kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока по теме Иррациональные уравнения

Нажмите, чтобы узнать подробности

Тема:           Иррациональные уравнения
Цель урока: 

1.    Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме, повторить методы решения иррациональных уравнений, познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений – методом мажорант, показать исторический характер теории иррациональности, проверить уровень сформированности умений и навыков учащихся по изучаемой теме. 

2.    Развивать операции мышления (обобщение, умение выделять главное, анализировать), внимание, навыки сотрудничества, чувство времени.

3.    Воспитание ответственного отношения к изучению предмета, самостоятельности, познавательной активности, стремления к самосовершенствованию.

Тип урока: 
Обобщение и систематизация ранее изученного материала

Оборудование: 
Презентация в PoverPoint, интерактивная доска, раздаточный материал,  портреты ученых.

Ход урока

I Организационный момент.
 Сообщение темы и цели урока.
Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые учителя, приглашаю Вас на урок математики в 11 классе “Иррациональные уравнения”. 
Слайд №1
Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.
Как Вы знаете, прославился он именно уравнением, названным “Уравнение Эйнштейна”. Вот и мы займемся уравнениями. Обобщим знания по теме: “Иррациональные уравнения”, повторим методы решения уравнений, алгоритмы решения,  этими методами, познакомимся с новым методом мажорант.
Запишите в тетради число, тему урока.
На ваших партах лежат рабочие карты, подпишите их.
Рабочая карта ученика 11 класса ________________________
Теория.
кроссворд    1. Метод
“пристального взгляда”    2. Метод
возведение в степень, равную показателю корня    3. Метод введения новой переменной    ИТОГ
                     
В них вы будете отмечать успешность выполнения заданий символами: 
“!” – владею свободно
“+” - могу решать, иногда ошибаюсь
“-” - надо еще поработать
2. Повторение и обобщение изученного материала.
2.1. Основные вопросы теории открытия иррациональности
Иррациональное в переводе с греческого “Уму непостижимое, неизмеримое, немыслимое”. Открытие иррациональности опровергало теорию Пифагора, что “всё есть число”. Предание говорит, что ученик Пифагора, выдавший смертным эту тайну прогиб во время кораблекрушения, ниспосланного богами. Пифагорейцы, изгнавшие его из общины, еще при жизни соорудили ему могилу, как бы умершему.
История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Назовем некоторых из них, отвечая на вопросы теории, которая является фундаментом, для решения иррациональных уравнений.
2 слайд: На экране появляются вопросы с 1 по 6 –ой и первый кроссворд. 
1.    Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? (проверка)
2.    Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений  (подстановка)
3.    Как называется знак корня?( радикал)
4.    Сколько решений имеет уравнение х2 = а, если а < 0? (ноль)
5.    Как называются уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная? (иррациональное)
6.    Как называется корень второй степени? (квадратный)
Получилось имя Евклид. Евклид – это великий ученый, он жил в 3 веке до нашей эры в Древней Греции. Известно, что он был приглашен в Александрию царем Птолемеем I Сотером для организации математической школы. Он был человеком мягкого характера, очень скромного, но независимого. Он сказал, что познание мира ведет к совершенствованию души. Предлагаю эти слова взять эпиграфом нашего урока. 
Понятие иррациональности ассоциируется с изображением корня. Греческие математики вместо слов “извлечь корень” говорили “найти сторону квадрата по его заданной величине (площади)”. Знак корня впервые появился в 1525 году. За это время его изображение менялось. Кто ввел это изображение?
Об этом мы узнаем, ответив на следующие вопросы:
3 слайд: На экране вопросы и следующий кроссворд. 
1.    Сколько решений имеет уравнение х2=0. (одно)
2.    Корень какой степени существует из любого числа? (нечетной )
3.    Как называется корень третьей степени? (кубический)
4.    Сколько решений имеет уравнение х2=а, если а >0 ? (два)
5.    Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? ( постороннний)
6.    Корень какой степени существует только из неотрицательного числа? (четной)
Итак, впервые изображение корня ввёл Декарт, французский ученый. Им положено начало исследования важных свойств алгебраических уравнений.
4 слайд: На экране вопросы и следующий кроссворд.
Кто же ввел современное изображение корня? Ответим на следующие вопросы. 
1.    Как называется равенство двух алгебраических выражений? (уравнение)
2.    Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство (корень)
3.    Какая черта личности поможет при решении иррациональных уравнений? (трудолюбие)
4.    Какой должен быть взгляд на уравнения, что бы не вычисляя сказать ответ? (пристальный)
5.    Как называют уравнения, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще? (равносильные)
6.    Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное арифметическое действие? (сопряженное)
Это Ньютон – английский физик, открывший основные законы природы, законы Ньютона. Он ввёл современное изображение корня. 
Мы повторили теорию решения иррациональных уравнений, которая является фундаментом для познания мира.
2.2. Основные методы решения иррациональных уравнений.
Иррациональные уравнения можно решать различными методами. 
1. Какими основными методами решаются иррациональные уравнения?
(Метод возведения в степень, равную показателю корня, метод пристального взгляда, метод введения новой переменной)
5 слайд: Название основных методов решения иррациональных уравнений. 
2. Расскажите алгоритм решения методом возведения в степень, равную показателю корня.
Возведём обе части уравнения в степень, равную степени корня.
Решим полученное уравнение.
Выполним проверку.
3. Расскажите алгоритм решения методом введения новой переменной.
Введём новую переменную.
Решим полученное уравнение.
Найдем значение искомой переменной.
Выполним проверку.
4. Какой этап содержат все эти методы?
(Проверку)
5. Какой метод используется при решении иррациональных уравнений другими методами?
(Метод возведения в степень, равную степени корня)
6.Какой метод предполагает устное решение?
(Метод “пристального взгляда”?)
7. На каких свойствах иррациональных выражений основан этот метод?
(Значение арифметического корня четной степени есть величина неотрицательная, а значит сумма, произведение и частное таких выражений будет величина неотрицательная)
2.3. Решение заданий методом пристального взгляда.
Решите в группах методом “пристального взгляда” данные уравнения, которые составили ваши товарищи в домашней работе. Один учащийся от группы рассказывает у доски решение уравнений методом “пристального взгляда”.
Уравнения составлены на отдельных карточках формата А4. При ответе карточки крепят на магнитную доску. 
Задание 1 группе:
Решить методом пристального взгляда:
 +  = 5,           
 = 0.      
Задание 2 группе:
Решить методом пристального взгляда:
 +8 = 0,   
 +  =  .        
Задание 3 группе:
Решить методом пристального взгляда:
 +  = 0,  
 +  = - 10.    
2.4. Тест. Решение иррациональных уравнений различными способами.
Необходимость введения иррациональных чисел была описана в работе Евклида, по которой потом занимались все творцы современной математики:
Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и Понтрягин.
Как называлась эта древняя книга, которая оказала наибольшее влияние на развитие европейской цивилизации?
Для ответа на этот вопрос выполним тест, в котором решите уравнения. Решите уравнения в тетради, выписываете буквы, под которыми правильные ответы.
Тест
Решите уравнения и запишите буквы, под которыми находятся интервалы, содержащие корни уравнений
1.  
В) [6;10]. Б) [20; 27]. Н) [11;18]. М) [30;+?).
2.  
е) [20;25]; и) [1;6]; у) [10;16]; а) [17;18]
3.  
ч) [-5; -3]; ф) (3; 4); р) [-2; 0]; с) (2; 3)
4.  
а) [2; 4]; е) (-5; 2) и) (4; 16) ю)(- ?; - 4)
5.  
к) (3; 5); м) [- 5; - 2]; п) (-2; 2]; л) (10; 70)
6. 2  
а) [0; 2]; 0) (3; 81); у) (-5; -2); е) (-2; 0). 
6 слайд: НАЧАЛА
Именно в этом труде Евклид впервые заявил о необходимости введения новых неизведанных чисел.
2.5. Знакомство с методом мажорант.
Звучит музыка. Вы, конечно, узнали, что прозвучал музыкальный фрагмент к песне “День Победы” Давида Тухманова на слова Николая Харитонова. Эта песня посвящена Дню Победы в ВОВ советского народа. В этом году исполняется 65 лет со Дня Победы в ВОВ. Прозвучавшая музыка носит торжественный, жизнеутверждающий, “мажорный” характер.
В математике есть метод решения иррациональных уравнений, который называется метод мажорант. 
7 слайд: 
Мажоранта и миноранта – (от франц.), две функции, значение первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции.
Мажорирование – нахождение точек ограничения функции.
Метод мажорант – метод оценки левой и правой части уравнения.
Метод мажорант используется для решения уравнений повышенной сложности, которые соответствуют уровню С.
Пример решения иррационального уравнения методом мажорант, заполняя пропуски:
8 слайд:
М – мажоранта.
Если f(х) = g(х)
и f(х) < М и g(х) > М, 
то М = f(х) и М = g(х).
Пример: (объяснение у доски)
Решить уравнение:  х2 – 6х + 11.
Решение:
О Д З: х – 2 > 0 и 4 – х > 0, т.е. х > 2 и х > 4. Значит 2 < х < 4.
Рассмотрим правую часть уравнения. Введём функцию у = х2 – 6х = 11.
Графиком функции является парабола с вершиной А(3;2).Наименьшее значение функции у(3) = 2, т.е. у = х2 - 6х + 11.
Рассмотрим левую часть уравнения. Введём функцию у =  . С помощью производной найдём max функции, которая дифференцируема на (2;4).
у' =  .
у' = 0, если  0,
 
