Элективный курс "Модули" в 10 классе

Геометрически означает расстояние на координатной прямой точки а от точки 0

II.Свойства абсолютной величины.(3 часа)

1 =

Это равенство непосредственно вытекает из определения абсолютной величины.

2

Если то

Пример.

Еслито = т.к.

Пример.

3. ∙

Пример.

Пример.

Эти равенства вытекают из правила знаков.

4.

Есть две возможности:

1) , тогда

но (смотри свойство 2) и поэтому

2)Если но

( смотри свойство2) и поэтому

Из неравенств (*) и (**) следует, что

5.

Так как то по свойству 4:

откуда = или

6.

7.

8.

9.

Учащиеся должны понять определение модуля, понимать его геометрический смысл.

III.Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.(11 часов).

Учащиеся должны освоить методы решения уравнений, содержащих абсолютные величины. Наиболее распространённым методом решения уравнений, содержащих абсолютные величины, является метод, при котором знак абсолютной величины раскрывается на основании её определения.

Пример 1.

если

если 2х-3 - 1,5 +

Тренировочные упражнения.

1) Ответ.-2.1; 2,1

2) Ответ.-5; 11

3) Ответ.0; 1,5

4) Ответ.-0,25

5) Ответ.1/3; 1.

Пример2.

Найдём нули подмодульных выражений:

Область определения данного уравнения разбивается точками на три промежутка, в которых меняют знаки выражения стоящие под знаком модуля. Расставим знаки выражений на полученных промежутках.

Решим данное уравнение на каждом из полученных промежутков. Получим три уравнения, в каждом из которых на неизвестное наложено ограничение. Граничные точки будем включать и в левые, и в правые интервалы, поскольку решения в дальнейшем объединяются

2х+1 - + +

5-3х + + -

.

–посторонний корень, так как не удовлетворяет условию

.

Это значение попадает в рассматриваемую область и, значит, является решением исходного уравнения.

.

Является корнем уравнения

Выясним, являются ли корнями уравнения нули подмодульных выражений.

Если то

неверно.

Число не является корнем уравнения.

Если то

неверно, число не является корнем данного уравнения.

Ответ.1,4;3

Решение уравнений.

1. Ответ.4;5

2. Ответ. х≤2,6

3. Ответ.

4 Ответ.-3;-4.

5. Ответ.

6. Ответ.2;5

7. Ответ.3;6

8. Ответ.0;1

9. Ответ. (-∞;-1] [ ;+∞)

10. Ответ. (;1,5]

11. Ответ.[2; ]

12. Ответ. ;

13. Ответ. ;

14. =0 Ответ: ≤

Литература:

• И.Ф.Шарыгин .Факультативный курс по математике. Решение задач.

• М.К.Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математике.

IV. Неравенства. (11ч)

Сформировать у учащихся умение решать неравенства, содержащие абсолютную величину, дать представление о геометрической иллюстрации неравенств ││а, ││

Выработать умения решать неравенства, содержащие абсолютную величину. Для решения неравенств, содержащих абсолютную величину, обычно избавляются от знаков абсолютных величин.

Для освобождения от знаков абсолютной величины надо отметить на координатной оси все точки, в каждой из которых меняет знак хотя бы одна из функций, находящихся в неравенстве под знаком модуля. Таким образом, координатная ось разбивается на некоторое число промежутков. На каждом таком промежутке неравенство заменяется на другое неравенство, не содержащее знаков абсолютной величины и равносильное исходному неравенству на этом промежутке. Каждое из полученных неравенств решается, и из полученного множества решений отбираются числа, лежащие на рассматриваемом промежутке. Они и будут решениями исходного неравенства на этом промежутке.

Для того, чтобы выписать все решения исходного неравенства, объединяют все его решения, найденные на этих промежутках.

Рассмотрим неравенство где 0. Этому неравенству удовлетворяют все точки, находящиеся на расстоянии, не большем , от точки О, т.е. точки отрезка

-а //////0//////////а

Отрезок - это множество чисел х, удовлетворяющих неравенству

Следовательно, неравенство где 0 , означает то же самое, что и двойное неравенство

Например, неравенство означает, что

Пример1.

или

Рассмотрим неравенство , где 0

Этому неравенству удовлетворяют все точки , находящиеся от точки 0 на расстоянии, не меньшем , т.е. точки двух лучей ≥ и ≤

Пример2.

1.

2. =

Общее решение: (-∞;1] [3;+∞]

Упражнения.

1. Ответ:(-3;0)

2. Ответ: (-∞;0] [1,6;+∞]

Пример3.

Найдём нули подмодульного выражения: .

Эта точка разбивает область определения на два промежутка:(-∞; ) , (;+∞)

Решим неравенство отдельно на каждом промежутке.

1.,

^{-5 1}

ххх

2.,

-

=

==

;

Общее решение: ^-5

(-; )

Пример 4.

