kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока математики в 11 классе по теме Иррациональные уравнения

Нажмите, чтобы узнать подробности

1.Введение в урок, организационный этап.
Сегодня повторим все способы решения иррациональных уравнений, обсудим их достоинства и недостатки, научимся выбирать рациональный ход решения.

Цель урока состоит в том, чтобы обобщить и систематизировать методы решения иррациональных уравнений; познакомить вас с новым типом иррациональных уравнений, состоящих из двух радикалов; на этом уроке мы попытаемся научиться определять оптимальный способ решения того или иного иррационального уравнения.

2Устный счет.
1) Имеет ли уравнение корни   3х2 = – 12
Ответ: Нет. Почему? (Так как правая и левая части принимают значения разных знаков).
 

2) Решите уравнение  х2 – 8 = 0 .
Ответ
3) Решите уравнение  + 2 = 0
Ответ: Нет решений.

Поясните, почему. (в левой части положительное число, а в правой о)

Учитель: Давайте такой метод назовем «метод пристального взгляда», так как если вовремя обратить на такую ситуацию внимание, это значительно сэкономит время при решении такого уравнения. 
4) Решите уравнение  = –5
Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как сумма двух неотрицательных выражений не может принимать отрицательное значение).
5) Решите уравнение  +  =0
Ответ: х =3. Поясните ход решения. (Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если только оба слагаемых одновременно равны нулю).


3.Анализ различных способов решения уравнений.
 

Учитель: Давайте перейдем к обзору способов решения иррациональных уравнений. Для начала вспомним, какие именно уравнения называются иррациональными?
Ученик: Уравнения, содержащие переменную под знаком корня.
Учитель: Какие способы решения иррациональных уравнений мы знаем?

Ученик: Способ возведения в степень обеих частей уравнения и способ введения новой переменной.

Пример 1. Решите уравнение (групповая форма работы): а) ;   б) = х – 1.

Решение.  а) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 1 + 3х = 1 – 2х + х2, перенесём всё в левую часть уравнения, получим  х2 – 5х = 0,  х(х – 5) = 0.

 Корни этого уравнения : х1 = 0 и х2 = 5.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0,  = 1  и 1 – х = 1 – 0 = 1.  Поэтому х = 0 – корень исходного уравнения.

х = 5,  =  = 4,  а 1 – х = 1 – 5 = –4. Поскольку 4  –4, то х = 5 – посторонний корень.

Ответ: 0

б) Возведём обе части уравнения  = х – 1 в квадрат, получим

                                                           1 + 3х = х2 – 2х + 1,  перенесём всё в левую часть и приведя подобные, получаем                   х2 – 5х = 0, корни которого   х1 = 0 и х2 = 5.

 Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0,  = 1  и х – 1 = 0 – 5 = –5.  Поскольку 1  –5, то  х = 0 – посторонний корень.

х = 5,  =  = 4,  а х – 1 = 5 – 1 = 4.

 х = 5 – корень исходного уравнения.

Ответ: 5

Отметим, что при переходе от  иррационального уравнения к рациональному, получили одно и то же уравнение х2 – 5х = 0, имеющее два корня: х1 = 0 и х2 = 5. Корень х1 = 0 есть корень первого уравнения, но посторонний для второго уравнения; х2 = 5  есть корень второго уравнения, но посторонний для первого уравнения.

Пример 2.  Решите уравнение (самостоятельно с последующей взаимопроверкой):  

 = х + 1.

Возведём обе части уравнения  = х + 1 в квадрат, получим

                                                           1 + 3х = х2 + 2х + 1,  перенесём всё в левую часть и приведя подобные, получаем                   х2 – х = 0, корни которого   х1 = 0 и х2 = 1.

 Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0,  = 1  и х + 1 = 0 + 1 = 1. 

х = 1,  =  = 2,  а х + 1 = 1 + 1 = 2.

х = 0,  х = 1 – корни исходного уравнения.

Ответ: 0; 1.

Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.

Пример 3.  Решите уравнение:  .

Объяснение учителя: при решении используем ОДЗ уравнения.

Оформим решение иначе:,     получим     , т.е  

Найдём корни уравнения  х (х + 1) = 0:  х1 = 0  и х2 = –1.

Оба корня удовлетворяют условию   –3  .

Ответ:  –1; 0

Решая этим  способом уравнение, проверять не нужно, т.к. найденные корни удовлетворяют ОДЗ уравнения.

Пример 4.  Решите уравнение: 3 +  = 4.

Учитель: Каким способом будем  решать данное иррациональное уравнение?

Ученик: Способом введения новой переменной.  (Комментированное  решение.)

Обозначим   = u, то  = u2,  где u  0.

Получим  3 u + u2 – 4 = 0,    D = 9 + 16 = 25,  u1 =1,  u2 = –4;   

u2 = –4 –  не удовлетворяет условию u  0. Тогда  = 1, т.е. х2 – 3 = 1,   х = 2.

Ответ: 2.

4.Задание на дом. Итог урока.

1. Решите уравнение двум способами:   х =  + 2. На следующий урок ответите, каким именно способом рациональнее всего было решать  уравнение.

2. Решите уравнение   = –х – 4, используя ОДЗ уравнения.

 На следующем уроке продолжим рассмотрение более сложных иррациональных уравнений способом  введения новой переменной, типа  = 2. Посмотрите дома, может быть кто-то сможет предложить способ решения.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока математики в 11 классе по теме Иррациональные уравнения»

Урок алгебры в 11 классе.

Тема: «Способы решения иррациональных уравнений».

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся по применению различных способов решения иррациональных уравнений;

Развитие логического и нестандартного мышления, навыков сравнительного анализа через умение находить пути решения, научить переключаться с одного способа на другой.

Воспитание самостоятельности, творческого подхода к решению уравнений.

Ход урока.

1.Введение в урок, организационный этап.
Сегодня повторим все способы решения иррациональных уравнений, обсудим их достоинства и недостатки, научимся выбирать рациональный ход решения.

Цель урока состоит в том, чтобы обобщить и систематизировать методы решения иррациональных уравнений; познакомить вас с новым типом иррациональных уравнений, состоящих из двух радикалов; на этом уроке мы попытаемся научиться определять оптимальный способ решения того или иного иррационального уравнения.

2. Устный счет .
1) Имеет ли уравнение корни  3х2 = – 12
Ответ: Нет. Почему? (Так как правая и левая части принимают значения разных знаков).

2) Решите уравнение х2 – 8 = 0 .
Ответ
3) Решите уравнение  + 2 = 0
Ответ: Нет решений.

Поясните, почему. (в левой части положительное число, а в правой о)

Учитель: Давайте такой метод назовем «метод пристального взгляда», так как если вовремя обратить на такую ситуацию внимание, это значительно сэкономит время при решении такого уравнения. 
4) Решите уравнение  = –5
Ответ: Нет решений. Поясните. (Так как сумма двух неотрицательных выражений не может принимать отрицательное значение).
5) Решите уравнение  + =0
Ответ: х =3. Поясните ход решения. (Так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю, если только оба слагаемых одновременно равны нулю).


3.Анализ различных способов решения уравнений.

Учитель: Давайте перейдем к обзору способов решения иррациональных уравнений. Для начала вспомним, какие именно уравнения называются иррациональными?
Ученик: Уравнения, содержащие переменную под знаком корня.
Учитель: Какие способы решения иррациональных уравнений мы знаем?

Ученик: Способ возведения в степень обеих частей уравнения и способ введения новой переменной.

Пример 1. Решите уравнение (групповая форма работы): а) ; б) = х – 1.

Решение. а) Возведя обе части уравнения в квадрат, получим 1 + 3х = 1 – 2х + х2, перенесём всё в левую часть уравнения, получим х2 – 5х = 0, х(х – 5) = 0.

Корни этого уравнения : х1 = 0 и х2 = 5.

Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0, = 1 и 1 – х = 1 – 0 = 1. Поэтому х = 0 – корень исходного уравнения.

х = 5, = = 4, а 1 – х = 1 – 5 = –4. Поскольку 4 –4, то х = 5 – посторонний корень.

Ответ: 0

б) Возведём обе части уравнения = х – 1 в квадрат, получим

1 + 3х = х2 – 2х + 1, перенесём всё в левую часть и приведя подобные, получаем х2 – 5х = 0, корни которого х1 = 0 и х2 = 5.


Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0, = 1 и х – 1 = 0 – 5 = –5. Поскольку 1 –5, то х = 0 – посторонний корень.

х = 5, = = 4, а х – 1 = 5 – 1 = 4.

х = 5 – корень исходного уравнения.

Ответ: 5

Отметим, что при переходе от иррационального уравнения к рациональному, получили одно и то же уравнение х2 – 5х = 0, имеющее два корня: х1 = 0 и х2 = 5. Корень х1 = 0 есть корень первого уравнения, но посторонний для второго уравнения; х2 = 5 есть корень второго уравнения, но посторонний для первого уравнения.

Пример 2. Решите уравнение (самостоятельно с последующей взаимопроверкой):

= х + 1.

Возведём обе части уравнения = х + 1 в квадрат, получим

1 + 3х = х2 + 2х + 1, перенесём всё в левую часть и приведя подобные, получаем х2 х = 0, корни которого х1 = 0 и х2 = 1.


Проверим, удовлетворяют ли эти корни исходному уравнению.

х = 0, = 1 и х + 1 = 0 + 1 = 1.

х = 1, = = 2, а х + 1 = 1 + 1 = 2.

х = 0, х = 1 – корни исходного уравнения.

Ответ: 0; 1.

Это уравнение служит примером того, что возведение в квадрат исходного уравнения не всегда приводит к появлению посторонних корней.


Пример 3. Решите уравнение: .

Объяснение учителя: при решении используем ОДЗ уравнения.

Оформим решение иначе: , получим , т.е

Найдём корни уравнения х (х + 1) = 0: х1 = 0 и х2 = –1.

Оба корня удовлетворяют условию –3 .

Ответ: –1; 0

Решая этим способом уравнение, проверять не нужно, т.к. найденные корни удовлетворяют ОДЗ уравнения.

Пример 4. Решите уравнение: 3 + = 4.

Учитель: Каким способом будем решать данное иррациональное уравнение?

Ученик: Способом введения новой переменной. (Комментированное решение.)

Обозначим = u, то = u2, где u 0.

Получим 3 u + u2 – 4 = 0, D = 9 + 16 = 25, u1 =1, u2 = –4;

u2 = –4 – не удовлетворяет условию u 0. Тогда = 1, т.е. х2 – 3 = 1, х = 2.

Ответ: 2.

4.Задание на дом. Итог урока.

1. Решите уравнение двум способами: х = + 2. На следующий урок ответите, каким именно способом рациональнее всего было решать уравнение.

2. Решите уравнение = –х – 4, используя ОДЗ уравнения.


На следующем уроке продолжим рассмотрение более сложных иррациональных уравнений способом введения новой переменной, типа = 2. Посмотрите дома, может быть кто-то сможет предложить способ решения.




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Конспект урока математики в 11 классе по теме Иррациональные уравнения

Автор: Тихонова Лидия Викторовна

Дата: 04.12.2016

Номер свидетельства: 365559

Похожие файлы

object(ArrayObject)#865 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(89) "Конспект урока по теме Иррациональные уравнения"
    ["seo_title"] => string(48) "konspiekturokapotiemieirratsionalnyieuravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "261881"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1449225184"
  }
}
object(ArrayObject)#887 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(151) "Конспект урока математики Преобразование выражений, содержащих квадратные корни "
    ["seo_title"] => string(91) "konspiekt-uroka-matiematiki-prieobrazovaniie-vyrazhienii-sodierzhashchikh-kvadratnyie-korni"
    ["file_id"] => string(6) "227620"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1440841280"
  }
}
object(ArrayObject)#865 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(83) "«РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПОДГОТОВКЕ  УЧАЩИХСЯ К ЕНТ» "
    ["seo_title"] => string(52) "riekomiendatsii-po-podgotovkie-uchashchikhsia-k-ient"
    ["file_id"] => string(6) "209484"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "meropriyatia"
    ["date"] => string(10) "1431179042"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1750 руб.
2500 руб.
1680 руб.
2400 руб.
1390 руб.
1980 руб.
1850 руб.
2640 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства