Конспект урока "Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии"

Урок по алгебре в 9 классе

Тема: «Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии»

Девиз «Мало знать, надо уметь этим пользоваться».

Цели: вывести формулу суммы п первых членов арифметической прогрессии, сформировать у учащихся умение применять данную формулу при решении стандартных задач, показать практическое применение этой формулы в жизненных ситуациях, развивать логическое мышление, воспитывать культуру умственного труда.

Тип урока: изучения нового материала

Форма организации деятельности: фронтальная, парная (взаимоконтроль), индивидуальная (самоконтроль).

Ход  урока:

1. Оргмомент.

Ребята, сегодня 27 февраля, а это значит, что остался всего лишь один день до начала весны. А весна – это всегда солнце и отличное настроение, пусть оно вас не покидает на протяжении нашего урока.

2. Проверка домашнего задания. (Взаимопроверка ответов и решения по образцу, разобрать задания, в которых допущены ошибки.)

3.Повторение и закрепление пройденного материала.

Устная работа: «Проверь себя!»

Какие из последовательностей являются арифметическими прогрессиями?

3, 6, 9, 12,…..

5, 12, 18, 24, 30,…..

5, 15, 25,….,95….

1, 2, 4, 7, 9, 11…..

5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,….

«Вычисли устно»

Найти разность арифметической прогрессии:

1; 5; 9………

105; 100….

-13; -15; -17……

11; ? ; 19,….

«Реши задачу»

Между числами 6 и 21 вставьте 4 числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию.

Решение: а1 = 6, а6 = 21,

d = (21 – 6)/ (6 – 1) = 3,

6, 9, 12, 15, 18, 21.

4.Контроль усвоения материала (Проверочный тест)

5. Изучение нового материала.

Ребята, часто в жизни возникают такие ситуации, что без знаний математики нам не обойтись.

1 ситуация: Ко Дню рождения своей дочери Алины мы решили купить и обновить ей мобильный телефон. Для этого мы вместе в папой решили откладывать деньги с января месяца, в первый месяц отложили 1000 рублей, а в каждый последующий месяц мы будем откладывать на 200 рублей больше, чем в предыдущий. День рождения в июле. Какая сумма будет у нас, родителей Алины, ко дню ее рождения?

Можем мы сразу ответить на вопрос? (проблемная ситуация)

- Нет.

- Но у вас есть достаточно знаний, которые могут помочь родителям Алины. (1000 + 1200 + 1400 + 1600 + 1800 + 2000 = 9000 рублей)

Переход к изучению нового материала.

Предлагаю вам решить еще одну задачу.

Задача. Садовнику нужно изготовить лестницу для сбора яблок из 13 ступеней так, чтобы длина каждой следующей ступени была меньше предыдущей на 2 см. Какой длины брусок нужно взять садовнику для этих перекладин, если первая снизу длиной 50 см?

На слайде демонстрируется садовая лестница.

Создана проблемная ситуация.

- Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?

Для ответа на вопрос задачи необходимо найти сумму 13-ти слагаемых, а сначала сами слагаемые: 50, 48, 46, 44, … – последовательность, которая является арифметической прогрессией по определению. Это долго и нерационально. Поэтому надо бы вывести формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

6. Объяснение нового материала.

Записываем в тетрадях тему урока: Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Сформулируйте цель нашего сегодняшнего урока! - Дети формулируют, учитель координирует.

7. Сообщение ученицы.

- А теперь вернемся к нашей задаче о лестнице.

Каждую ступеньку можно обозначить как члены арифметической прогрессии: а_1, а₂,…, а_13.

Появляется вторая лестница и обучающиеся замечают некоторую закономерность: а+а=а+а=…=а+а

Всего 13 пар слагаемых, сумма пар одинакова.

Используя это свойство, найдём сумму длин ступенек 2 лестниц

S = (а + а)13 и поделим на 2.

494 см = 4 м 94 см

Ответ: садовнику понадобится брусок длиной 4м 94 см.

Таким образом, задача решена и для любого числа n получена формула

9. Первичное закрепление.

Решение № 603 из учебника, по одному пункту. ( Ответы: а) 1800; б) 1230.)

8.Пауза. Закройте глаза и подумайте о чем-нибудь приятном, откройте глаза. Сфокусируйте свой взгляд на отдаленном предмете, а теперь на более близком. Повторите несколько раз.

