод введения новых переменных

Достоинства Недостатки

1. Этот метод для данного уравнения 1.Словесное описание.

нерационален. 2. Громоздкое решение.

Вывод:

Метод введения новых переменных и переход к системе рациональных уравнений для данного уравнения не рационален. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаками корня.

Итак, ребята, значит, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее рациональный способ решения: понятный, доступный, логически грамотно оформленный.

Ребята, поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

а) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

б) методу равносильных переходов;

в) функционально графическому методу;

г) методу введения новых переменных?

1. Защита творческого домашнего задания «Применение методов решения иррациональных уравнений». В ходе этого этапа каждый учащийся должен записать в свою тетрадь все примеры, предложенные другими группами и решить дома.

Задание 1.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений, для которых метод введения новой переменной наиболее рационален.

Группа I.

2х² – 6х + +2=0

Группа II

Группа III

Задание 2.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений, решаемых возведением в степень корня.

Группа I.

Группа II

Группа III

Задание 3.

Рассмотрим решение иррациональных уравнений нестандартными способами: метод ОДЗ и функциональный метод.

Группа I.

Группа II

Группа III

(Перед началом занятия учащиеся групп №1 и №2 записали на доске предложенные ими способы решения, учащиеся группы №3 записали на кодопозитиве).

а) Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает вывод. Учащиеся других групп делают дополнения, если это необходимо. Оценивается анализ и вывод, какой группы будет наиболее четким и полным.

1. Устная проверочная работа (флипчарты).

А) фронтальная беседа:

1. Что такое уравнение? [Уравнение – это равенство двух алгебраических выражений].

2. Что называется корнем уравнения? [Корнем уравнения называется, то значение переменной, при котором данное уравнение обращается в верное равенство].

3. Что значит решить уравнение? [Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней].

4. Какие уравнения называются равносильными? [Два уравнения равносильны на множестве, если они имеют одни и те же корни из этого множества или не имеют корней на данном множестве].

5. Какие уравнения называют иррациональными уравнениями? [Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называют иррациональными уравнениями].

6. Каковы методы решения иррациональных уравнений? [Часто используемый прием решения иррациональных уравнений – это возведение в степень (чаще всего возведение в квадрат). Другой метод – это метод замены переменных].

Б) проверочная работа:

1. Является ли уравнение иррациональным:

• 1+х

• 2х- 5=0

1. Какие из чисел 5; 0; -3 являются корнями уравнений:

• 

• 

• 

1. Решите уравнения:

• 

• 

• 

• 

5. Самостоятельная работа

Каждый учащийся получает карточку с одним из 3х вариантов: гр.А, В, С. Первый вариант для слабоуспевающих учеников, второй и третий для более успешных учащихся.

Группа А.

• (х-5)(х+2)

• 

• х-

Группа В.

• 

• 

• 

Группа С.

• 

• 

• 

6. Домашнее задание. Решить задания, которые защищали учащиеся из других групп.

1. Итоги урока и рефлексия.

Решение иррациональных уравнений требует от учащихся хороших теоретических знаний,

умений применять их на практике, требует внимания, трудолюбия, сообразительности.

Оценки за урок. Рефлексия.

Заполнив таблицу, отразите в ней уровень успешности владения темой урока.

	Теория	Устные упражнения	Методы
			Возв. в степень	Замена	ОДЗ	Функ-ый
Уровень

! – успешно

+ хорошо

- недостаточно

Отобразите свое настроение по завершению урока смайликом.

63