kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Конспект урока алгебры "Линейное уравнение с одной переменной"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Конспек урока алгебры "Линейное уравнение с одной переменной" предназначен для проведения урока алгебры в 7 классе. Место урока в образовательном процессе: Алгебра, учебник Мордкович А.Г.; раздел "Математический язык. Математическая модель".Тип урока: повторение и обобщение пройденного материала.В работе  указаны планируемые результаты, соответствующие требованиям ФГОС. Урок предусматривает проведение физкультминутки и рефлексии. К уроку выполнена компьютерная презентация, состоящая из 44 слайдов.  

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока алгебры "Линейное уравнение с одной переменной" »

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

"Средняя школа №1 имени Героя Советского Союза Б.Н. Емельянова"












Конспект урока алгебры

Тема:

«Линейное уравнение с одной переменной»






Разработал учитель математики

Чепурнова Светлана Васильевна






Щекино 2015-2016 уч. год



Класс:

Тема урока: Линейное уравнение с одной переменной.

Место урока в образовательном процессе: Алгебра, учебник Мордкович А.Г.; раздел «Математический язык. Математическая модель».

Тип урока: повторение и обобщение пройденного материала.

Цель урока: закрепить знания, умения и навыки, полученные на предыдущих уроках.

Планируемые результаты:

- познавательные УУД: учащиеся научатся соотносить знания полученные по данной теме в 6 классе со знаниями, полученными в 7 классе, проверить умения решать и составлять линейные уравнения с одной переменной; развивать познавательные интересы, развивать умения обобщать, сравнивать, анализировать, устанавливать логические связи;

- коммуникативные УУД: рассуждать и делать выводы; слушать и слышать других, выражать и отстаивать свою позицию в соответствии с нормами родного языка; вступать в диалог, а также участвовать в коллективном обсуждении проблем;

- регулятивные УУД: выбирать средства для организации своего поведения; запоминать и удерживать правило, инструкцию во времени; планировать, контролировать и выполнять действие по заданному образцу, правилу, с использованием норм; предвосхищать промежуточные и конечные результаты своих действий, а также возможные ошибки; начинать и заканчивать действие в нужный момент;

- личностные УУД: воспитание чувств ответственности за свои поступки; формирование учебной мотивации и способности к волевому усилию; развитие интереса к изучаемой дисциплине; формирование волевых качеств, коммуникабельности, объективной оценки своих достижений, ответственности.

Обоснование избранного метода: презентация позволяет в занимательной, наглядной форме достигнуть цели и задачи урока.

Описание работы: презентация состоит из 44 слайдов. На уроке учитель работает с 1 слайда. Переход между слайдами осуществляется щелчком мыши. Учащиеся с помощью слайдов повторяют и закрепляют изученный материал. На 41 слайде дается домашнее задание и список литературы, на 43 проверяется рефлексия учащихся.

Оборудование: мультимедийная установка, карточки с номерами и заданиями, рабочий листок для каждого ученика, тесты, учебник, задачник, рабочая тетрадь, тетрадь для самостоятельных работ.

Условные обозначения:

У – речь учителя;

О – устный ответ ученика;

И – индивидуальная работа в тетради;

ДИ – ответ одного ученика у доски, остальных в тетрадях.
















Ход урока.

I. Организационный момент. Постановка целей урока. (3 мин.)


Действия учителя


Действия ученика

слайда

У: Здравствуйте, ребята! Cегодня мы с вами проведем урок обобщения и повторения по теме: «Линейное уравнение с одной переменной». Откройте рабочие тетради и запишите тему урока.

Учащиеся приветствуют учителя.


И: Записывают тему урока в тетради.


1



У: Цель урока: закрепить знания, умения и навыки решения линейных уравнений.

Эпиграф к уроку:

Пусть математика сложна,

Ее до края не познать,

Откроет двери всем она,

В них только надо постучать.





Слушают, смотрят слайды.




2,3

II. Организация учебной деятельности учащихся (35 мин.)


Действия учителя


Действия ученика

слайда

У: Чтобы математика для вас не казалась сложной, начнем урок с разминки для ума.

1) Разгадайте ребусы.

Первый ребус.

Второй ребус.

Третий ребус.

Четвертый ребус.

Пятый ребус.

У: Молодцы! Ребята, а что называется уравнением?


У: Какие виды уравнений вам известны?


У: Выполним следующее задание. На столе у каждого из вас набор карточек с номерами от 1 до 8. На экране вы видите 8 уравнений. Поднимите карточки, номера которых соответствуют, только линейным уравнениям. Объясните почему.

