Численные методы интегрирования

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Пермский политехнический колледж имени Н.Г. Славянова

Учебное занятие

Численные методы интегрирования

Пермь 2015

Цели занятия:

образовательные:

• способствовать развитию мыслительных операций: аналогия, систематизация, обобщение, наблюдение;

• формировать умения применять математические знания в практических задачах;

• способствовать поддержанию интереса к предметам математики;

• формировать умения трудиться;

• помочь осознать роль знаний в жизни и обучении;

• стимулировать самостоятельность;

• работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

воспитательные:

• научиться работать в микрогруппе;

• научиться принимать чужую точку зрения и отстаивать свою;

• научиться слушать своих товарищей;

• научиться защищать решение задачи.

Задачи занятия:

• познакомить с различными способами расчёта

• выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество

• осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач

Ход учебного занятия

1. Организационный момент

Основная задача дифференциального исчисления заключается в следующем: дана функция , требуется найти ее производную. При этом если производная существует в каждой точке некоторого промежутка , то это также некоторая функция на такая, что . Однако часто приходится решать и обратную задачу. Для решения обратной задачи служит операция интегрирования.

Проект носит прикладной характер (практико-ориентированный).

1. Объяснение нового материала

1. Постановка целей и задач занятия

2. Постановка проблемы

Как вычислить определенный интеграл от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что требует большой вычислительной работы и с практической точки зрения не рационально? Как решать прикладные задачи, используя правила приближенного численного интегрирования, в которых необходимо находить интегралы не только от функций, заданных формулами, но и от функций, заданных табличным способом?

Итогом работы будет сравнение результатов вычисления определенных интегралов различными способами и оценка погрешности этих вычислений.

Гипотеза: предположим, что различными методами численного интегрирования можно вычислять определенные интегралы сравнительно легко и решать прикладные задачи с небольшой погрешностью .

1. Организация деятельности

Предполагается, проводить работу 3-мя группами.

1-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования - формулой прямоугольников

виды работ

• Подобрать и изучить литературу по данной теме

• Проконсультироваться с преподавателями по данным вопросам

• Составить математическую модель прикладной задачи

2-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой трапеций

виды работ

• Подобрать и изучить литературу по данной теме

• Проконсультироваться с преподавателями по данным вопросам

• Составить математическую модель прикладной задачи

3-я группа – работает над формулой приближенного интегрирования – формулой параболических трапеций ( формула Симпсона)

виды работ

• Подобрать и изучить литературу по данной теме

• Проконсультироваться с преподавателями по данным вопросам

• Составить математическую модель прикладной задачи

1. Описание

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам. Но вычислить интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона – Лейбница либо невозможно, либо затруднительно, поэтому прибегают к различным методам приближенного интегрирования.

Вычислить интеграл точно по формуле Ньютона – Лейбница с целью оценки погрешности при приближенном вычислении этого же интеграла.

Все три группы одновременно вычисляют интеграл :

Пример 1

= .

Блок 1

Разделим интервал интегрирования на равных частей (частичных интервалов) и заменим данную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из прямоугольников, опирающихся на частичные интервалы, причем высоты этих прямоугольников равны значениям функции в начальных или конечных точках частичных интервалов. Значение площади этой фигуры и будет давать приближенное значение искомого интеграла .

Если обозначить значения функции в точках деления через , то будем иметь следующую формулу - формулу прямоугольников :

или

Блок 2

Оставим разбиение интервала прежним, но заменим теперь каждую дугу линии , соответствующую частичному интервалу . хордой, соединяющей конечные точки этой дуги. Таким образом, заменяем данную криволинейную трапецию прямолинейными. Площадь каждой трапеции, построенной на частичном интервале, равна полусумме площадей , соответствующих этому интервалу прямоугольников. Суммируя все эти площади, получим формулу трапеций :

Блок 3

Разобьем интервал на равных частей , но предположим, что – четное число: . Заменим дугу линии , соответствующую интервалу , дугой параболы, ось которой параллельна оси ординат и которая проходит через следующие три точки дуги: начальную точку дуги , среднюю точку , конечную точку . Площадь данной трапеции приближенно равна сумме площадей получающихся параболических трапеций и выражается формулой :

1 группа

Решает пример 1 по формуле прямоугольников : при

Таблица расчетов :

	0	1	2	3	4	5
	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
	1	0,9615	0,8621	0,7353	0,6098	0,5

2 группа

Решает пример 1 по формуле трапеций : при

Таблица расчетов :

	0	1	2	3	4	5
	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
	1	0,9615	0,8621	0,7353	0,6098	0,5

3 группа

Решает пример 1 по формуле параболических трапеций : при

Таблица расчетов :

	0	1	2	3	4
	0
	1

Занесем итоги расчета в таблицу и сравним:

	значение интеграла	абсолютная погрешность	относительная погрешность
формула Н-Л	0,7854
фор-ла прям-ков	0,8337		6,1 %
фор-ла трапеций	0,7837
фор-ла Симпсона	0,7854	0	0

= 6,1 %

Вывод : гипотеза о том, что с помощью формул численного интегрирования можно вычислять определенные интегралы подтвердилась. Однако, при одном и том же значении формула Симпсона дает лучшее приближение.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона с точностью до 0,0001

1 группа вычисляет интеграл при

Вычислить шаг :

Расчетная таблица :

	0	1	2
	-0,8	-0,4	0
	0,61172	0,57833	0,57735

2 группа вычисляет интеграл при

Вычислить шаг :

Расчетная таблица :

	0	1	2	3	4
	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0
	0,611724	0,584981	0,578338	0,577381	0,57735

Оценим погрешность :

=

3 группа

Вычислить шаг :

Расчетная таблица :

0	-0,8	0,611724	5	-0,3	0,577584
1	-0,7	0,594236	6	-0,2	0,577381
2	-0,6	0.584981	7	-0,1	0,577351
3	-0,5	0,589381	8	0	0,577350
4	-0,4	0,578338

Оценим погрешность :

=

Полученная оценка погрешности меньше, чем требуемая точность.

Формула Симпсона дает практически точное вычисление определенного интеграла.

Приведенные правила численного интегрирования помогают решать прикладные задачи.

Прикладная задача

Ширина реки равна 20м; промеры глубины в некотором поперечном ее сечении через каждые 2м дали следующую таблицу :

	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
	0.2	0,5	0,9	1,1	1,3	1,7	2,1	1,5	1,1	0,6	0,2

Расстояние (в метрах) от одного из берегов обозначено через , соответствующая глубина реки ( также в метрах) – через Требуется найти площадь поперечного сечения реки.

По формуле Симпсона находим :

1. Представление результатов и их оценка

Самостоятельная работа студентов:

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Литература

1. Пахомова Н.Ю. Метод учебного проекта в образовательном учреждении : Пособие для учителей и студентов пед.вузов, - М:АРКТИ, 2005г.

2. Чечель И.Д Исследовательский проекты в практике обучения. «Практика административной работы в школе» , 6/2003 г.

3. Богомолов Н.В. практические задания по математике. М.:Высшая школа 1990.

4. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов. - М.: Наука, 1967.