4 – х = х – 2,
2х = 6,
х = 3.
 
g (3) = 2
Имеем g =  < 2. В результате у (3) > 2, g (3) <  2, отсюда у (3) = 2 и g (3) = 2. Из этих условий составим систему уравнений:
х2 – 6х + 11 = 2 и  2. решение этой системы х = 3. Это подтверждает проверка.
Итак, по какому алгоритму решаются уравнения методом мажорант?
9 Слайд : 
Метод мажорант
- Оценим левую часть
- Оценим правую часть
- Составим систему уравнений
- Сделаем вывод
- Проверка
Подведение итогов урока.
10 Слайд
Для достижения духовного совершенства мы познаем мир. Мы изучаем теорию, методы решения иррациональных уравнений.
Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна, иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы: 
•    Равноускоренное движение
•    1 и 2 космические скорости
•    среднее значение скорости теплового движения молекул
•    период радиоактивного полураспада и другие.
А также иррациональные уравнения использует статистика. 
Но для достижения духовного совершенства необходимо еще воспитать в себе определенные качества.
Как Вы думаете какие?
Ответственность, самостоятельность, терпение, настойчивость, упорство, трудолюбие и другие.
Подведите итоги своей работы на уроке в своей рабочей карте.
Я желаю Вам достичь заветной цели, а главное стремиться к постоянному самосовершенствованию.
11 слайд: 
“Да, мир познания не гладок.
И знаем мы со школьных лет
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет!”
Домашнее задание: Повторить §6, решить №103, 104 (3,4)

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по теме Иррациональные уравнения»

Урок математики в 11 классе

Учитель математики Жамбылской средней школы Фасхутдинова Э.С.


Тема: Иррациональные уравнения

Цель урока:


  1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме, повторить методы решения иррациональных уравнений, познакомить с новым нестандартным методом решения иррациональных уравнений – методом мажорант, показать исторический характер теории иррациональности, проверить уровень сформированности умений и навыков учащихся по изучаемой теме.


  1. Развивать операции мышления (обобщение, умение выделять главное, анализировать), внимание, навыки сотрудничества, чувство времени.


  1. Воспитание ответственного отношения к изучению предмета, самостоятельности, познавательной активности, стремления к самосовершенствованию.


