Методическая разработка урока математики на тему «Правила дифференцирования»

Государственное областное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Методическая разработка

урока математики

на тему

«Правила дифференцирования».

Выполнил:

преподаватель математики

первой квалификационной категории

Заварзина В.Г.

Липецк 2016 г.

Тема урока:

«Правила дифференцирования».

Цели урока:

1. Образовательные:

а) закрепить навыки нахождения производных функций;

б) ввести правило дифференцирования произведения двух функций;

в) сформировать умения и навыки использования правил дифференцирования для вычисления различных величин при решении прикладных задач и задач производственной направленности.

2. Развивающие:

а) развитие профессиональных качеств студентов (умений применять полученные знания на практике);

б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, логически излагать мысли, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия).

3. Воспитательные:

а) воспитание навыков самостоятельной работы;

б) воспитание дисциплинированности;

в) воспитание эстетических взглядов.

Тип урока: комбинированный

Вид урока: проблемный

Методические приемы:

-тестирование на компьютере;

-самостоятельная работа (работа с раздаточным материалом);

-практический- решение задач производственной и прикладной направленности.

Межпредметные связи: история-электротехника-физика- производственное обучение.

Оборудование и наглядные средства обучения: мультимедийный проектор, компьютеры, тест My TestXPro, презентация, демонстрационный и раздаточный материал, задачник “Алгебра и начала математического анализа” (профильный уровень часть 2) под редакцией А. Г. Мордковича .

Методическая цель: активизировать мыслительную деятельность студентов.

Ход урока:

I.Организационный момент.

Подготовка студентов к уроку. (проверка отсутствующих на уроке, наличие тетрадей)

II. Сообщение темы и целей урока.(слайд 1,2)

Эпиграф к уроку: «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И.Лобачевский. (слайд 3)

Ш. Мотивация.

Преподаватель:

-В наших домах, в транспорте, на заводах - всюду работает электрический ток.

-Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

-Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

-Сегодня на уроке мы применим ваши знания, касающиеся математики и электротехники при решении задач профессиональной направленности .

На практике вы уже сталкивались с измерением силы тока, напряжения с помощью приборов: осциллографа и мультиметра. На базовом предприятии ОАО НЛМК многие цеха оснащены данными приборами. Такие цеха, как ЛПЦ, ФЛЦ, КЦ, КХП . В нашей лаборатории М7 также используются эти приборы.

Преподаватель:

Давайте рассмотрим следующую задачу:

Задача.
Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону .

Найти силу тока в момент времени t=2 cек. (слайд 4)

Преподаватель:

Ваших знаний для решения этой задачи пока не достаточно.

IV.Актуализация опорных знаний

Сегодня к уроку нужно было приготовить сообщение о Исааке Ньютоне и Г.В. Лейбнице.

Историческая справка (сообщение студентов) (слайд 5-6).

(Фотографии ученых. Ответы студентов.)

Повторение пройденного материала:

(Два студента приглашаются к доске для написания формул)

Остальные студенты отвечают на вопросы:

1. Что называется дифференцированием функции?(Процедуру нахождения производной функции y=f(x) называют дифференцированием функции y=f(x))

2. Что означает выражение «дифференцирование функции в точке»?

(Т. е. функция непрерывна в этой точке)

1. В чем заключается физический смысл производной? (Физический смысл производной состоит в том, что если s(t)-закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v= )

2. Назовите формулы для вычисления производных элементарных функций и тригонометрических функций (ответы студентов у доски).

Формулы для производных элементарных функций.

(Студенты называют формулы)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Формулы для производных тригонометрических функций.

1.

2.

3.

4.

1. Назовите правила дифференцирования (слайд 7).

6.Вызываются студенты на компьютерное тестирование (10 студентов)

(Приложение 4. Приводится ниже с заданиями и правильными ответами.)

7.В это время остальные студенты выполняют следующие задания:

Найдите производные функций (слайд 8):

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

Правильные ответы:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

8.Вызывается студент для решения задачи у доски.

Задача 1(слайд 9)

Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x— расстояние от точки отсчета в метрах,

t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с.

Решение:

Необходимо найти производную функции, так как v=, то

Ответ: 20м/с.

V. Введение нового материала.

Вернёмся к теме нашего сегодняшнего урока.

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной это .

У Вас на столах лежит таблица для нахождения производных физических, электротехнических и математических величин. (слайд10).

Производные функций нашли широкое применение при решении прикладных задач на нахождение силы, мгновенной скорости, силы тока, теплоёмкости и других величин.

1. Сила-- есть производная работы по перемещению.

2.Сила тока I-- есть производная заряда q по времени.

3.Мгновенная скорость– есть производная пути по времени .

4. Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е.

C(t) =Q^/(t)

Чтобы найти силу тока в данный момент времени необходимо воспользоваться правилом нахождения производной от произведения двух функций.

Давайте запишем в тетради следующую формулу:

Пусть , тогда:

VI Решение задач.

Давайте рассмотрим решение следующей задачи:

Задача 2.(слайд 12).

Найдите скорость изменения функции в точке x=2.

Решение:

Ответ:

VII. Закрепление пройденного материала.

Рассмотрим задачу урока.

Задача (слайд 13).

Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону

Найти силу тока в момент времени t=2 cек.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

Решение:

Найдем производную функции заряда.

VII. Домашнее задание:

Составить и решить задачу на нахождение силы тока , № 41.16(а-г) из учебника на стр.225. (слайд 14).

VIII. Подведение итогов урока.

Выставление оценок за урок.

Приложение 1.

Историческая справка.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики.

Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и

Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

О Ньютоне.

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

А.Поуг.

Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального исчисления.

Ньютоном были изучены все основные вопросы физики и математики, актуальные для его времени.

Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных). Ньютон вычислял производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа.

О Лейбнице

Готфрид Вильгельм Лейбниц. (1646-1716)

Работы Лейбница составляют фундамент математического анализа.

В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Лейбниц дал правила вычисления производной суммы, разности, произведения, дроби.

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Но это не говорит о том, что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.

Используя методы дифференциального исчисления, учёные предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом наукиXVIII века.

Необходимо сказать, что Ньютон не дал четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано французским математиком О.Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.

Приложение 2.

Таблица для нахождения производных физических, электротехнических и математических величин.

Приложение 3.

Формулы для производных элементарных функций.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Формулы для производных тригонометрических функций.

1.

2.

3.

4.

Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

Приложение 4.

Задания компьютерного тестирования.

Задания к тесту:

1

Производная функции равна:

Верный ответ 2)

2

Производная функции равна:

Верный ответ 3)

3 Производная функции равна:

Верный ответ 1)

4

Производная функции равна:

Верный ответ 4)

5

Производная функции равна:

Верный ответ 4)

6

Производная функции равна:

Верный ответ 1)

7

Производная функции равна:

Верный ответ 2)

8

Производная функции равна:

Верный ответ 3)

9

Производная функции равна:

Верный ответ 2)

10

Производная функции равна:

Верный ответ 1)

Список литературы:

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.

3. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.

4. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2003.

5. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—3-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2015.

Правила

дифференцирования

Цели урока:

• закрепить навыки нахождения производных функций ;
• ввести правило дифференцирования произведения двух функций;
• сформировать умения и навыки использования правил дифференцирования для вычисления различных величин при решении прикладных задач и задач производственной направленности.

• «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»         Н.И. Лобачевский .”

Задача

Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону

Найти силу тока в момент времени

t=2 сек.

И. Ньютон

Г. Лейбниц

О. Коши

Правила дифференцирования

Пусть , тогда:

1)

2)

3)

4)

Найдите производные функций :

д)

е)

ж)

з)

a)

б )

в )

г )

Задача 1

Материальная точка движется прямолинейно по закону

где x — расстояние от точки отсчета в метрах,

t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=6 с.

Таблица для нахождения производных физических, электротехнических и математических величин :

Величины

Вычисление производной

А – работа;

F – сила;

N - мощность.

F(x)=A' (x);

N(t)=A' (t).

q –электрический заряд;

I – сила тока.

I(t)=q' (t)

S –перемещение;

v – скорость.

V(t)=S' (t)

Q –количество теплоты;

с – теплоёмкость.

C(t)=Q' (t)

Правило дифференцирования

Пусть , тогда:

Задача 2 Найдите скорость изменения функции в точке x=2 :

Задача.

Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону

Найти силу тока в момент времени

t=2 сек.

Домашнее задание:

Составить и решить задачу на нахождение силы тока , № 4 1 . 16 (а-г) из задачника на стр.2 25 .