Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников

Урок для 9 класса по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников" Презентация содержит разделы: Повторение теоретического материала Проверка домашнего задания Вывод основных формул, т.е. новый материал Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно Домашнее задание Дан краткий конспект урока

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«МКОУ»

МКОУ «Волчихинская СШ №2»

Учитель Бакута Е.П.

9 класс

Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников"

Цели урока:

Образовательные: изучение формул радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников;

Развивающие: активизация познавательной деятельности учащихся через решение практических задач, умение выбирать правильное решение, лаконично излагать свои мысли, анализировать и делать выводы.

Воспитательные: организация совместной деятельности, воспитание у учащихся интереса к предмету, доброжелательности, умения выслушивать ответы товарищей.

Оборудование: Мультимедийный компьютер, мультимедиапроектор, экспозиционный экран

Ход урок:

1. Организационный момент

Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

В математики мир отправимся смело,

В мир примеров и разных задач.

А девизом нашего урока буду такие слова:

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

2. Мотивация урока.

Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много нового и интересного: вспомним понятие правильного многоугольника, выведем формулы, связывающие площадь и сторону правильного многоугольника с радиуса вписанной окружности. Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…”.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос:

Какая фигура называется многоугольником?
Какой многоугольник называется правильным?
Какое другое название правильного треугольника?
Какое другое название правильного четырехугольника?
Формула суммы углов выпуклого многоугольника.
Формула угла правильного многоугольника.

4. Изучение нового материала. (слайды)

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности.

Окружность можно вписать или описать около любого треугольника, причём центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров.

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.

Радиус вписанной окружности в правильный многоугольник (r):

a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника

Радиус описанной окружности правильного многоугольника(R):

a - сторона многоугольника, N - количество сторон многоугольника.

Заполним таблицу для правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 1088, 1090, 1092, 1099.

6. Физминутка. Раз – потянуться Два – нагнуться

Три – оглянуться Четыре – присест

Пять – руки вверх Шесть – вперед

Семь – опустили Восемь – сели

Девять – встали Десять – снова сели

7. Самостоятельная работа учащихся (работа в группах)

Решить № 1093.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

- Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось – не понравилось)

– Какое настроение после урока? (Радостное – грустное)

– Какое самочувствие? (Устал – не устал)

– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял – не понял)

– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен – не доволен)

– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не старался).

Д/з:

п.105-108 повторить;
выучить формулы;
№ 1090, 1091, 1087(3)

Есть у математики молва,

Что она в порядок ум приводит,

Потому хорошие слова

Часто говорят о ней в народе.

Ты нам, геометрия, даёшь

Для победы важную закалку.

Учится с тобою молодёжь

Развивать и волю, и смекалку.

Примечание Презентация содержит разделы:

Повторение теоретического материала

Проверка домашнего задания

Вывод основных формул, т.е. новый материал

Закрепление: решение задач в группах и самостоятельно

Домашнее задание

Просмотр содержимого презентации
«9_klass_pravilnye_mnogougolniki_urok_2»

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиусов описанной и вписанной окружности.

Чтобы спорилось нужное дело, Чтобы в жизни не знать неудач, В математики мир отправимся смело, В мир примеров и разных задач.

Чтобы спорилось нужное дело,
Чтобы в жизни не знать неудач,
В математики мир отправимся смело,
В мир примеров и разных задач.

ДЕВИЗ УРОКА

Думать - коллективно!

Решать - оперативно!

Отвечать - доказательно!

Бороться - старательно!

И открытия нас ждут обязательно!

Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много нового и интересного: вспомним понятие правильного многоугольника, выведем формулы, связывающие площадь и сторону правильного многоугольника с радиуса вписанной окружности. Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: “Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…”.

Повторение.

Какая геометрическая фигура

изображена на рисунке?

2.Какой многоугольник называется

правильным?

3.Какая окружность называется

вписанной в многоугольник?

4.Какая окружность называется

описанной около многоугольника?

5.Назовите радиус вписанной окружности.

6.Назовите радиус описанной окружности.

7.Как найти центр вписанной в правильный

многоугольник окружности?

8.Как найти центр окружности описанной около

правильного многоугольника?

Проверка выполнения

домашнего задания ..

№ 1084.

β – угол, соответствующий

дуге, которую стягивает

сторона многоугольника .