1) x(х+7) = 0;

2) х3 – 5х + 6 = 0;

3) │x│=11;

4) 3x - 1 =14;

5) 9x = 1;

6) 9х2 = 18;

7) 7(x-2) = 7x-14;

8) │x4 - 3│=1.

У: Почему первое уравнение не является линейным?



У: Что называется линейным уравнением с одной переменной?



У: Ребята, что значит решить линейное уравнение с одной переменной?


У: Что называется корнем уравнения?




У: Не решая уравнения, проверьте какое из чисел является его корнем.

Даны числа: 43; 13; 32; 0 и уравнение:

67+(33-х) = 68













У: Ребята, чем мы пользовались, когда решали линейные уравнения с одной переменной?

У: Давайте их повторим.

У: 1.Сформулируйте правило раскрытия скобок перед которыми стоит знак «+».




2. Сформулируйте правило раскрытия скобок перед которыми стоит знак «-».





3. Какие слагаемые называются подобными?



4. Как привести подобные слагаемые?




У: А без чего мы не сможем решить уравнение?

У: Давайте повторим алгоритм решения линейных уравнений.












У: На доске написаны три уравнения, решите их, пользуясь алгоритмом. Первый ряд решает первое уравнение, второй ряд – второе, третий – третье.

К доске выходят по одному человеку из каждого ряда.

  1. (2х - 2)/2 = (х + 5)/3;








2) (3х - 3)/3 = (2х -2)/2;








  1. 3(2х - 1) = 4(х + 2) + 2х.







У: Во все трех уравнениях были получены различные результаты. Таким образом, сколько корней может иметь уравнение?

У: Что использовалось помимо правил и алгоритма при решении первых двух уравнений?

У: Сформулируйте свойство пропорции.



У: В математике довольно часто встречаются уравнения, записи которых не имеют никакого сходства, но такие уравнения имеют одинаковые корни. Как они называются?

У: На экране вы видите восемь уравнений, составьте пары равносильных, используя карточки с номерами. Обоснуйте свой ответ.

1) х+1 = 3 5) х-3=0

2) 2х - 7 =12 6) 5х = 0

3) (4+х) – 2 =2 7) х-3,5 = 2

4) -5х = - 6 8) 4х=8




У: Какими свойствами о равносильности уравнений мы используем при решении уравнений?








У: Ребята, где чаще всего используют уравнения?

У: Какой метод в математике мы используем как помощь в решении задач?

У: Что такое математическая модель?





У: Ребята, чаще всего что мы принимаем за математическую модель?

У: Давайте вспомним этапы математического моделирования.







У: Остановимся на первом этапе. Для этого

составим несколько математических моделей - уравнений предлагаемых ситуаций – задач.

Четверо человек в классе будут работать индивидуально по карточкам в тетрадях

Учитель раздает сильным учащимся карточки с заданиями.

Остальные ребята работают в тетрадях и один человек идет к доске отвечать.

Задача

Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации.

На первой автостоянке стояло в 8 раз автомобилей больше, чем на второй. Когда с первой автостоянки на вторую перевезли 25 автомобилей, то на второй стоянке оказалось в 2 раза больше машин, чем на первой. Сколько автомобилей было на каждой стоянке первоначально?


Карточка №1:

Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации.

Масса девяти кирпичей на 20 кг больше, чем масса одного кирпича. Найдите массу одного кирпича.


Карточка №2: Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации.

На одной стоянке находилось в 2 раза больше машин, чем на другой. Когда с первой стоянки 30 автомашин переехало на вторую, то на второй стоянке оказалось в 3 раза больше машин, чем на первой. Сколько автомашин было на каждой стоянке первоначально?


Карточка №3: Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации.

Теплоход прошел расстояние между пристанями по течению реки за 4 ч, а против течения реки за 5 ч. Определите собственную скорость теплохода, если скорость реки 2 км/ч.




Карточка №4: Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации.

В начале боя, в игре "Мир танков", у каждой стороны было по 14 боевых машин. В итоге, после захвата базы, потери противника оказались втрое больше потерь вашей команды, и на поле в общей сложности осталось 12 машин. Сколько танков осталось у вашей команды к концу боя? 



У: Решая задачи методом математического моделирования, к какому выводу вы пришли?



У: Попросим выписать и решить на доске составленные модели учащимися, которые работали по карточкам.

Проверим ответы.





















У: Ребята, вероятно вы устали, настало время немного отдохнуть. Проведем физкультминутку для глаз. Смотрим на слайд и выполняем упражнения.

Для закрепления ваших знаний и умений выполним самостоятельную работу.

