Некоторые способы решения иррациональных уравнений

Урок в 11 классе по теме:

«Некоторые способы решения иррациональных уравнений»

Цитата урока: (выписана на доске)

«Знание только тогда – знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью» - слова Л.Н. Толстого.

Цель:

• обобщение знаний учеников по данной теме;

• демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;

• показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;

• формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

• воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;

• повышение интереса к предмету.

Форма проведения: семинарское занятие.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Ход занятия:

Учитель:

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.

1) 

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

I. Учитель:

На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

II.Выступление учеников

1 ученик.

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.

х +  = 3х – 7

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат.Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

 = 2х – 7

Возведём обе части уравнения в квадрат:

 = 

Получаем:

х + 4 = 4 – 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

4 – 29х + 45 = 0

Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то  = 10 - 7

3 = 3 – верно

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то  = 4,5 - 7

2,5 = - 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

Ответ: х = 5

Предлагаю решить в классе уравнение: 

2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.

Пусть дано уравнение:  -  =  – 

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств    х=2

2

х

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

 -  =  – 

5 = 5 – верно.

Ответ: х = 2.

Попробуйте решить уравнение: = х - 2

3 ученик. Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с– число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

Пример для изучения

Пусть дано уравнение:  + = 6

ОДЗ уравнения: х+60; х

Функции  =  и  =  являются возрастающими на промежутке [- 6;, поэтому функция у =  + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

х = 2.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.

Ответ: х = 2.

Я предлагаю решить на уроке уравнение:

 + = 9 – 

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

Ответ: х = 1

4 ученик Метод введения новой перменной.

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

Дано уравнение:  +  = 

ОДЗ уравнения: х  х 

Пусть , тогда 

Получаем уравнение t +  = 

 =  = 2

Тогда

 или 

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

; х = ; х = 2

Ответ: х =  ; х = 2

В классе я предлагаю решить уравнение: 

5 ученик Метод оценки частей уравнения.

Рассмотрим уравнение: + = 14х - 

Запишем уравнение в виде  +  = -( +49)

 +  = - 

Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.

Для решения в классе предлагаю уравнение: 

 +  = 0

III. Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника

V/ Итог урока:

рефлексия

Вопросы рефлексии:

Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?

Получены ли новые знания и умения?

Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.

Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?

Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?

Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?