Тип урока:

Обобщение и систематизация ранее изученного материала


Оборудование:

Презентация в PoverPoint, интерактивная доска, раздаточный материал, портреты ученых.


Ход урока


I Организационный момент.

Сообщение темы и цели урока.

Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые учителя, приглашаю Вас на урок математики в 11 классе “Иррациональные уравнения”.

Слайд №1

Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

Как Вы знаете, прославился он именно уравнением, названным “Уравнение Эйнштейна”. Вот и мы займемся уравнениями. Обобщим знания по теме: “Иррациональные уравнения”, повторим методы решения уравнений, алгоритмы решения, этими методами, познакомимся с новым методом мажорант.

Запишите в тетради число, тему урока.

На ваших партах лежат рабочие карты, подпишите их.

Рабочая карта ученика 11 класса ________________________

Теория.

кроссворд

1. Метод

“пристального взгляда”

2. Метод

возведение в степень, равную показателю корня

3. Метод введения новой переменной

ИТОГ

 

 

 

 

 

В них вы будете отмечать успешность выполнения заданий символами:

“!” – владею свободно

“+” - могу решать, иногда ошибаюсь

“-” - надо еще поработать

2. Повторение и обобщение изученного материала.

2.1. Основные вопросы теории открытия иррациональности

Иррациональное в переводе с греческого “Уму непостижимое, неизмеримое, немыслимое”. Открытие иррациональности опровергало теорию Пифагора, что “всё есть число”. Предание говорит, что ученик Пифагора, выдавший смертным эту тайну прогиб во время кораблекрушения, ниспосланного богами. Пифагорейцы, изгнавшие его из общины, еще при жизни соорудили ему могилу, как бы умершему.

История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Назовем некоторых из них, отвечая на вопросы теории, которая является фундаментом, для решения иррациональных уравнений.

2 слайд: На экране появляются вопросы с 1 по 6 –ой и первый кроссворд.

  1. Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? (проверка)

  2. Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений (подстановка)

  3. Как называется знак корня?( радикал)

  4. Сколько решений имеет уравнение х2 = а, если а ль)

  5. Как называются уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная? (иррациональное)

  6. Как называется корень второй степени? (квадратный)

Получилось имя Евклид. Евклид – это великий ученый, он жил в 3 веке до нашей эры в Древней Греции. Известно, что он был приглашен в Александрию царем Птолемеем I Сотером для организации математической школы. Он был человеком мягкого характера, очень скромного, но независимого. Он сказал, что познание мира ведет к совершенствованию души. Предлагаю эти слова взять эпиграфом нашего урока.

Понятие иррациональности ассоциируется с изображением корня. Греческие математики вместо слов “извлечь корень” говорили “найти сторону квадрата по его заданной величине (площади)”. Знак корня впервые появился в 1525 году. За это время его изображение менялось. Кто ввел это изображение?

Об этом мы узнаем, ответив на следующие вопросы:

3 слайд: На экране вопросы и следующий кроссворд.

  1. Сколько решений имеет уравнение х2=0. (одно)

  2. Корень какой степени существует из любого числа? (нечетной )

  3. Как называется корень третьей степени? (кубический)

  4. Сколько решений имеет уравнение х2=а, если а 0 ? (два)

  5. Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? ( постороннний)

  6. Корень какой степени существует только из неотрицательного числа? (четной)

Итак, впервые изображение корня ввёл Декарт, французский ученый. Им положено начало исследования важных свойств алгебраических уравнений.

4 слайд: На экране вопросы и следующий кроссворд.

Кто же ввел современное изображение корня? Ответим на следующие вопросы.

  1. Как называется равенство двух алгебраических выражений? (уравнение)

  2. Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство (корень)

  3. Какая черта личности поможет при решении иррациональных уравнений? (трудолюбие)

  4. Какой должен быть взгляд на уравнения, что бы не вычисляя сказать ответ? (пристальный)

  5. Как называют уравнения, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще? (равносильные)

  6. Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное арифметическое действие? (сопряженное)

Это Ньютон – английский физик, открывший основные законы природы, законы Ньютона. Он ввёл современное изображение корня.