- А если вам будут известны а₁ и d, то каковы будут ваши действия?

Зная, что а_n = а + d(n – 1), получить другую формулу (это могут сделать сами обучающиеся).

S_n=

S_n=

Решение номеров из учебника № 606 и № 604 (по одному пункту).

Ответы: №604 а) -100; б) -15,2. №606 а) 5200; 20400; (4+2n)n;

б) 2700; 10400; (4+n)n.

- Примеры арифметической прогрессии мы наблюдаем в повседневной жизни.

Задача с бревнами. ( В кладке 78 бревен. а1 = 12, а2 = 11, d = 1, S13 = (12 + 1) : 2 * 12 = 78)

10. Итоги урока: выставление оценок на рабочую карту ученика.

Рефлексия:

- Выскажите свое мнение о нашем сегодняшнем уроке, закончив предложения подходящим на ваш взгляд вариантом.

1. Что нового узнали на уроке?

2. Ответьте на вопрос:  «Что у каждого из вас получается хорошо при решении задач? Что плохо? Почему?» (опрос провести выборочно)

11. Домашнее задание: п.28, формулы, № №605, 607, 620.(по выбору)

Сообщение ученицы.

Крупнейший немецкий математик Карл Гаусс (1777— 1855) в раннем возрасте проявил необыкновенные способ­ности к изучению арифметики.

Семи лет Карл начал учиться в народной школе. В этом типе учебных заведений два первых года обуче­ния почти полностью отводились на чтение и письмо.

И мальчик Гаусс из среды своих одноклассников ничем не выделялся.

Положение изменилось с переходом Карла в третий класс. В этом классе основное внимание уделяли ариф­метике.

Учитель, по фамилии Бюттнер, на одном из уроков предложил третьеклассникам найти сумму всех натураль­ных чисел от единицы до ста.

Нервно заскрипели на аспидных досках грифели уче­ников. Их всех, за исключением только одного, пугала на­висшая угроза почувствовать на собственном теле силь­ные удары хлыста учителя. Ведь многие из них очень хо­рошо знали по личному опыту, что учитель больно хлещет не только за ошибки, но и за отставание от товарищей.

Этим одним был Карл Гаусс. Ему удалось почти мгно­венно решить предложенную учителем задачу.

По установленному в классе распорядку решивший задачу первым клал свою доску на середину большого стола. Туда и положил свое решение маленький Гаусс, едва только учитель договорил последние слова форму­лировки задачи.

Насмешливый взгляд Бюттнера, не расстававшегося с хлыстом, был весьма выразительным. Наставник Гаус­са даже и не допускал мысли, что на столь поспешно по­ложенной доске может оказаться правильное решение задачи.

Но Карл оставался совершенно спокойным. Он был уверен в правильности своего ответа.

Долго сидел маленький Гаусс в ожидании окончания работы своими товарищами. Очень много прошло време­ни, прежде чем следующая доска легла на его доску. Но, в конце концов доски учеников последовательно легли друг на друга.

Учитель привычным движением рук перевернул эту кучу досок так, чтобы начать просмотр с тех работ, кото­рые были сданы первыми.

Работа Карла удивила учителя. Решение мальчика было не только правильным, но к тому же весьма про­стым и оригинальным.

В решении Карла ярко проявилась его математиче­ская зоркость. Ему оказалось достаточным взглянуть на запись задания 1+2 + 3+ ... +98 + 99 + 100, чтобы заметить, что сум­ма каждой пары слагае­мых, которые одинаково отстоят от концов запи­санного выражения, рав­на 101 ( 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, ...,50 + 51).

А таких пар, рассуждал дальше мальчик, в два раза мень­ше, чем слагаемых, т. е. 50. Выходит, что вся иско­мая сумма равна 101 * 50 = 5050.

Способности Гаусса в области счета всегда удив­ляли людей, которым до­водилось с ним встречать­ся. В развитии этих спо­собностей очень большую роль сыграли целеустрем­ленность, трудолюбие и тщательность выполнения каж­дой работы, в том числе и чисто ученических упражнений. При выполнении вычислений Карл Гаусс всегда со­блюдал образцовый порядок. Каждую цифру он писал четко; каждое число занимало надлежащее ему место.

Почти неизвестно ошибок в работах Гаусса. Он умел своевременно выявлять и исправлять свои ошибки. С этой целью им широко использовались различные спо­собы проверки.