ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА по математике в 9 классе: "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия" 2 часа

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

"Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия" 2 часа

Урок математики в 9-м классе по теме "Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия"

2 часа

Ход урока

1.  Организационный момент.

Приветствие. Отсутствующие. Запись темы урока. Сообщение целей и задач урока: обобщение  изученного по теме «Прогрессии»; подготовка к контрольной работе; прослушаем   сообщение   об одном из учёных-математиков. Имя этого учёного узнаем, разгадав шифровку.

2.  Устная работа.

На доске алфавит и зашифрованное имя учёного.

Выполнив задания, узнаем имя учёного, о котором затем прослушаем сообщение   и решим задание, опираясь на доказанную им теорему.

l.a₃=8, a₅=26, а₄=?

2. а₁=5, d=5, S₅=?

 3.            b₆=144, b₅=24, q=?

4.            b₁=2, b₂=5, b₃ =?

5.            b₄=4,   b₉=21, b₈=?

6.            b₃= 16, b₄=96, q=?

7.            a₃=9, a₂=6, S₃=?

8.  a₁₀=21, a₁₁=35, d=?

9.  (b_n): 7; 7; 7;... q=?
Закодированное имя-Пьер Ферма.

2.  Сообщение об учёном.

3. Проверка домашнего задания.

1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.

2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант .

Математический диктант .( Задания взяты из ЦОР)

1.

2.

Задания:

№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).

№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).

№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).

По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям на экране.

Решения:

4. Изучение новой темы. (демонстрация презентации. Приложение 1)

1) 

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .

И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,

Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность. Например, последовательность площадей квадратов:

. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.

2) 

Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.

Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.

То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.

Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.

Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.

1. Фронтальная работа.

Записать определение: геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.

Задача №1.

Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:

а)

Решение:

а) (фронтальная работа, запись на доске)

 данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.

б) (самостоятельно)

данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

6. Продолжить работу с презентацией.

3) 

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.

Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим сумму n первых слагаемых.

По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .

Если n неограниченно возрастает, то 

4) Слайд №5.

Записать определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма её первых n членов при n →. Теперь получим формулу, с помощью которой будем вычислять сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Рассмотрим формулу n первых членов геометрической прогрессии.

1. Закрепление. Подготовка к ГИА. ( Задания взяты из ЦОР)

Тренировочные упражнения с использованием ЦОР.

КАТАЛОГ 8 КЛАСС, 9 КЛАСС АЛГЕБРА «АЛГЕБРА», 9 КЛАСС, МАКАРЫЧЕВ Ю.Н., МИНДЮК Н.Г. И ДР. ГЛАВА III. АРИММЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ

Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.

Решение:

Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 

Решение:

Задача №4. учебник [1], стр. 160, №434(1)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если 

Решение:

Пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно записывать бесконечную периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной дроби.

Задача №5. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.

1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10         2-й способ. 0,(5)=0,555…=

Задача №6. учебник [1], стр. 162, №445(3) (самостоятельное решение)

Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 0,(12)= 4/33.

5) Слайд №6.

8. Подведение итогов.

1. С какой последовательностью сегодня познакомились?

2. Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

3. Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?

4. Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1. Самостоятельная работа. ( Задания взяты из ЦОР)

(выполняется в рабочих тетрадях ,по окончании работы записи решений сдаются на проверку)

Задания (слайд №6):

1. Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей, если: b₇= -30; b₆= 15?

2. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: -25; -5; -1;…

3. Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде обыкновенной дроби.

Самопроверка (слайд №7).

1. Домашнее задание.

№435(1;3), 445(4), 436. [1]

Используемые ресурсы

1. Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров и др.- 8-е изд.-М.: Просвещение, 2009.

2. Усвоение знаний по теме "Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии" (N 191944) http://school-collection.edu.ru/catalog/res/9069dac0-11e9-4a5d-9f08-3f9cf546d98d/?from=73bc8240-49f3-44c6-8991-a547d457a20f&interface=catalog&class=51&subject=17

3. Усвоение знаний по теме "Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии" (N 191923)

http://school-collection.edu.ru/catalog/res/7b7d263b-577a-4cc0-a89c-8c52c7a4782f/?from=73bc8240-49f3-44c6-8991-a547d457a20f&interface=catalog&class=51&subject=17

1. Закрепление знаний по теме "Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|