Мы повторили теорию решения иррациональных уравнений, которая является фундаментом для познания мира.

2.2. Основные методы решения иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения можно решать различными методами.

1. Какими основными методами решаются иррациональные уравнения?

(Метод возведения в степень, равную показателю корня, метод пристального взгляда, метод введения новой переменной)

5 слайд: Название основных методов решения иррациональных уравнений.

2. Расскажите алгоритм решения методом возведения в степень, равную показателю корня.

Возведём обе части уравнения в степень, равную степени корня.

Решим полученное уравнение.

Выполним проверку.

3. Расскажите алгоритм решения методом введения новой переменной.

Введём новую переменную.

Решим полученное уравнение.

Найдем значение искомой переменной.

Выполним проверку.

4. Какой этап содержат все эти методы?

(Проверку)

5. Какой метод используется при решении иррациональных уравнений другими методами?

(Метод возведения в степень, равную степени корня)

6.Какой метод предполагает устное решение?

(Метод “пристального взгляда”?)

7. На каких свойствах иррациональных выражений основан этот метод?

(Значение арифметического корня четной степени есть величина неотрицательная, а значит сумма, произведение и частное таких выражений будет величина неотрицательная)

2.3. Решение заданий методом пристального взгляда.

Решите в группах методом “пристального взгляда” данные уравнения, которые составили ваши товарищи в домашней работе. Один учащийся от группы рассказывает у доски решение уравнений методом “пристального взгляда”.

Уравнения составлены на отдельных карточках формата А4. При ответе карточки крепят на магнитную доску.

Задание 1 группе:

Решить методом пристального взгляда:

+ = 5,

= 0.

Задание 2 группе:

Решить методом пристального взгляда:

+8 = 0,

+ = .

Задание 3 группе:

Решить методом пристального взгляда:

+ = 0,

+ = - 10.

2.4. Тест. Решение иррациональных уравнений различными способами.

Необходимость введения иррациональных чисел была описана в работе Евклида, по которой потом занимались все творцы современной математики:

Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и Понтрягин.

Как называлась эта древняя книга, которая оказала наибольшее влияние на развитие европейской цивилизации?

Для ответа на этот вопрос выполним тест, в котором решите уравнения. Решите уравнения в тетради, выписываете буквы, под которыми правильные ответы.

Тест

Решите уравнения и запишите буквы, под которыми находятся интервалы, содержащие корни уравнений

1.

В) [6;10]. Б) [20; 27]. Н) [11;18]. М) [30;+?).

2.

е) [20;25]; и) [1;6]; у) [10;16]; а) [17;18]

3.

ч) [-5; -3]; ф) (3; 4); р) [-2; 0]; с) (2; 3)

4.

а) [2; 4]; е) (-5; 2) и) (4; 16) ю)(- ?; - 4)

5.

к) (3; 5); м) [- 5; - 2]; п) (-2; 2]; л) (10; 70)

6. 2

а) [0; 2]; 0) (3; 81); у) (-5; -2); е) (-2; 0).

6 слайд: НАЧАЛА

Именно в этом труде Евклид впервые заявил о необходимости введения новых неизведанных чисел.

2.5. Знакомство с методом мажорант.

Звучит музыка. Вы, конечно, узнали, что прозвучал музыкальный фрагмент к песне “День Победы” Давида Тухманова на слова Николая Харитонова. Эта песня посвящена Дню Победы в ВОВ советского народа. В этом году исполняется 65 лет со Дня Победы в ВОВ. Прозвучавшая музыка носит торжественный, жизнеутверждающий, “мажорный” характер.

В математике есть метод решения иррациональных уравнений, который называется метод мажорант.

7 слайд:

Мажоранта и миноранта – (от франц.), две функции, значение первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции.

Мажорирование – нахождение точек ограничения функции.

Метод мажорант – метод оценки левой и правой части уравнения.

