Конспект урока "Иррациональные уравнения"

ПЛАН - КОНСПЕКТ УРОКА МАТЕМАТИКИ

Тема урока: Иррациональные уравнения

Цель урока:

• Образовательная – дать понятие иррациональных уравнений, показать способы решения иррациональных уравнений.

• Развивающая – сформировать у учащихся умение решать иррациональные уравнения, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.

• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи; способность использовать информационные технологии.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Материально-техническое обеспечение: компьютер, мультимедийный проектор.

Ключевые слова: иррациональное уравнение; метод решения; проверка; способ решения; уравнение.

Межпредметные связи: история.

Внутрипредметные связи: «Корень n-ой степени», «Виды уравнений».

План урока

1. Организационный момент.

2. Повторение пройденного материала.

3. Объяснение нового материала.

4. Закрепление.

5. Самостоятельная работа.

6. Домашнее задание. Подведение итогов урока.

Ход урока:

1. Оргмомент: проверка готовности учащихся к уроку; рапорт дежурного.

Добрый день! Я очень рада видеть вас на своем уроке. Желаю вам всем хорошего настроения. Все ли готовы к уроку? Тогда начинаем урок.

1. Повторение пройденного материала.

-Какую тему мы изучили на прошлой неделе? Кто назовет определение Корня n-ой степени?

Определение.

Корень n-ой степени из а называется такое число, n-степень которого равна а.

, а – подкоренное число, n – показатель корня.

На экране вы видите

√2 = 1,41;  -√11= -3.32

Как называются эти числа?

Иррациональное число невозможно представить в виде 

На экране вы видите уравнения

Посмотрите внимательно и определите, какие уравнения вы уже умеете решать, а какие у вас вызывают затруднения?

1. 2х+5=7-х (линейное рациональное уравнение)

2. 

3. х²+3х-1=0 (квадратное рациональное уравнение)

4. 

5. (дробное рациональное уравнение)

6. 

– Кто может назвать тип уравнения, которые вам знакомы?

Вывод: Остались уравнения, которые вы еще не умеете решать.

– Чем отличается запись этих уравнений от тех, которые мы убрали?

Ответ: Неизвестное находится под знаком корня.

– Верно! Такие уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными уравнениями. Приставка ир – означает отрицание.

1. Сообщение новой темы.

Итак, тема нашего урока: “Иррациональные уравнения” (откройте тетради и запишите дату и тему уроку).

Цель урока: Рассмотреть и отработать некоторые способы решения простейших иррациональных уравнений.

Определение: Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня

Итак, давайте перечислим основные методы решения иррациональных уравнений.

1 метод: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.

2 метод: замена переменной.

3 метод: умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию.

4 метод: применение свойств функций, входящих в уравнение.

Чаще всего при решении иррациональных уравнений применяют 1метод, т. е. обе части уравнения возводят в одну и ту же степень.  Алгоритм решения иррационального уравнения вида , где а – некоторое число

1 случай: n-четное

Если а≥0, то

Если а

2 случай: n-нечетное, то а – любое число, то

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите уравнение

Решение. Первым делом, в любом иррациональном уравнении необходимо избавиться от иррациональности - от корня. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

х-5=36

х=36+5

х=41

Решая иррациональное уравнение, обязательно надо проводить проверку полученных корней!

6=6 - верно

Ответ: х = 41

Пример 2. Решите уравнение

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Поэтому уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет

Пример 3. Найдите решение уравнения

Решение. Возведем обе части в куб:

х² + 7х = 2³

х² + 7х – 8 = 0

Получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b²– 4ac = 7² – 4•1•(– 8) = 49+ 32 = 81

х₁ = (-7 – 9)/2 = – 8

х₂ = (-7 + 9)/2 = 1

Проверка:

2=2- верно

2=2-верно

Ответ: – 8; 1

Алгоритм решения иррационального уравнения вида

Разберем подробно, как такое уравнение решать на примере:

Пример 4.

Решение. Практически любое иррациональное уравнение с квадратным корнем решается путем возведения в квадрат всего уравнения.

х²+х-12=0

D = 49

х₁=3

х₂=-4

Мы получили два корня, попробуем подставить каждый из них в исходное уравнение, чтобы проверить, действительно ли они являются корнями:

Проверим теперь второй корень: x₂=−4 не является корнем данного уравнения

Ответ: х=3

Пример 5. Решите уравнение

Решение.

Возводим обе части в квадрат, получим: х – 2 = (х – 4)²

х – 2 = х² – 8х + 16

х² – 9х + 18 = 0

D = b²– 4ac = (– 9)² – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

х₁ = (9 – 3)/2 = 3

х₂ = (9 + 3)/2 = 6

Получили два корня, 3 и 6

Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного уравнения (х – 4):

при х = 3,     х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6,     х – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х=3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х=6.

Ответ: 6

Физкультминутка.

Ребята оперитесь о спинку стула, расслабьтесь, закройте глаза и мысленно рисуем глазами круг, треугольник, квадрат, знак бесконечность.

Закрепление.

1)

Возведем обе части уравнения в квадрат

Х+2=16

х=14

Проверка: 4=4 – равенство верно

Ответ: 14

2)

Х+1=(х-1)²

х+1=х²-2х+1

х²-3х=0

х=0 или х=3

Проверка: х=0; 1=-1 – равенство не верно, 0 - посторонний корень

х=3; 2=3-1; 2=2 – равенство верно

Ответ: 3

5)

Х+5=х²-2х+1

Х²-3х-4=0

Д=25

х₁=-1

х₂=4

Проверка: х=-1;-2=2– равенство не верно, -1- посторонний корень

х=4; 3=3– равенство верно

Ответ: 4

5. Проверка ЗУН - Самостоятельная работа.

Выполните тест. Ваша задача: в течение 10 мин. Вы должны выполнить 6 заданий. Если вы правильно ответите на все вопросы, то в итоге 1 вариант узнает, какой великий математик ввел знак корня, а 2 вариант – какой великий математик указал показатели корней ( ) (Декарт и Ньютон).

Из истории: Термин радикал и корень, введенные в XII в., происходят от латинского radix, имеющие два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили: «найти сторону квадрата по его данной величине (площадь)». Знак корня в виде символа появился впервые в 1525 г в виде символа «√». Современный символ введен Декартом, добавившим горизонтальную черту. Ньютон уже указывал показатели корней: .

6. Подведение итогов. Домашнее задание. Выставление оценок.

Урок закончен. До свидания.

Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Какое из данных чисел является иррациональным

1) ; 2) 0,5; 3)

1. Чему равен

2. Какое из данных уравнений является иррациональным

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

3. Решив уравнение , получили корни: -3 и 2. Какой из корней является посторонним?

Ответы	Буквы
2	к
5	е
-3	т
7	р
4	а
1	д

Ответ:

Самостоятельная работа

Вариант 2.

1. Какое из данных чисел является иррациональным

1) ; 2) 0,5; 3)

1. Чему равен

2. Какое из данных уравнений является иррациональным

1. Решите уравнение

2. Решите уравнение

3. Решив уравнение , получили корни: -1 и 3. Какой из корней является посторонним?

Ответы	Буквы
3	н
1	о
-1	н
9	т
7	ь
2	ю

Ответ:

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l=√2Rh, где R=6400 (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в километрах.

Решение

Нам нужно найти такую высоту h, что

4=√2⋅6400⋅h

Решаем уравнение и получаем

h=1/800=0,00125 км

Ответ: 00125.