Время выполнения самостоятельной работы 15 минут.

Самостоятельная работа с учетом индивидуальных способностей учащихся.

(См. приложение к уроку)


Слушают учителя, смотрят слайды.

О: - Алгебра.

- Число.

- Циркуль.

- Знаменатель.

- Уравнение.

О: Уравнение – равенство с одной и более неизвестными переменными.

О: Линейные уравнения с одной переменной.

Слушают учителя, смотрят слайд.





О: Линейные уравнения: 3),4),5),7), так как переменная х входит в уравнения в первой степени.

Смотрят слайд с ответом.




О: Первое уравнение не является линейным уравнением, так при раскрытии скобок переменная х окажется во второй степени.

О: Уравнение вида: ах + b = 0 называется линейным уравнением

с одной переменной, где х- переменная; а и b – некоторые числа.

О: Найти все корни уравнения или доказать, что их нет – это значит решить уравнение.

О: Корень уравнения – значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.



ДИ:

Если х = 43, то 67 + (33-43) = 68;

57=68 – неверно

Если х = 13, то 67 + (33-13) = 68;

87 = 68 – неверно

Если х = 32, то 67 + (33-32) = 68;

68 = 68 – верно

Если х= 0, то 67 + (33 – 0) = 68;

100 = 68 - неверно

Ответ: 32

О: Вывод: число 32 – корень данного уравнения.

Смотрят слайд с ответом.


О: Правилами и определениями.



О: 1. Если перед скобками стоит знак «+», это значит, что все слагаемые в скобках надо умножить на 1, т. е., раскрывая скобки, оставить их без изменения.

2. Если перед скобками стоит знак «–», это значит, что все слагаемые в скобках надо умножить на –1,

т. е., раскрывая скобки, изменить знаки слагаемых на противоположные.

3. Подобные слагаемые – это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть или не имеющие ее вовсе.

4. Привести подобные слагаемые – это значит сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

О: Без алгоритма.


О: Чтобы решить линейное уравнение с одной переменной необходимо:

1.Раскрыть скобки.

2.Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.

3.Привести подобные слагаемые

в обеих частях уравнения.

4.Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

К доске выходят трое учащихся и решают уравнения.




  1. (2х – 2)/2 = (х + 5)/3;

3(2х – 2) = 2(х + 5);

6х – 6 = 2х + 10;

6х – 2х = 10 + 6;

4х = 16;

х = 16 : 4;

х = 4.

Ответ: 4

2) (3х – 3)/3 = (2х -2)/2;

2(3х – 3) = 3(2х -2);

6х – 6 = 6х - 6;

6х – 6x = - 6 + 6;

0 · x = 0 – верно при любом значении х.

Ответ: бесчисленно много корней.

3) 3(2х – 1) = 4(х + 2) + 2х;

6х – 3 = 4х + 8 + 2х;

6х – 4x – 2х = 8 +3;

0 · x = 11 – неверно при любом значении х.

Ответ: корней нет.


О: Один корень; бесконечно много корней и не иметь корней.


О: Свойство пропорции.



О: Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

О: Уравнения, которые имеют одни и те же корни, называются

равносильными.


Учащиеся поднимают карточки 1,8 (в одной руке) и 3,6 (в другой руке)

О: Пары уравнений 1,8 и 3,6 являются равносильными. Так как корень уравнений 1 и 8 равен 2, корень уравнений 3 и 6 равен 0. Остальные уравнения общих корней не имеют, значит они не равносильны.

Смотрят слайд – ответ.

О: При решении уравнений используютсясвойства:
1. Если в уравнении перенести слагаемые из одной части в другую, изменив его знак, то получится равносильное уравнение.
2. Если обе части уравнения умножить или разделить на число (не равное нулю), то получится равносильное уравнение

О: В решении задач.


О: Метод математического моделирования.

О: Математическая модель – это способ описания какой-либо ситуации с помощью математического языка (формул, уравнений, неравенств)

О: Линейное уравнение с одной переменной.


О: 1 этап: составить математическую модель, то есть уравнение;

2 этап: работа с математической моделью, то есть решение уравнения;

3 этап: ответить на вопрос задачи.













ДИ: Составим и заполним таблицу, исходя из условий задачи. За х обозначим число автомобилей на II автостоянке.


Было, авт.

Стало,

авт.

I автостоянка

8x

2(8x – 25)

II автостоянка

x

х +25

По условию задачи, машин стало поровну, составим уравнение:

7x – 25 =2( х +25)


И: Пусть х (кг) – масса одного кирпича, то масса 9 кирпичей будет равна 9x (кг). По условию задачи составим уравнение:

9x – x = 20



И: За х обозначим число автомобилей на II автостоянке.


