"Конспект урока Иррациональные уравнения"

Тема: «Иррациональные уравнения»

9 класс; Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. Пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.- 4-е изд.- М.: Просвещение, 1997.

§11, п.3

2 спаренных урока.

Цель: Открыть новый тип уравнений и способы его решения.

Ожидаемые результаты урока.

Ученик знает:

1. Вид иррационального уравнения;

2. Определение иррационального уравнения;

3. Иррациональные уравнения можно решать используя определение арифметического квадратного корня и метод замены переменной.

Ученик умеет:

1. Решать иррациональные уравнения вида =g(x); методом замены переменной.

Структура урока:

Мотивационно-ориентировочный этап

Актуализация знаний: на данном этапе вспоминаем с учащимися следующие вопросы: «что такое уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение».

Мотивация: решается задача – мотив. Задача: Найдите длину сторон прямоугольника, если известно, что длина его диагонали равна 30 см, а его периметр равен 75 см.

Постановка учебной задачи: научится решать новый вид уравнений.

Содержательный этап. Определение иррационального уравнения; рассматриваются два способа решения иррациональных уравнений: 1) с использованием арифметического квадратного корня; 2) метод замены переменной.

Подведение итогов урока, предъявление домашнего задания.

Методы обучения: метод проблемного изложения.

Средства обучения: мел, доска, учебник, инструменты: линейка.

Ход урока

На доске записано уравнение, вам необходимо его решить.

(3х-1)^1/3=4

С чего начинаем решение уравнения?

С области допустимых значений.

Какова ОДЗ данного уравнения?

3х-1≥0

3х≥1

х≥1/3

Что делаем дальше?

Обе части уравнения возведем в 3 степень, получим:

(3х-1)^1/3*3=4³

3х-1=64

3х=65

х=65/3=21 2/3

Записываем ответ х=21 2/3.

Ребята мы решили уравнение, а что такое уравнение? Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

Уравнением называется равенство с переменной.

Корнем называется значение переменной, при которой равенство превращается в верное числовое.

Решить уравнение, значит найти множество его корней.

Хорошо. Давайте решим следующую задачу.

Задача записана на доске. Найдите длину сторон прямоугольника, если известно, что длина его диагонали равна 30 см, а его периметр равен 75 см.

Учитель вызывает к доске одного из учеников. Ученик на доске делает рисунок и записывает дано.

Дано:

АВСD – прямоугольник,

ВD=25см

Р_АВСD=70см

Найти: АВ,ВС.

Давайте обозначим длину одной из сторон прямоугольника х. Тогда мы сможем найти длину другой стороны, если известно, что диагональ равна 25см?

Можем, по теореме Пифагора.

АВ=х, тогда ВС=(625-х²)^1/2.

Что нам ещё известно?

Периметр.

Через наши обозначения как мы можем записать периметр данного прямоугольника?

Р_АВСD=2АВ+2ВС

70=2х+2(625-х²)^1/2.

Оставьте место в тетради, позже мы до решаем эту задачу.

Получили уравнение данного вида.

Это уравнение содержит переменную х под знаком радикала. Такие уравнения называются иррациональными.

Ребята как вы думаете, какая тема нашего урока?

Иррациональные уравнения.

Правильно. А цель урока?

Научится решать новый вид уравнений.

Запишите в тетрадях по теории тему урока «Иррациональные уравнения».

Попробуйте сформулировать определение иррационального уравнения.

Давайте запишем определение.

Определение. Уравнение с одной переменной f(x) = φ(x) называют иррациональным, если хотя бы одна из функций f(x) или φ(x) содержит переменную х под знаком радикала.

Далее проводим упражнение на узнавание.

Определите, какие из уравнений иррациональные.

1. 

2. = 0

3. – 8х = 5

4. 

Идёт обсуждение с учащимися, какие из перечисленных уравнений являются иррациональными.

Затем рассматриваем уравнение: = 3х-12.

Каким является данное уравнение?

Иррациональным.

При каких значениях неизвестного левая часть имеет смысл?

Когда х-2≥0, то есть х≥2.

Правильно. А при каких значениях неизвестного правая часть имеет смысл?

При любом действительном х правая часть имеет смысл.

Тогда какая будет ОДЗ данного уравнения?

х≥2

То есть ОДЗ это множество тех значений неизвестного, при которых обе части уравнения имеют смысл.

Запишите определение в тетрадях.

Ребята, а при каких значениях это уравнение может иметь решение?

Когда правая часть неотрицательна, то есть 3х-12≥0; х≥4.

На основании чего мы можем утверждать, что данное уравнение может иметь решение, когда правая часть неотрицательна?

На основание определения арифметического квадратного корня.

Ребята, то множество значений х, при которых уравнение может иметь решение, будем называть областью вероятных решений.

Определение записывают в тетрадях по теории.

Ребята вы должны различать эти определения ОДЗ и область вероятных решений.

Открывайте учебник на странице 157 № 11.120 (г).

Что сказано в задание?

Решить уравнение, используя определение арифметического квадратного корня.

Давайте вспомним определение.

Учитель спрашивает одного из учеников.

Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется такое неотрицательное число b, квадрат которого равен а, то есть .

Тогда пользуясь определением, что получим?

Решим первое уравнение.

5-|1-x²|=4

|1-x²|=1

x=0; х=.

Ответ: х=0, х=.

№11.121(г)

Решить уравнение 2х+.

Учитель вызывает одного из учеников к доске.

Прежде чем воспользоваться определением, что мы должны сделать ?

Перенести слагаемое 2х в правую часть уравнения. Придём к уравнению вида: .

Далее?

Воспользуемся определением арифметического квадратного корня, получим:

х=.

Ответ: .

Хорошо. №122(г).

Приходим к системе:

Решим второе уравнение системы.

Каким образом вы решали такие уравнения ?

То есть |f(x)|=g(x).

Приходили к системе

Если в данной ситуации поступать так же, то , решая уравнение –х²-4х-1=0 получим иррациональные числа. Полученные корни нам нужно будет сравнивать с иррациональными числами. В данном случае переход к данной системе неудобен.

Как ещё можно раскрыть модуль?

На основе определения.

Рассмотрим два случая: х+3≥0 и х+3

х=-1

Ответ: х=-1.

Аналогичным образом можно показать, что любое уравнение вида:

равносильно системе

Ребята записывают в тетрадях.

Давайте вернёмся к задаче, которую начали решать в начале урока.

В результате решения задачи мы пришли к уравнению вида:.

Мы выяснили, как можно решать уравнение такого вида, давайте решим его.

Учитель вызывает ученика к доске.

С чего начнём?

Перенесём 2х в правую часть. Получим уравнение: . Данное уравнение равносильно системе:; .

Решим второе уравнение системы, то есть

Тогда вторая сторона будет равна: если х=20, то ВС= х=15 ВС=

Ответ: 15,20.

№11.123 (г)

Обозначим

Получим уравнение вида: у²+2у-3=0

у₁=1; у₂=-3- не удовлетворяет условия у0.

Ответ: х=1.

№11.124(г)

y₁=3, y₂=-- не удовлетворяет условию.

х=7

Ответ: х=7.

№11.125(г)

Ответ:-1;2;0,1(5.

№11.126(г)

t=-4- не удовлетворяет условию/

Ответ:0,1.

Подведём итоги урока.

В начале урока мы с вами поставили учебную задачу. Сформулируйте её. Решили мы поставленную учебную задачу?

Что нового вы узнали на уроке?

Новый вид уравнений.

Сформулируйте определение.

На следующем уроке мы продолжим изучать способы решения уравнения данного вида.

Запишите домашнее задание: №11.122(в), 2.119(а), 2.115(б), 2.116(а).