Нули подмодульных выражений: =1, =-1

х-1 - - +

-1 1

х+1 - + +

1)≤-1

1-+(--1)

1---1

-2

-2 _-2 -2;1

2) -1≤≤1

1-++1

0 -1;1

3) ≥1

-1++1

2

1;2

Общее решение:

_{-2////-1////1///////2} х(-2;2)

Пример 5.²-3 +2+2+15

I способ. Нули подмодульных выражений:

а) ²-3 +2=0

₁=2, ₂=1

б) 2+1=0, = - ²-3 +2 + -1/2 + 1 - 2 +

2+1 - + + +

1) х-

х²-3х+25-(-2х-1)

х²-3х+2-5-2х-10

х²-5х-40

х²-5х-4=0

D=25+16=41

х₁=х₂= ^{///////////////////-}-^/////

2) -х1

х²-3х+25-(2х+1)

х²-3х+25-2х-1

х²-3х+2-5+2х+10х²-х-20

₁=2, ₂=-1 -1 -1/2 1 2

3)1х2

-х²+3х-25-2х-1

-х²+3х-2-5+2х+10

-х²+5х-60

х²-5х+6

х₁=2, х₂=3 _{1 2 3}

4) х2,

²-3 +2+2+15

²-3 +2+2+1-50

²- -20

х=2, х=-1 -_{1 2}

х=2

Общее решение: _{1 2}

ІІ способ.

Другой подход к неравенствам, содержащим абсолютную величину, состоит в следующем: Неравенство эквивалентно системе:

Неравенство эквивалентно объединению: ( В системе должны выполняться оба неравенства. Соответствует союзу «и». Объединение неравенств означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Соответствует союзу «или»)

Решим неравенство данным способом.

Ответ;2

Упражнения:

1. Ответ:

2. Ответ:

3. 27 Ответ:

4. Ответ:

5. Ответ:

6.+Ответ: ;

Литература.

• А.Я. Колодко, Л.С. Колодко

Сборник задач по математике для абитуриентов, поступающих в НИНХ.

Новосибирск, 1993.

• А.Г.Калашникова.

Математика. Учебное пособие для учащихся подготовительных курсов НГТУ.

Новосибирск,2000.

• И.Ф. Шарыгин.

Факультативный курс по математике.

М.: «Просвещение», 1989.

• М.К. Потапов, С.Н. Олехник

Конкурсные задачи по математике.

М. «Столетие», 1995.

• Э.З. Шувалова и др.

Повторим математику.

«Высшая школа», 1984.

Графики функций. (11ч)

Приёмы построения графиков.

1) у=х х у у

1 1

2 2 ²

-2 2 ^{-2 1 2}

Схематичное построение.

у=-х у=х+2 у=-х-1

у у у

⁰ х ^{-2 -1 0} х ^{0 1} х

у=х-2 у= -х+1-2

у у

х х

2)у=х-1-х-2-х-3

Находим интервалы знакопостоянства выражений: х-1, х-2, х-3, для чего находим нули подмодульных выражений.

х-1=0 х-2=0 х-3=0

х=1 х=2 х=3

х-1 - + + +

х-2 - - + +

1 2 3

х-3 - - - +

1) Если х1, то у=1-х-(2-х)-(3-х)

у=1-х-2+х-3+х

у=х-4 (0;-4), (-1;-5)

2)Если 1х2, то у=х-1-(2-х)-(3-х)

у=х-1-2+х-3+х

у=3х-6 (2;0), (1;-3)

3) Если 2х3, то у=х-1-(х-2)-(3-х)

у=х-1-х+2-3+х

у=х-2 (2;0), (3;1)

4) Если х3, то у=х-1-(х-2)-(х-3)

у=х-1-х+2-х+3

у=-х+4 (3;1), (4;0).

На каждом из интервалов функция является линейной. Строим график функции.

у

^{-1 2 4 6} х

2 способ. 3, то у=х-1-(х-2)-(х-3)

Определи вершины ломаной. Абсциссы: х=1, х=2, х=3.

Найдём ординаты ломаной.

у(1)=1-1-1-2-1-3=0-1-2=-3

у(2)=2-1-2-2-2-3=1-0-1=0

у(3)=3-1-3-2-3-3=2-1-0=1

Вершины ломаной(1;-3), (2;0), (3;1).

Найдём дополнительные точки:

у(0)=0-1-0-2-0-3=1-2-3=-4 (0;-4)

у(4)= 4-1-4-2-4-3=3-2-1=0 (4;0)

у(1,5) =0,5--0,5--1,5=-1,5. (1,5;-1,5)

Строим график функции.

у

х

Упражнения для самостоятельной работы.

1) у=х+х+х-1

2) у=х-2+х-3-х-х+1

Пример 2. у=х ²-4х+3

х ²-4х+3=

1)у= х ²-4х+3

2) у= х ²+4х+3

Строим график функции.

у

у=х²+4х+3

х

Пример 3.

у=  х ²-4х+3

х ²-4х+3 =

а) х ²-4х+30 б) х ²-4х+3

х ²-4х+3

х₁=3, х₂=1

+ + х1, х3

_---

Составим таблицы значений функции для построения графика.

1)у= х ²-4х+3, х1, х3

у= -х ²+4х-3,

Строим график функции.

у=х²-4х+3

х

Пример 4. у=

1)у=

2) у=-

у

у=

х

Схематичное построение графиков.

Упражнения для самостоятельной работы.

Литература.

• А.Я. Колодко, Л.С. Колодко

Сборник задач по математике для абитуриентов, поступающих в НИНХ.

Новосибирск, 1993.

• А.Г.Калашникова.

Математика. Учебное пособие для учащихся подготовительных курсов НГТУ.

Новосибирск,2000.

• 3.И.Ф. Шарыгин.

Факультативный курс по математике.