Конспект урока геометрии по теме "Теорема Пифагора"

6

Геометрия 8 класс

Тема: Теорема Пифагора. Решение задач.

Тип: комбинированный урок

Цели урока: - формирование знаний о теореме Пифагора и умений применять ее к решению задач;

- развитие любознательности и познавательного интереса учащихся;

- воспитание творческой активности.

План урока

1. Историческая справка

2. Теорема Пифагора

3. Закрепление теоремы Пифагора

4. Постановка домашнего задания

5. Подведение итогов

Ход урока

1. Историческая справка

Беседа учителя:

1. «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах…» - это одна из самых известных геометрических теорем древности, называемая теоремой Пифагора. Ее и сейчас знают все, кто когда-либо изучал планиметрию.

«Мне кажется, что если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры. Думаю, что если эту информацию смогут принять мыслящие существа, то они без сложной дешифровки сигнала поймут, что на Земле существует достаточно развитая цивилизация» - писал историк математики Г. Глейзер.

Сообщение ученика «Пифагор и его теорема»

1. В Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а мер в 500 г. до .н.э.) О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связно ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижении науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так, на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками Проклом, Плутархом и др. длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора.

Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т.е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне. Китае и Мексике. В самом древнем, дошедшем до нас, китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам.

Беседа учителя

1. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника. Он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Мы не знаем, как он это сделал. Некоторыми историками математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждение, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника. На протяжении веков были даны многочисленные доказательства этой теоремы. Одно из древнейших дано Евклидом и изложено им в «Началах». Как и формулировка, так и доказательство теоремы имеют у Евклида чисто геометрический характер. Рассмотрим некоторые доказательства теоремы Пифагора.

1. Теорема Пифагора

К доске поочередно выходят 4 ученика с чертежами и проводят доказательство теоремы Пифагора. Каждому ученику розданы карточки с изображением всех четырех чертежей (для экономии времени), в тетрадях записываются выкладки.

I ученик

Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Беседа учителя

глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательства. Таких доказательств – более или менее наглядных – известно более полутора сотен, но стремление к преумножению их числа сохранилось. Начнем с примера простого и наглядного доказательства:

II ученик

На рисунке изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна (a+b). Каждый из квадратов разбит на части, состоящих из прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b, то останутся равные площади, т.е. c²=a²+b².

Беседа учителя

Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: «Смотри!». Вполне возможно, что такое даже доказательство предложил и Пифагор. Теперь рассмотрим алгебраический метод теоремы Пифагора.

III ученик

Этот рисунок иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари. Рисунок сопровождало лишь одно слово «Смотри!».

Квадрат со стороной с разбит на части: четыре прямоугольных треугольника с катетами a и b и квадрат со стороной (b-a).

c²=(b-a)²+4∙ab

c²=b²-2ab+a²+2ab

c²=b²+a²

Беседа учителя:

К слову сказать, принятое сейчас название математических утверждений «теорема» происходит от греческого слова «теорео», означавшего «рассматриваю» (от этого слова происходит и «театр»). Приведем еще одно доказательство теоремы Пифагора алгебраическим методом.

IV ученик

Рисунок иллюстрирует доказательство Гарфилда. На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции. Либо как сумму площадей трех треугольников.

1) , где

2)

Приравнивая эти выражения, получаем

Беседа учителя

Доказательство теоремы Пифагора считалось у учащихся очень трудным и называлось иногда Pons asinorum – «ослиный мост» или elefuga – «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, «бежали» от геометрии. Слабые ученики, заучившие теорему без понимания и прозванные поэтому «ослами», не были в состоянии «преодолеть» теоремы Пифагора, представлявшуюся им в виде непроходимого моста. В связи с чертежом, сопровождавшим теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряная мельница», составляя стишки вроде:

Пифагоровы штаны

Во все стороны равны;

рисовали карикатуры:

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

1. Закрепление теоремы Пифагора

Беседа учителя

Решим старинные задачи, в которых будет «работать» теорема Пифагора. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Решим две задачи, принадлежавшие перу великого индийского математика XII века Бхаскари.

I задача: Над озером тихим

С полфута размером, высился лотоса цвет.

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Д

Решение:

1. Пусть CD=x. Тогда AD=AB=.

2. По теореме Пифагора AD²=AC²+CD²

ано:

ΔACD ()

СD=2 фута

BC=фута

AD=AB

Найти: АС

Ответ: глубина озера фута.

II задача

На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С течением реки его ствол составлял.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?

Дано:

ΔACD ()

AC=3 фута

AD=4 фута

CD=BC

Найти: AB

Ответ: 8 футов.

III задача

Она взята из первого учебника математики на Руси. Назывался этот учебник «Арифметика». Кто из вас знает автора первого учебника? Это Леонтий Филиппович Магницкий. Однако настоящая его фамилия Телятин, а Магницким он стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивающими всех любознательных подобно магниту. Читаю задачу так, как она была записана в те времена: «Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лествицудолготою 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лествица нижний конец от стены отстояти».

Решение:

1. Пусть CB=x стоп

2. По теореме Пифагора

AB²=AC²+BC²

125²=117²+x²

x²=125²-117²=(125-117)(125+117)

Дано:

ΔABC ()

AC=117 стоп

AB=125 стоп

Найти: CB

Ответ: 44 стопы.

1. Подведение итогов

Итак, сегодня на уроке мы рассмотрели еще несколько доказательств теоремы Пифагора, увидели ее «работу» в решении задач.

1. Постановка домашнего задания

Как уже было сказано, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т.е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора.

Такой треугольник иногда называют «египетским». О нем вы прочтет в п.55, а на следующем уроке докажете теорему, обратную теореме Пифагора и расскажете о «правиле веревки». Решите задачу № 494.

«Пифагор и его теорема»

В Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до .н.э.) О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связно ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижении науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так, на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Именно Пифагору приписывают доказательство известной геометрической теоремы. На основе преданий, распространенных известными математиками Проклом, Плутархом и др. длительное время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна, отсюда и название – теорема Пифагора.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора.

Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т.е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае и Мексике. В самом древнем, дошедшем до нас, китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам.