Методическая разработка открытого занятия по дисциплине «Математика» на тему: «Решение логарифмических уравнений»

Государственное общеобразовательное учреждение среднего профессионального образования Луганской Народной Республики «Луганский колледж строительства, экономики и права»

Методическая разработка открытого занятия

по дисциплине «Математика»

на тему: «Решение логарифмических уравнений»

для студентов 1 курса

Разработала: М.Н. Трифонова

2018

Тема: Решение логарифмических уравнений

Цели:

Образовательные:

- повторить определение и свойства логарифмов;

- сформировать, обобщить и систематизировать знания и умения обучающихся по применению методов решения логарифмических уравнений.

Развивающие:

- выработать умение мыслить, делать выводы, применять теоретические знания для решения задач;

- развивать самостоятельность, мышление, познавательный интерес.

Воспитательные:

- воспитание устойчивого интереса к математике;

- воспитание готовности и способности к самостоятельной творческой деятельности;

- воспитание целеустремленности в поисках и принятии решений.

Тип занятия: комбинированное.

Методы обучения: информационно-развивающий, наглядно-иллюстративный, проблемно-поисковый, групповой.

Наглядность и ТСО: компьютер, мультимедийный проектор, экран, стен.газета.

Дидактические материалы: карточки с заданиями.

Литература:

1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учеб. Для общеобразоват.орг: базовый и углубл. уровни/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2016.-463с.

2. Алгебра и начала анализа/ под ред. Яковлева Г.Н.-М.:Наука, 1987-Ч.1,2

3. Алгебра і початок аналізу: Підруч. для 11 кл. загально освіт. навч. закладів/ М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук.-К.: Зодіак-ЕКО, 2005.-384с.

4. Логарифм [Электронный ресурс] // режим доступа:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Логарифм

План занятия:

I. Организационный момент (2 мин.).

II. Создание проблемной ситуации. Подготовка обучающихся к формулировке темы занятия (5 мин.).

III. Актуализация опорных знаний обучающихся. Подготовка обучающихся к активному и сознательному усвоению нового материала.

1. Устная работа (5 мин.);

3.2 Математическая эстафета (5 мин.).

IV. Изучение нового материала (с поэтапным закреплением) (33 мин).

4.1 Решение простейших уравнений.

4.2 Решение уравнений методом потенцирования.

1. Решение уравнения методом введения новой переменной.

1. Закрепление изученного материала. (20 мин.)

1. Решить устно уравнения.

2. Игра «Логарифмическая мишень».

3. ^*Сообщение «История возникновения логарифмов».

VI. Рефлексия. Составление кластера (5 мин.).

VII. Подведение итогов. Задание на дом. (5 мин.).

Ход занятия.

I. Организационный момент.

Добрый день, присаживайтесь!

Давайте отметим отсутствующих.

Вы, наверное, уже заметили, что сегодня у нас необычное занятие. Во-первых, на занятии присутствуют гости, во-вторых, в аудитории звучит музыка. Почему именно сегодня мы слышим её на занятии математики?

Известный физик А. Эйхенвальд заметил, что «играя по клавишам современного рояля, мы играем по логарифмам». Дело в том, что ступени 12-ти звуковой гаммы частот звуковых колебаний и есть логарифмы.

На предыдущем занятии мы с вами выучили определение логарифма, основные свойства логарифма, а чем же мы займемся сегодня?

II. Создание проблемной ситуации. Подготовка обучающихся к формулировке темы занятия.

Преподаватель: Как вы успели заметить, на доске не записана тема сегодняшнего занятия. Вам предстоит самим определить ее. Вы видите равенства, содержащие переменную (они заранее записаны на доске):

Что общего у них?

Как называют эти равенства?

Обучающиеся отвечают: Эти уранения содержат переменную под знаком логарифма и называются логарифмическими.

Преподаватель: Итак, сегодня мы рассмотрим различные логарифмические уравнения и методы их решения.

-Откройте тетради, запишите число __24.10___ и тему занятия:

(Слайд 1) «Решение логарифмических уравнений». (в учебнике стр.105)

Задачи занятия:

Сегодня на занятии мы повторим и обобщим наши знания о логарифмах и их свойствах, а также узнаем, какие существуют виды логарифмических уравнений и методы их решения.

(Музыку выключить)

Обращаю ваше внимание, у каждого на столе лежит «кейс». Я скажу, когда его открыть и что из него достать.

III. Актуализация опорных знаний обучающихся. Подготовка обучающихся к активному и сознательному усвоению нового материала. Устная работа

3.1 Преподаватель: Какие знания будут нам необходимы для решения логарифмических уравнений?

Обучающиеся отвечают: Чтобы решить логарифмические уравнения нужно знать:

1. Определение логарифма;

2. Формулы и свойства логарифмов;

3. Методы решения логарифмических уравнений.

Преподаватель: Сформулируйте определение логарифма.

На доске плакат:

Обучающийся отвечает:  Логарифмом положительного числа b  по основанию  называется показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b.

Преподаватель: Давайте повторим свойства логарифма, которые мы можем использовать при решении логарифмических уравнений?

Исправить ошибки в формулах:

Основные свойства логарифмов: Формула перехода от одного основания логарифма к другому Основное логарифмическое тождество

Основные свойства логарифмов: Формула перехода от одного основания логарифма к другому Основное логарифмическое тождество

1. Преподаватель: А теперь математическая эстафета. (Слайд2)

Используя свойства и определение логарифма каждой команде предлагается вычислить логарифмы (по одному логарифму для каждой парты).

Студентам дается на эстафету 5 минут. Вы находите значения логарифма в парах, а затем по очереди, передавая эстафету одна парта - другой, последний участник команды из полученных букв составляет слово, подходит ко мне и выбирает из предложенных вариантов правильное слово. (В кейсе)

1 команда	2 команда	3 команда

С помощью предложенной таблицы сопоставьте каждому ответу правильную букву.

9	ри
-2	л
27	фм
3	ог
-3	е
1/2	а
-9	е
2	н
-27	р
-1/2	п

9	у
-2	ие
27	ра
3	вн
-3	е
1/2	ен
-9	а
2	ра
-27	лг
-1/2	б

9	ва
-2	ни
27	ос
3	е
-3	я
1/2	но
-9	ц
2	и
-27	л
-1/2	ек

Должны получиться слова:

1 команда – логарифм

2 команда – уравнение

3 команда - основание

IV. Изучение нового материала (с поэтапным закреплением)

Преподаватель: Молодцы. А теперь вернемся к теме нашего занятия. Вспомните, какие методы решения уравнений вы знаете и какие из них можно применить для решения логарифмических уравнений. (Слайд 3)

Обучающиеся называют методы решения уравнений:

- по определению;

- метод потенцирования;

- преобразование уравнения по формулам;

- введение новой переменной;

- графический.

Преподаватель: Замечательно. Но сегодня мы с вами остановимся только на некоторых из перечисленных вами методов.

Преподаватель: Кто может сказать, что еще необходимо знать, чтобы решить логарифмическое уравнение?

Обучающиеся отвечают: алгоритм решения. (Слайд 4)

Алгоритм решения уравнений:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной.

2. Решить уравнения, выбрав метод решения.

3. Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ.

4. Записать ответ, исключив посторонние корни.

1. Решение простейших уравнений: (Слайд 5)

Логарифмическое уравнение – это уравнение, в котором переменная содержится под знаком логарифма. Простейшими логарифмическими уравнениями будем называть уравнение вида:

log _a x = b, a 0, a ¹ 1.

Это уравнение решается на основании определения логарифма:

если log_a х = b, то x= a^b.

Пример 1. Решить уравнение (Слайд 6)

log₂ x = 3.

Решение. ОДЗ x 0. По определению логарифма x = 2³, x = 8 принадлежит ОДЗ уравнения.

Ответ: x = 8.

Пример 2. Решить уравнение

Решение:

Если по каким-либо причинам, мы не можем найти ОДЗ, в конце необходимо сделать проверку.

По свойству логарифмов верно равенство ,

из этого равенства по определению логарифма получаем

(x+1)(х+3)=8, ,

,

откуда , .

Проверка: , ,

,

, 3=3.

, ,

, левая часть уравнения не имеет смысла, поэтому не является корнем этого уравнения.

Ответ: .

Решите простейшее уравнение (решает студент из учебника №327 (2)).

Решение. Область допустимых значений находится из неравенства

ОДЗ: 3х + 1 0, , .

Воспользуемся определением логарифма:

,

,

х=8, принадлежит ОДЗ.

Ответ: 8

4.2 Рассмотрим второй метод решения логарифмических уравнений потенцирование. (Слайд 7)

Суть метода заключается в переходе от уравнения

log _a f(x) = log _a g(x) к уравнению f(x) = g(x) это и называется потенцированием. При таком методе решения возможно получение посторонних корней. Поэтому из найденных корней уравнения f(x) = g(x) нужно отобрать те, которые принадлежат области определения данного уравнения.

Пример 4. Решить уравнение

lg (2x²–4x+12) = lg (x²+3x).

Решение. Область допустимых значений найдётся из системы неравенств

.

Потенцируя данное уравнение, получаем

х² – 7х + 12 = 0, откуда х₁ = 3, х₂ = 4.

Оба значения х входят в ОДЗ, т.е. являются корнями исходного уравнения.

Ответ: х = 3, х = 4.

Решить уравнение методом потенцирования (решает студент из учебника №340 (2)):

log_1/2(3x-1)=log_1/2(6x+8) .

Решение

log_1/2(3x-1)=log_1/2(6x+8).

 О.Д.З.           

Используя теорему о равенстве логарифмов с одинаковыми основаниями, получаем:

    3х-1=6х+8,

   -3х=9,

x=-3, не принадлежит ОДЗ, т.е. посторонний корень.

Ответ: нет корней.

3. Рассмотрим третий метод решения логарифмических уравнений -введение новой переменной (Слайд 8)

Рассмотрим логарифмическое уравнение, которое введением новой переменной приводится к квадратному.

Уравнения вида где a 0, a ¹ 1, A, В, С – действительные числа.

Пусть t = log_a f(x), tÎR. Уравнение примет вид Аt² + Bt + C = 0.

Решив его, найдём х из подстановки t = log_a f(x). Учитывая ОДЗ, выберем только те значения x, которые удовлетворяют неравенству f(x) 0.

 

Пример 6. Решить уравнение lg ² x – lg x – 6 = 0.

Решение. ОДЗ интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lg x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² – t – 6 = 0. Его корни t₁ = –2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lg x = –2 или lg x = 3,

х = 10 ^–2 или х = 10 ³. Оба значения x удовлетворяют ОДЗ данного уравнения (х 0).

Ответ. х = 0,01; х = 1000.

Решить уравнение методом введения новой переменной (решает студент):

Решение. ОДЗ интервал (0; ¥).Введём новую переменную t = lоg₂ x, tÎR.

Уравнение примет вид t ² –5t + 6 = 0. Его корни t₁ = 2, t₂ = 3.

Вернёмся к первоначальной переменной lоg₂ x = 2 или lоg₂ x = 3,

х = 2² или х = 2 ³. Оба значения x удовлетворяют ОДЗ данного уравнения (х 0).

Ответ. х = 4; х = 8.

1. Закрепление изученного материала.

5.1. Решите устно уравнения: (Слайд 9)

1. х=27

2 х=27

3. х=8

4. х=2

5.2 Игра «Логарифмическая мишень». (Слайд 10)

Вашему вниманию представлена «Логарифмическая мишень» с уравнениями разного уровня сложности и вариантами ответов. Ваша задача найти корни этих уравнений, а посторонние и неправильные корни убрать с мишени. Каждой паре раздается «Логарифмическая мишень». Студенты решают уравнения соответствующие их уровню знаний. Первый кто справился с заданием, выходит к доске и убирает неправильные ответы с мишени.(В кейсе) .

5.3^* Сообщение «История возникновения логарифмов» (Если останется время, иначе обратить внимание на стенгазету) .

История возникновения логарифмов (слайд 1)

(Слайд 2) Логарифмы – это рифмы,

Словно в музыке слова.

С ними проще вычисленья –

Не сложней, чем дважды два.

(Слайд 3) Слово логарифм происходит от слияния греческих слов ЛОГОС - отношение и АРИФМОС – число и переводится как отношений чисел, одно из которых является членом арифметической прогресс, а другое геометрической.

ЛОГАРИФМ число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней – делением.

(Слайд 4) Впервые понятие логарифмов ввел английский математик Джон Непер. Потомок старинного воинственного шотландского рода. Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику. Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий. В 1590-х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал лишь в 1614 году.

(Слайд 5) Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с помощью выведенной Бриггсом формулы.

Изобретатели логарифмов не ограничились созданием логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. Английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные логарифмы чисел.

Наибольшее влияние оказали логарифмы на развитие астрономии. Успехи мореплавания в средние века обусловливали большой спрос на астрономические таблицы, составление которых требовало весьма сложных вычислений. Использование логарифмических таблиц значительно облегчало и ускоряло эти вычисления. По образному выражению французского математика Лапласа (1749—1827), изобретение логарифмов,  сократив работу астронома,  продлило ему жизнь.

(Слайд 6) Общее определение логарифмической функции и ее широкое обобщение дал Леонард Эйлер.

(Слайд 7) В математике логарифмическая спираль впервые упоминается в 1638 году Рене Декартом.

(Слайд 8) Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.

(Слайд 9) Один из наиболее распространенных пауков, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

(Слайд 10) Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причём каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали. По этому раковины многих моллюсков, улиток, а так же рога таких млекопитающих как архары, (горные козлы), закручены по логарифмической спирали.

(Слайд 11) По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности галактика, которой принадлежит Солнечная система.

(Слайд 12) Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков

(Слайд 13) Громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.

(Слайд 14) Изучая логарифмы, ученые пришли к выводу о том, что величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

(Слайд 15) Зачем мы изучаем логарифмы? Во-первых, логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления. Во-вторых, испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Вывод: логарифмы важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать. (Слайд 16)

VI. Рефлексия. Составление кластера.

Преподаватель: Давайте обобщим сведения, полученные сегодня на занятии. Какие уравнения мы сегодня решали и какие знания нам помогали их решать?

Преподаватель совместно со студентами составляет на доске кластер. (В кейсе)

VII. Подведение итогов занятия. Выставление оценок.

Домашнее задание: (В кейсе)

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.

А. Дистервег

1. Работа с конспектом, учебник §19, с.105-107;

2. Решить уравнения:

№327 6) ;

№ 340

Творческое задание (по желанию): На занятии мы рассмотрели не все методы решения логарифмических уравнений. Их гораздо больше. К следующему занятию я попрошу вас отыскать недостающие методы. Вы должны будете указать их название, принцип решения и привести пример. Обучающиеся, которые предоставят наиболее полную информацию, будут освобождены от тематической работы.

Преподаватель. И в конце занятия давайте оценим ваши впечатления. Что узнали нового? Было ли интересно, познавательно? Какие возникли трудности в усвоении нового материала? Сложно ли было вам включиться в учебный процесс?

Для этого я предлагаю заполнить «лист самоанализа деятельности обучающегося». (В кейсе)

Лист самоанализа деятельности обучающегося

Из предложенных утверждений отметь те, с которыми вы согласны.

Мне было интересно работать на занятии.

Данная тема понятна для меня.

В процессе работы у меня возникли затруднения.

Результатом работы я доволен.

Поделись впечатлениями о занятии: что понравилось или не понравилось________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.