А п

А 2

Ответы:

а) 6;

б) 12;

А 1

в) 4;

г) 8;

г) 10

д) 20;

е) 7.

е) 5.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Сумма углов правильного n -угольника

Угол правильного n - угольника

Вписанная и описанная окружность

Окружность называется вписанной в многоугольник,

если все стороны многоугольника касаются этой окружности.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой

окружности.

Вписанная и описанная окружность

Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

Выведем формулу радиуса вписанной и радиуса описанной окружности правильного многоугольника.

Пусть r – радиус вписанной окружности,

R – радиус описанной окружности,

п – количество сторон и углов многоугольника.

Рассмотрим правильный п-угольник.

а / 2

Пусть а – сторона п-угольника,

α – угол.

α /2

Построим точку О – центр вписанной и описанной окружности.

ОС – высота ∆АОВ.

∟ С = 90 º - (по построению),

Рассмотрим ∆АОС:

∟ ОАС = α /2 - (ОА – биссектриса угла п- угольника),

АС = а/2 – (ОС – медиана к основанию равнобедренного треугольника),

∟ АОВ = 360 º : п,

пусть ∟АОС = β .

тогда β = 0,5 ∙ ∟АОВ

= 0,5 ∙ ( 360 º : п)

= 180 º : п .

АС

R = ОА

2 sin (180 º : п)

sin β

r = ОС

2 tg (180 º : п)

tg β

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

Площадь правильного многоугольника

Сторона правильного многоугольника

Радиус вписанной окружности

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

Группа 1 Дано: R , n =3 Найти: а

Группа 2 Дано: R , n =4 Найти: а

Группа 3 Дано: R , n =6 Найти: а

Группа 4 Дано: r , n =3 Найти: а

Группа 5 Дано: r , n = 4 Найти: а

Группа 6 Дано: r , n = 6 Найти: а

п = 3

п = 4

п = 6

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ

а а R = r = 2 tg (180 º : п) 2 sin (180 º : п) = 60 º , = 180 º : 3 тогда 180 º : п У правильного треугольника п = 3, а √ 3 2 ∙ = √ 3, R 3 = откуда 2 sin 60 º = значит 2 √ 3 а значит 2 ∙ √3 2 tg 60 º = r 3 = 2 √3 тогда 180 º : п = 180 º : 4 = 45 º , У правильного четырехугольника п = 4, а √ 2 = R 4 = значит √ 2, откуда 2 sin 45 º = 2 ∙ 2 √ 2 а 2 ∙ 1 = 2, значит 2 tg 45 º = r 4 = 2 У правильного шестиугольника п = 6, тогда 180 º : п = 180 º : 6 = 30 º , 1 откуда 2 sin 30 º = 1, 2 ∙ = значит R 6 = а 2 1 2 tg 30 º = 2 ∙ 2 а√3 значит r 4 = а : = √ 3 2 √ 3 21

R =

r =

2 tg (180 º : п)

2 sin (180 º : п)

= 60 º ,

= 180 º : 3

тогда 180 º : п

У правильного треугольника п = 3,

√ 3

2 ∙

√ 3,

R 3 =

откуда 2 sin 60 º =

значит

√ 3

значит

2 ∙ √3

2 tg 60 º =

r 3 =

2 √3

тогда 180 º : п

= 180 º : 4

= 45 º ,

У правильного четырехугольника п = 4,

√ 2

R 4

значит

√ 2,

откуда 2 sin 45 º =

2 ∙

√ 2

2 ∙ 1 = 2,

значит

2 tg 45 º =

r 4 =

У правильного шестиугольника п = 6,

тогда 180 º : п

= 180 º : 6

= 30 º ,

откуда 2 sin 30 º =

2 ∙

значит

R 6 = а

2 tg 30 º =

2 ∙

а√3

значит

r 4 =

а :

√ 3

Используя формулы радиусов вписанных и описанных окружностей некоторых правильных многоугольников, вывести формулы для нахождения зависимости сторон правильных многоугольников от радиусов вписанных и описанных окружностей и заполнить таблицу:

а 6

а 4

а 3

ап

2 R ∙ sin (180 º : п)

R √3

R √ 2

Через R

Через r

2 r ∙ tg (180 º : п)

2 r √3

√ 3