Конспект урока математики в 11 классе по теме Иррациональные уравнения

Урок алгебры в 11 классе.

Тема: «Способы решения иррациональных уравнений».

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по применению различных способов решения иррациональных уравнений;

Развитие логического и нестандартного мышления, навыков сравнительного анализа через умение находить пути решения, научить переключаться с одного способа на другой.

Воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению уравнений.

Ход урока.

1.Введение в урок, организационный этап.
Сегодня повторим все способы решения иррациональных уравнений, обсудим их достоинства и недостатки, научимся выбирать рациональный ход решения.

Цель урока состоит в том, чтобы обобщить и систематизировать методы решения иррациональных уравнений; познакомить вас с новым типом иррациональных уравнений, состоящих из двух радикалов; на этом уроке мы попытаемся научиться определять оптимальный способ решения того или иного иррационального уравнения.

2. Устный счет .
1) Имеет ли уравнение корни  3х² = – 12
Ответ: Нет. Почему? (Так как правая и левая части принимают значения разных знаков).

2) Решите уравнение х² – 8 = 0 .
Ответ: 
3) Решите уравнение  + 2 = 0
Ответ: Нет решений.

Поясните, почему. (в левой части положительное число, а в правой о)

Учитель: Давайте такой метод назовем «метод пристального взгляда», так как если вовремя обратить на такую ситуацию внимание, это значительно сэкономит время при решении такого уравнения. 
4) Решите уравнение  = –5
Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как сумма двух неотрицательных выражений не может принимать отрицательное значение).
5) Решите уравнение  + =0
Ответ: х =3. Поясните ход решения. (Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если только оба слагаемых одновременно равны нулю).

3.Анализ различных способов решения уравнений.

Учитель: Давайте перейдем к обзору способов решения иррациональных уравнений. Для начала вспомним, какие именно уравнения называются иррациональными?
Ученик: Уравнения, содержащие переменную под знаком корня.
Учитель: Какие способы решения иррациональных уравнений мы знаем?

Ученик: Способ возведения в степень обеих частей уравнения и способ введения новой переменной.

Пример 1. Решите уравнение (групповая форма работы): а) ; б) = х – 1.

Решение. а) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 1 + 3х = 1 – 2х + х², перенесём всё в левую часть уравнения, получим х² – 5х = 0, х(х – 5) = 0.

Корни этого уравнения : х₁ = 0 и х₂ = 5.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0, = 1 и 1 – х = 1 – 0 = 1. Поэтому х = 0 – корень исходного уравнения.

х = 5, = = 4, а 1 – х = 1 – 5 = –4. Поскольку 4 –4, то х = 5 – посторонний корень.

Ответ: 0

б) Возведём обе части уравнения = х – 1 в квадрат, получим

1 + 3х = х² – 2х + 1, перенесём всё в левую часть и приведя подобные, получаем х² – 5х = 0, корни которого х₁ = 0 и х₂ = 5.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0, = 1 и х – 1 = 0 – 5 = –5. Поскольку 1 –5, то х = 0 – посторонний корень.

х = 5, = = 4, а х – 1 = 5 – 1 = 4.

х = 5 – корень исходного уравнения.

Ответ: 5

Отметим, что при переходе от иррационального уравнения к рациональному, получили одно и то же уравнение х² – 5х = 0, имеющее два корня: х₁ = 0 и х₂ = 5. Корень х₁ = 0 есть корень первого уравнения, но посторонний для второго уравнения; х₂ = 5 есть корень второго уравнения, но посторонний для первого уравнения.

Пример 2. Решите уравнение (самостоятельно с последующей взаимопроверкой):

= х + 1.

Возведём обе части уравнения = х + 1 в квадрат, получим

1 + 3х = х² + 2х + 1, перенесём всё в левую часть и приведя подобные, получаем х² – х = 0, корни которого х₁ = 0 и х₂ = 1.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0, = 1 и х + 1 = 0 + 1 = 1.

х = 1, = = 2, а х + 1 = 1 + 1 = 2.

х = 0, х = 1 – корни исходного уравнения.

Ответ: 0; 1.

Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.

Пример 3. Решите уравнение: .

Объяснение учителя: при решении используем ОДЗ уравнения.

Оформим решение иначе: , получим , т.е

Найдём корни уравнения х (х + 1) = 0: х₁ = 0 и х₂ = –1.

Оба корня удовлетворяют условию –3 .

Ответ: –1; 0

Решая этим способом уравнение, проверять не нужно, т.к. найденные корни удовлетворяют ОДЗ уравнения.

Пример 4. Решите уравнение: 3 + = 4.

Учитель: Каким способом будем решать данное иррациональное уравнение?

Ученик: Способом введения новой переменной. (Комментированное решение.)

Обозначим = u, то = u², где u 0.

Получим 3 u + u² – 4 = 0, D = 9 + 16 = 25, u₁ =1, u₂ = –4;

u₂ = –4 – не удовлетворяет условию u 0. Тогда = 1, т.е. х² – 3 = 1, х = 2.

Ответ: 2.

4.Задание на дом. Итог урока.

1. Решите уравнение двум способами: х = + 2. На следующий урок ответите, каким именно способом рациональнее всего было решать уравнение.

2. Решите уравнение = –х – 4, используя ОДЗ уравнения.

На следующем уроке продолжим рассмотрение более сложных иррациональных уравнений способом введения новой переменной, типа = 2. Посмотрите дома, может быть кто-то сможет предложить способ решения.