Конспект урока математики "Квадратные уравнения"

ГБОУ «Школа №763»

Квадратные уравнения

( урок алгебры в 8 классе )

Учитель: Рубель

Елена Валерьевна

Москва- 2016

Цели урока:

1) рассмотреть различные способы решения квадратных уравнений;

2) способствовать выработки у обучающихся желания и потребности обобщения изучаемых фактов;

3) развивать самостоятельность, творчество;

4) создать условия для формирования интереса к алгебре, как науке.

Ход урока.

1. Объявление темы и целей урока.

2. Проверка теоретических знаний по теме (разгадать кроссворд, а также вспомнить формулы для вычисления корней квадратного уравнения для любого b, для чётного b, формулы Виета).

Вопросы.

1) Число, от значения которого зависит количество корней квадратного уравнения. (Дискриминант)

2) Квадратное уравнение, в котором b=0 или c=0.(Неполное)

3) Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1.(Приведённое)

4) Число корней при D=0.(Один)

5) Есть ли корни в квадратном уравнении при D

6) Число корней при D0.(Два)

7) Учёный, доказавший теорему о свойстве корней квадратного уравнения. (Виет)

Спасибо ребята! А сейчас прослушаем историческую справку о французском учёном Франсуа Виете.

Ф. Виет родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату — Шарант. Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе.

Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — труд по тригонометрии, — который издал в Париже в 1579 году.

В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти.

Благодаря связям матери и браку своей ученицы с принцем де Роганом , Виет сделал блестящую карьеру и стал советником сначала короля Генриха III, а после его убийства — Генриха IV. По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии

Когда в результате придворных интриг Виет был на несколько лет устранён от дел (1584—1588), он полностью посвятил себя математике. Итогом его размышлений стали несколько трудов, в которых Виет предложил новый язык «общей арифметики» — символический язык алгебры.

При жизни Виета была издана только часть его трудов. Главное его сочинение: «Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел.

Виет чётко представлял себе конечную цель — разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью:

Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразование — например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию.

3. Устная работа.

На доске написаны уравнения

1) х²-5х+6=0

2) 2х²+3х-9=0

3) х²+8х+7=0

4) х²+х-20=0

5) 3х²-3х-1=0

6) 3х²-2х+4=0

Вопросы к обучающимся

1.) Выберите среди них приведённые квадратные уравнения и найдите их корни. ( Это уравнения 1,3,4. Их корни 2 и 3, -7 и -1, -5 и 4.)

2.) Найдите сумму и произведение корней оставшихся уравнений. (-4,5 и -1,5; -1/3 и 1; корней нет )

В то время, пока идёт устная работа, три человека работают по решению задач у доски : №266(б), №266(в), № 266(г).

После устной работы идёт проверка решенных задач.

4.Новые способы решения квадратных уравнений

Теорема 1. Если aх² + bx + c = 0 и a + b + c = 0, то

x1 = 1

x2 = c/a

Например

345х²-137х-208=0

a=345, b=-137, c=-208

a + b + c=345+(-137)+(-208)=0, значит по Т1 х1=1, х2= =-208/345

Ответ:-208/345; 1

Теорема 2. Если aх² + bx + c = 0 и a - b + c = 0, то

x1 = -1

x2 = -c/a

Например

132х²+247х+115=0

a=132, b=247, c=115

a - b + c=132-247+115=0, значит по Т2 х1=-1, х2=-115/132

Ответ: -1; -115/132

Метод «переброски» старшего коэффициента.

Корни квадратных уравнений aх² + bx + c = 0

и у² + bу + аc = 0

связаны соотношениями х1=у1/а

и х2=у2/a

В некоторых случаях бывает удобно решать сначала не данное квадратное уравнение, а приведенное, полученное «переброской» коэффициента а .

Пример:

2х²-9х-5=0 y²-9y-10=0

х1=-1/2, х1=5 у1=-1, у2=10

Ответ: -1/2; 5

Введение новой переменной.

Умение удачно ввести новую переменную – важный элемент математической культуры. Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения более прозрачной.

Пример:

(5х+3)²=3(5х+3)-2

Введём новую переменную у=5х+3, тогда

y²=3y-2

y²-3y+2=0

у1=1, у2=2

Возвращаемся к первоначальной переменной

5х+3=1; 5х+3=2

х=-0,4 х=-0,2

Ответ: -0,4; -0,2.

5.Подведение итогов урока:

1) выставление отметок;

2) домашнее задание

№1 Решите уравнения, используя метод «переброски» старшего коэффициента

а) 2x²-9х+9=0;

б) 4x²+12х+5=0;

в) 5x²-11х+6=0;

г) 3x²+11х+6=0.

№2 Решите уравнение по формулам, используя свойства

коэффициентов

а) 11x²+25х-36=0;

б) 2008x²-2009х+1=0;

в) 11x²+27х+16=0;

г) 313x²+326х+13=0.

№3 Решите уравнения методом введения новой переменной

а) 5(7x +4)²=11(7х+4)-6;

б) 6(9x-5)²-6=-5(9х-5).

3) учащиеся отвечают на вопросы учителя:

- на уроке я работал активно/пассивно;

-своей работой на уроке я доволен/ недоволен;

-урок для меня показался коротким/ длинным;

-за урок я не устал/ устал;

-моё настроение стало лучше /хуже;

- материал урока мне понятен / непонятен;

- содержание урока для меня интересно/ не интересно