Конспект урока алгебры в 11 классе по теме "Показательная функция"

Урок алгебры 11 класс
Автор УМК А.Г. Мордкович

Тема урока «Свойства показательной функции»

Цели: изучить основные свойства показательной функции; формировать умения использовать свойства показательной функции для исследования функций и решения уравнений и неравенств; систематизировать знания по ранее изученным функциям с целью подготовки к ЕГЭ.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Фронтальный опрос.

• Какая функция называется линейной?

• Что является графиком линейной функции7

• Как зависит расположение графика линейной функции на координатной плоскости в зависимости от углового коэффициента k? Приведите примеры.

• Какой формулой задается прямая пропорциональность? Приведите примеры.

• Какая функция называется квадратичной?

• Что является графиком квадратичной функции?

• Как зависит расположение графика квадратичной функции на координатной плоскости в зависимости от а? Приведите примеры.

• Функции какого вида называют степенными?

• – Как выглядит график степенной функции y = в зависимости от показателя?

• – Как построить график функции вида y = (x + a)ⁿ + b?

• – В чём состоит суть графического метода решения уравнений и неравенств?

• III. Объяснение нового материала.

1. Перечислим основные свойства показательной функции y = a^x.

1) D (f) = (–; +).

2) Ни четная, ни нечетная.

3) Монотонна. При 0 a a 1 – возрастает.

4) Ограничена снизу и не ограничена сверху.

5) Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

6) Непрерывна.

7) E (f) = (0; +).

8) Выпукла вниз.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 39.14, 39.15 (устно).

При выполнении данных упражнений учащиеся должны назвать функцию, указать её вид, назвать её график. Следует оперировать такими понятиями как монотонность, ограниченность.

2. № 39.16.

При выполнении этого задания ученики должны обосновать выбор ключевых точек, единичного отрезка, расположение графика, возрастание (убывание).

3. № 39.17 (а; б), 39.18 (а; б), 39.19 (а).

При выполнении данных заданий используются свойства монотонности показательной функции.

Решение:

№ 39.17.

а) Функция у = 1,3^х – возрастает, так как 1,3 1. Так как 34 ^{34 40};

б) Функция у = – убывает, так как 0 –3, то .

№ 39.18.

Все графики показательных функций проходят через точку с координатами (0; 1). Учащиеся могут изобразить соответствующие графики:

а) у = 17^х – возрастающая (17 1). Так как 0, то 1.

б) у = (9,1)^х – возрастающая (9,1 1). Так как 0, то 1.

№ 39.19 (а).

Функция у = 2^х – возрастающая. Расположим показатели степеней в порядке возрастания (с учетом, что 1 = 2⁰):

Значит, .

Ответ:

4. № 39.20 (устно), 39.21 (а; б).

При выполнении упражнения необходимо определить соотношение единицы и основания степени.

Решение:

№ 39.21.

а) у = 2^–х.

2^–х = .

Значит, у = 2^–х совпадает с у = – функция монотонно убывает, так как 0

б) у = ; .

Значит, у = совпадает с у = – функция монотонно возрастает, так как 1.

5. № 39.22 (а; б), 39.23 (а; б).

№ 39.22 (а)

4^x  64.

y = 4^x – возрастает. При х = 3 4^x = 64.

Значит, при x  3 график функции y = 4^x лежит ниже графика функции у = 64, то есть неравенство верно.

Ответ: x  3.

№ 39.23 (а).

 81.

81 = 3⁴ = тогда и только тогда, когда х = –4.

Функция y = – убывает, значит, при график функции лежит y = выше графика функции у = 81, то есть неравенство верно.

Ответ: x  –4.

6. № 39.24 (а; б), 39.25 (а; б), 39.26.

№ 39.24 (а).

y = 2^x, [1; 4].

Функция у = 2^х – монотонно возрастает на всей области определения, значит, наименьшее значение она принимает в точке 1, а наибольшее в точке 4.

y_наим. = y (1) = 2¹ = 2;

y_наиб. = y (4) = 2⁴ = 16.

№ 39.25 (б).

y = , (–; 2].

Функция y = – монотонно убывает на всей области определения, значит, наименьшее значение она примет в точке 2, а наибольшего значения – не существует.

y_наим. = y (2) = .

№ 39.26.

у = 2^х – монотонно возрастает на всей области определения.

y_наиб. = 32; 32 = 2⁵, значит, 2^x = 2⁵ тогда и только тогда, когда х = 5.

y_наим. = ; = 2^–1, значит, 2^х = 2^–1 тогда и только тогда, когда х = –1.

Значит, функция у = 2^х принимает соответствующее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [–1; 5].

Ответ: [–1; 5].

V. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = 7^х принимает значение, равное .

2. Сравните числа и .

3. Исследуйте на монотонность функцию y = – 3.

Вариант 2

1. Найдите значение аргумента х, при котором функция у = принимает значение, равное .

2. Сравните числа и .

3. Исследуйте на монотонность функцию y = –4^x.

VI. Решение заданий из открытого банка заданий ЕГЭ (Сайт ФИПИ)

1. Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 10%. На сколько процентов семь таких же рубашек дороже куртки?

2. Теплоход рассчитан на 950 пассажиров и 110 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?

3. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m0⋅2− tT, где m0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин.) — время, прошедшее от начального момента, T (мин.) — период полураспада. В   начальный момент времени масса изотопа m0=200 мг. Период его полураспада T=3 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?

VII. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какая функция называется показательной?

– Какова область определения и область значений функции у = а^х.

VIII. Домашнее задание: № 39.17 (в; г), 39.18 (в; г), 39.19 (б), 39.21 (в; г), 39.22 (в; г), 39.23 (в; г).