Было, авт.

Стало,

авт.

I автостоянка

2x

3(2x – 30)

II автостоянка

x

х +30

По условию задачи, машин стало поровну, составим уравнение:

3(2x – 30) = х +30



И: Пусть х (км/ч) – собственная скорость теплохода, то скорость теплохода по течению реки равна

(х +2) (км/ч), а против течения

(х -2) (км/ч). За 4 часа теплоход прошел расстояние 5(х -2) (км), в обратную сторону за 5 часов 4(х+2) (км). По условию задачи составим уравнение:

5(х -2) = 4(х+2)


И: Составим математическую модель. В начале игры на поле было 14 · 2 = 28 танков. 
      Примем за x количество танков потерянных вашей командой, значит, потери врагов составят 3x.

X  -   ваши потери;3x – потери вражеской команды;28 –количество всех танков до боя;12- количество всех танков после боя.
 Составим уравнение: 
28 – x – 3x = 12

О: Что составление уравнения, т.е. математической модели, намного упрощает решение задачи.


Учащиеся проверяют ответы.


ДИ: 1. 9xx = 20;

8х = 20;

х =20:8;

х = 2,5.

Ответ:2,5

2. 3(2x – 30) = х +30;

6х – 60 = х +30;

6х – х =30 +60;

5х = 90;

х =90:5;

х =18.

Ответ:18

3.5(х -2) = 4(х+2);

5х -10 = 4х + 8;

5х -4х = 8 +10;

х = 18.

Ответ:18

4.28 – x – 3x = 12;

-3х = 12 – 28;

х = -16;

х = -16: (-4);

х = 4.

Ответ:4

Под руководством учителя выполняют упражнения для глаз



И: Учащиеся получают карточки с заданиями с учетом их индивидуальных способностей и приступают к выполнению. Работают в тетрадях для самостоятельных работ.





4-10




11



12


13










14









15



16



17






18-19














20




21





22






23




24






25










































26






27




28




29










30



31









32


33


34








35



















36, 37























































38


























39










40

III. Домашнее задание. (2 мин.)


Действия учителя


Действия ученика

слайда

У: Записываем домашнее задание:

п.4; № 4.7(в, г); №4.11 (б); Придумать к уравнению № 4.11(б) задачу


Открывают дневники, записывают

домашнее задание.


41

IV. Подведение итогов. Рефлексия (3 мин.)


Действия учителя


Действия ученика

слайда

У: Ребята сегодня на уроке мы обобщили знания по теме «Линейное уравнение с одной переменной»:

  1. Вспомнили правила и алгоритм , используемые при решении уравнений;

  2. Научились решать линейные уравнения с одной переменной;

  3. Убедились в значимости применения уравнений как математических моделей в решении задач;

  4. Научились составлять линейные уравнения с одной переменной при заданных условиях задачи.

Учитель выставляет оценки за урок.

И в заключении урока попрошу ответить вас на вопросы, которые вы видите на бланках, которые лежат у вас на столах.

  1. На сколько вы оцениваете вашу включенность в урок?

  2. На сколько вы оцениваете усвоение вами данной информации?

  3. С каким настроением вы заканчиваете урок? Выберите человечка.

Спасибо за работу!


Слушают учителя, смотрят слайд.
















О: Заполняют бланк «Рефлексия».





Сдают тетради для самостоятельных работ и бланки «Рефлексия» учителю на стол.




42















43





44







Приложение к уроку «Линейное уравнение с одной переменной»


Уровень 1


ВАРИАНТ 1

1.Решите уравнения и определи какие из них являются равносильными:

А) 2(х - 5) = х + 4; Б) 7х -2 = 5( х +10 ); В) 2х -7 = х + 7

Варианты ответов: 1) А и Б; 2) А и В; 3) Б и В

2. Найдите значение x, при котором выражение 6х - 7 будет равно выражению х - 5?

Варианты ответов: 1) 0,5; 2) -1; 3) 0,4

3. Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации. В одной коробке в 2 раза больше карандашей, чем в другой. Всего в двух коробках 27 карандашей.

Сколько карандашей в каждой коробке?

Ответ________________

Уровень 1


ВАРИАНТ 2

1. Решите уравнения и определи какие из них являются равносильными:

А) 3(х + 1) = х + 5; Б) 7х -2 = 3 ( х + 2 ); В) 2х + 8 = х + 9

Варианты ответов: 1) А и Б; 2) А и В; 3) Б и В

2.  Найдите значение y, при котором выражение 3у - 2 будет равно выражению y + 8?

Варианты ответов: 1) 0,5; 2) 5; 3) -2

3. Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации. В одной пачке в 5 раз больше тетрадей, чем во второй. Всего в двух пачках 36 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке?

Ответ________________


Уровень 2


ВАРИАНТ 1

1. Решите уравнения и определи какие из них являются равносильными:

А) 4(x +5) –2(x +25) = 0 ; Б) 3(2х - 3) – 2(3х -8 ) = 0; В) 2,5(x-2) – (x +17,5) = 0

Варианты ответов: 1) А и Б; 2) А и В; 3) Б и В

2. Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения 3 – (х - 4,5) = 16 - 2х

1) x 8; 2) x x 10,5

3. Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации. В трех мешках 114 кг сахара. В первом на 16 кг меньше, чем во втором, а в третьем на 2 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов сахара во втором мешке?

Ответ________________


Уровень 2


ВАРИАНТ 2

1.Решите уравнения и определи какие из них являются равносильными:

А) 2(x +5) – (x +25) = 0 ; Б) 6(2х - 3) – 4(3х -8 ) = 0; В) 5(x-2) – 2(x +17,5) = 0

Варианты ответов: 1) А и Б; 2) А и В; 3) Б и В

2. Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения 6 – (2х - 9) = 32 - 4х

1) x 8; 2) x x 10,5

3. Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации. На путь по течению реки катер затратил 3ч, а на обратный путь 4,5ч. Какова скорость течения реки, если скорость катера относительно воды 25 км/ч?

Ответ________________

Уровень 3


ВАРИАНТ 1

1. Решите уравнения и определи какие из них являются равносильными:

А) - x +5 – (x +25) = 0 ; Б) 6(2х - 3) – 4(3х -8 ) = 0; В) 5(x-2) – 2(x +17,5) + 75= 0

Варианты ответов: 1) А и Б; 2) А и В; 3) Б и В

2. Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения 18 – (6х - 27) = 96 - 12х

1) x 8; 2) x x 10,5

3. Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации. В трех мешках 114 кг сахара. В первом на 16 кг меньше, чем во втором, а в третьем на 2 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов сахара во втором мешке?

Ответ________________

Уровень 3

ВАРИАНТ 2

1. Решите уравнения и определи какие из них являются равносильными:

А) 2x – 6 – (x +27) = 0 ; Б) 7(3х - 3) – 2(3х -8 ) = 0; В) 3х – 2(х - 11) - 55 = 0

Варианты ответов: 1) А и Б; 2) А и В; 3) Б и В

2. Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения 9 – (3х – 13,5) = 48 - 6х

1) x x 10,5; 3) x 8;

3. Дано описание ситуации. Составьте математическую модель данной ситуации. В трех ящиках 228 кг картофеля. В первом на 32 кг меньше, чем во втором, а в третьем на 4 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов картофеля во втором ящике?

Ответ________________




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 7 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Конспект урока алгебры "Линейное уравнение с одной переменной"

Автор: Чепурнова Светлана Васильевна

Дата: 05.10.2015

Номер свидетельства: 236484

Похожие файлы

object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(104) "Материал по теме  "Линейное уравнение с одной переменной""
    ["seo_title"] => string(57) "matierialpotiemielinieinoieuravnieniiesodnoipieriemiennoi"
    ["file_id"] => string(6) "292095"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1455213184"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(104) "Конспект урока математики "Линейная функция и её график" "
    ["seo_title"] => string(63) "konspiekt-uroka-matiematiki-linieinaia-funktsiia-i-ieio-ghrafik"
    ["file_id"] => string(6) "243523"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1445759014"
  }
}
object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(141) "Конспект урока по алгебре на тему: "Решение задач с помощью систем уравнений" "
    ["seo_title"] => string(90) "konspiekt-uroka-po-alghiebrie-na-tiemu-rieshieniie-zadach-s-pomoshch-iu-sistiem-uravnienii"
    ["file_id"] => string(6) "127155"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1415277144"
  }
}
object(ArrayObject)#884 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(42) "Конспект урока алгебры"
    ["seo_title"] => string(22) "konspekt_uroka_algebry"
    ["file_id"] => string(6) "478589"
    ["category_seo"] => string(7) "algebra"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1537730330"
  }
}
object(ArrayObject)#862 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(119) "Конспект урока  по теме: " Линейные уравнения с двумя переменными""
    ["seo_title"] => string(64) "konspiekturokapotiemielinieinyieuravnieniiasdvumiapieriemiennymi"
    ["file_id"] => string(6) "279565"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1453265707"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства