Конспект по математике на тему: "Предел числовой последовательности"

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Органи-зацион-ный момент

Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь пожалуйста! Сегодня мы с вами изучим еще одну очень интересную тему, она записана на доске: «Предел числовой последовательности». Сегодня научимся вычислять пределы последовательностей, разберем несколько способов. Узнаем свойства сходящихся последовательностей и геометрический смысл предела последовательности.

Стоя приветствуют учителя. После разрешения садятся, слушают внимательно замечания учителя.

1. Актуализация знаний

Теперь давайте с вами по традиции приступим к повторению.

Давайте с вами вспомним с вами, что называется числовой последовательностью?

Какие способы задания последовательностей вы знаете?

Что называют пределом числовой последовательности?

Молодцы, ребята, правильно

Слушают учителя.

Отвечают вслух по очереди.

Набор чисел, объединенных какой-либо закономерностью.

1. Словесный;

2. Аналитический;

3. Рекурентный.

Число b называют пределом последовательности , если в ∀ задания заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

или

1. Введение нового материала.

Теперь мы с вами переходим к изучению нового материала. Открываем тетради, записываем число, классная работа. Тема урока: «Предел числовой последовательности».

Начнем со свойств сходящихся последовательностей. Записываем их в тетрадях.

Свойства сходящихся последовательностей:

1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

2. Если последовательность сходится, то она ограничена (обратное утверждение не верно).

3. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится (Теорема Вейерштрасса). (В школьном курсе мы не рассматриваем доказательства свойств и теорем, только формулировки)

Теперь давайте с вами найдем предел последовательности:

Решение:

Следовательно, каждый член последовательности записывается в виде:

…

Следовательно,

А теперь давайте рассмотрим геометрический смысл предела последовательности.

Постройте в тетрадях графики последовательностей

то есть графики функций

гипербола

-показательная функция.

гипербола со сдвигом на 1 по оси Ох и на 2 вверх по оси Оу

Теперь мы имеем представление о этих трех графиках.

По мере их ухода вправо все ближе подходит к некоторой горизонтальной прямой:

1. y=0

2. y=0

3. y=2

Каждую из этих прямых называют асимптотами графика, то есть

1. ассимптота графика функции .

2. ассимптота графика функции .

3. ассимптота графика функции .

То есть

Следовательно, прямая y=b называется горизонтальной асимптотой графика последовательности , то есть графика функции .

Переходим с вами к вычислению пределов последовательностей.

Мы уже с вами знаем, что

(предел числовой последовательности равен значению любого ее члена).

Теорема…Если

1. Предел суммы равен суммы пределов:

1. Предел произведения равен произведению пределов:

1. Предел частного равен частному пределов:

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Для любого натурального показателя m и любоко коэффициента K справедливо соотношение:

(Открывают тетради и записывают тему.

Записывают в тетради все свойства.

Учитель объясняет у доски, а ученики записывают и разбирают.

… рисует все графики у доски.

Все записывают в тетрадях.

1. Закрепление изученного материала.

Решаем примеры у доски по очереди:

ПРИМЕР 2(из книги):

Дано:

Найти:

Решение:

Ответ: 2.

№38.14

А) Дано:

Найти:

Решение:

Ответ:0

Б) Дано:

Найти:

Решение:

Ответ:0

№38.15

А)Дано:

Найти:

Решение:

.

Ответ: 0

Б) Дано:

Найти:

Решение:

.

Ответ: 0

….. выходит к доске и объясняет.

…. у доски.

….. у доски.

…у доски весь номер.

1. Подведение итогов.

Вот, ребята, мы и изучили с вами еще одну тему. Давайте теперь вернемся в начало урока и вспомним, что мы сегодня узнали нового?

Учитель по очереди спрашивает учеников.

Молодец. А кто еще может что-нибудь добавить?

И какие?

Остальные правила нам расскажет …..

Правильно, ребята, молодцы. Вы сегодня хорошо поработали.

Учащиеся поднимают руки и отвечают.

Во-первых, мы сегодня

узнали свойства сходящихся последовательностей.

1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

2. Если последовать сходится, то она ограничена (обратное утверждение не верно).

3. Если последовательность ограничена и монотонна, то она сходится (Теорема Вейерштрасса).

Мы узнали геометрический смысл предела. То есть

Следовательно, прямая y=b называется горизонтальной асимптотой графика последовательности , то есть графика функции .

Да, мы узнали правила вычисления пределов последовательностей.

Теорема…Если

1. Предел суммы равен суммы пределов:

1. Предел произведения равен произведению пределов:

1. Предел частного равен частному пределов:

1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Для любого натурального показателя m и любоко коэффициента K справедливо соотношение:

1. Домаш-нее задание.

А теперь откройте свои дневники и запишите задание на дом. Выучить параграф 38, вы должны знать все определения наизусть, на следующем уроке все определения спрашу. И номера №38.15 (в, г),38.16(в,г), 38.17(в,г), 38.19(весь) – это аналогичные номера, какие мы с вами решали в классе, последний немного сложнее.

Спасибо за урок, ребята. Досвидания!

Записывают задание в дневник.