Метод мажорант используется для решения уравнений повышенной сложности, которые соответствуют уровню С.

Пример решения иррационального уравнения методом мажорант, заполняя пропуски:

8 слайд:

М – мажоранта.

Если f(х) = g(х)

и f(х) М и g(х) М,

то М = f(х) и М = g(х).

Пример: (объяснение у доски)

Решить уравнение: х2 – 6х + 11.

Решение:

О Д З: х – 2 0 и 4 – х 0, т.е. х 2 и х 4. Значит 2 х 4.

Рассмотрим правую часть уравнения. Введём функцию у = х2 – 6х = 11.

Графиком функции является парабола с вершиной А(3;2).Наименьшее значение функции у(3) = 2, т.е. у = х2 - 6х + 11.

Рассмотрим левую часть уравнения. Введём функцию у = . С помощью производной найдём max функции, которая дифференцируема на (2;4).

у' = .

у' = 0, если 0,

4 – х = х – 2,

2х = 6,

х = 3.

g (3) = 2

Имеем g = 2. В результате у (3) 2, g (3)   2, отсюда у (3) = 2 и g (3) = 2. Из этих условий составим систему уравнений:

х2 – 6х + 11 = 2 и 2. решение этой системы х = 3. Это подтверждает проверка.

Итак, по какому алгоритму решаются уравнения методом мажорант?

9 Слайд :

Метод мажорант

- Оценим левую часть

- Оценим правую часть

- Составим систему уравнений

- Сделаем вывод

- Проверка

Подведение итогов урока.

10 Слайд

Для достижения духовного совершенства мы познаем мир. Мы изучаем теорию, методы решения иррациональных уравнений.

Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна, иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:

  • Равноускоренное движение

  • 1 и 2 космические скорости

  • среднее значение скорости теплового движения молекул

  • период радиоактивного полураспада и другие.

А также иррациональные уравнения использует статистика.

Но для достижения духовного совершенства необходимо еще воспитать в себе определенные качества.

Как Вы думаете какие?

Ответственность, самостоятельность, терпение, настойчивость, упорство, трудолюбие и другие.

Подведите итоги своей работы на уроке в своей рабочей карте.

Я желаю Вам достичь заветной цели, а главное стремиться к постоянному самосовершенствованию.

11 слайд:

“Да, мир познания не гладок.
И знаем мы со школьных лет
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет!”

Домашнее задание: Повторить §6, решить №103, 104 (3,4)



9




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 11 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Конспект урока по теме Иррациональные уравнения

Автор: Фасхутдинова Элфия Султановна

Дата: 04.12.2015

Номер свидетельства: 261881

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(161) "Конспект на тему "Иррациональное уравнение. Иррациональное неравенство. Решение задач"."
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt_na_tiemu_irratsional_noie_uravnieniie_irratsional_noie_nieravienstvo_r"
    ["file_id"] => string(6) "387070"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1486054106"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(172) "Урок алгебры в 8 классе на тему "Иррациональные уравнения" по методике взаимообмена заданиями "
    ["seo_title"] => string(103) "urok-alghiebry-v-8-klassie-na-tiemu-irratsional-nyie-uravnieniia-po-mietodikie-vzaimoobmiena-zadaniiami"
    ["file_id"] => string(6) "189949"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1427053151"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(129) "Конспект урока математики в 11 классе по теме Иррациональные уравнения"
    ["seo_title"] => string(79) "konspiekt_uroka_matiematiki_v_11_klassie_po_tiemie_irratsional_nyie_uravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "365559"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1480849683"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(103) "конспект урока по математике "Иррациональные уравнения""
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-po-matiematikie-irratsional-nyie-uravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "307138"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1458276234"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(113) "Конспект урока математики по теме "Иррациональные уравнения" "
    ["seo_title"] => string(66) "konspiekt-uroka-matiematiki-po-tiemie-irratsional-nyie-uravnieniia"
    ["file_id"] => string(6) "231987"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1442692560"
  }
}



ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства