Метод интервалов

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Здравствуйте, ребята, садитесь.

Французская пословица гласит «Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днем».

Чем же мы сегодня с вами будем пополнять знания, вам интересно?

Об этом узнаем позже, а сначала нам кое-что нужно вспомнить.

Дети садятся

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Давайте мы вспомним решения линейных неравенств (которые будут в первой части в ОГЭ)

- x – 9x ≥ - 8 – 6

- 10х ≥ - 14

х ≤ 1,4

ответ: 3

- 3х – 7х 3 – 9

- 10х - 6

х 0,6

ответ: 4

х – 3х ≤ 1 + 2

- 2х ≤ 3

х ≥ - 1,5

ответ: 1

4х – 6х ≥ - 5 – 2

- 2х ≥ - 7

х ≤ 3,5

ответ: 2

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Открываем тетради, записываем число, оставьте место под тему урока. Мы запишем её позже.

Учащиеся открывают тетради, записывают число.

По мнению Н.К.Крупской «Математика – это цепь понятий: выпадет одно звено – и не понятно будет дальнейшее».

Давайте с вами вспомним, чем мы занимались на прошлом уроке.

Решали квадратичные неравенства.

Правильно, поэтому я предлагаю вам решить следующие неравенства, устно проговаривая алгоритм решения.

Цель задания: вспомнить алгоритм решения квадратичного неравенства.

Решить неравенства: x² - 7x + 12 0.

Записывают решение неравенств в тетрадях, устно проговаривая алгоритм решения.

Что мы делаем на первом шаге?

Рассматриваем квадратичную функцию y= x²-7x+12.

Что можно сказать про эту функцию?

Ее графиком является квадратичная парабола, ветви которой направлены вверх

Правильно, следующий шаг?

Решаем квадратное уравнение

x² - 7x + 12 = 0.

Как можно решить данное уравнение?

По теореме Виета-

Что мы делаем на третьем шаге?

Отмечаем полученные корни на оси Ох и через отмеченные точки схематично строим график параболы.

Точки будут закрашенные или выколотые и почему?

Выколотые, потому что знак неравенства строгий.

+ - +

3 4

Дальше что делам?

Расставляем знаки на промежутках.

Промежутки с какими знаками запишем в ответ и почему?

Промежутки со знаком +, потому что в неравенстве стоит знак .

Числа 3 и 4 включаем или нет?

Нет, потому что знак неравенства строгий.

Правильно, молодцы, продиктуйте ответ.

О твет:

Решить неравенство: (x - 5)(x + 3) 0.

Цель задания: подготовить учащихся к изучению новой темы.

Как можно решить данное неравенство?

Ученики выдвигают гипотезы.

Какие затруднения возникли при решении неравенства?

Как определить направление ветвей параболы.

Это неравенство можно решить по-другому. Скажите, когда произведение двух множителей больше нуля?

Когда оба множителя одного знака.

Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны:

x − 5 0 и x + 3 0.

Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны:

x − 5 x + 3

Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Продолжим выполнять задание.

(х - 7)(х - 1)(х + 4)(х + 9) 0

Испытывают затруднения.

Сможем ли мы с помощью рассмотренных методов решить это неравенство?

Нет. Это неравенство четвертой степени, а мы умеем решать только линейные и квадратичные.

Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение.

Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.

Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.

Данное неравенство можно решить с помощью методом, который называется методом интервалов – это метод для решения более сложных неравенств.

Сформулируйте тему нашего урока.

Тема нашего урока: «Решение неравенств с помощью метода интервалов».

И что сегодня на уроке мы с вами должны сделать?

Научится решать неравенства с помощью метода интервалов.

Запишите в тетрадях тему урока.

Записывают тему урока.

Решим неравенство:

(х - 2)(х - 3)(х - 4) 0.

Для того чтобы решить данное неравенство, мы с вами, как и в предыдущих случаях, должны решить соответствующее уравнение

(х - 2)(х - 3)(х - 4) = 0.

Как решается данное уравнение.

Произведение множителей равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0.

x-2=0  x-3=0  x-4=0

x=2 Ú x=3 Ú x=4

Отмечаем полученные корни на оси ОХ, какие будут точки?

Полученные корни разобьют ось ОХ на числовые промежутки.

Выколотые, потому что знак неравенство строгое.

Чертим таблицу, где указываем знак каждого множителя выражения на рассматриваемых промежутках. Для этого из каждого промежутка берем произвольное число, и подставляем в множитель. Знак полученного числа заносим в таблицу.

Записывают решение неравенства в тетради.

Далее на числовой оси расставляем знаки многочлена.

Так как знак неравенства , то выбираем промежутки со знаком +, если бы был знак неравенства

Ответом будет объединение этих промежутков.

Ответ: (2;3)(4;+).

Сейчас я раздам вам памятки, которые вы вклеите в свои тетрадки для теории.

В этой памятке приведен алгоритм решения неравенств с помощью метода интервалов в общем виде.

Давайте с вами прочитаем этот алгоритм.

Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще.

Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов.

Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней.

Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.

После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они отмечены знаком «+», если неравенство имело вид f (x) 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x)

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Как говорил римский баснописец первой половины I в. н. э. Федр: «На примерах учимся».

Рассмотрим и мы на примерах использование метод интервалов при решении неравенств.

Наибольшие трудности в методе интервалов возникают на последних двух шагах, т.е. при расстановке знаков. Многие ученики начинают путаться: какие надо брать числа и где ставить знаки.

Чтобы окончательно разобраться в методе интервалов, рассмотрим
два замечания, на которых он построен:

Непрерывная функция меняет знак только в тех точках, где она равна нулю. Такие точки разбивают координатную ось на куски, внутри которых знак функции никогда не меняется. Вот зачем мы решаем уравнение f (x) = 0 и отмечаем найденные корни на прямой. Найденные числа — это «пограничные» точки, отделяющие плюсы от минусов.

Чтобы выяснить знак функции на каком-либо интервале, достаточно подставить в функцию любое число из этого интервала.

Все точки на одном интервале дают один и тот же знак. Помните об этом!

По словам великого немецкого поэта и мыслителя Гёте «Недостаточно только получить знания; надо найти им приложение. Недостаточно только желать; надо делать».

Последуем эти словам и начнём учиться применять полученные сегодня знания при выполнении упражнений.

Практическая работа:

(х + 9)(х – 3)(1 – х) 0

х(2х + 8)(х – 3) 0

(х – 1)(2 + х)(7 – х) 0

Решают у доски с объяснением.

Решают самостоятельно.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

• Что нового узнали?

• Какова была цель урока?

• Как вы думаете, мы достигли поставленной цели?

• Что было для вас самым сложным?

• Продолжи предложение:

• Я узнал…

• Я научился…

• Мне понравилось…

• Я затруднялся…

• Мое настроение ….

• Материал урока мне был ….

Учащиеся отвечают на вопросы.

• На уроке я работал ….

• Своей работой на уроке я ….

• Урок для меня показался ….

• За урок я ….

Учащиеся оценивают свою работу.

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Откройте дневники и запишите задания на дом:

стр 88, пункт 15, № 326 (а, г), № 327.

Откройте учебники и просмотрите эти номера.

Комментарий к домашнему заданию.

Учащиеся записывают домашнее задание и задают, вопросы.