РАБОЧИЙ УЧЕБНИК ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Методические рекомендации

по изучению дисциплины;

Для наиболее оптимального условия дисциплин «Численные методы» необходим базовый курс математики средней школы, а также такие разделы высшей математики как «Линейная алгебра», «Векторный анализ», «Аналитическая геометрия».

Знание «Численные методы» необходимо для решения специальных задач с помощью операций дифференцирования и интегрирования: вычисление площадей фигур, объемом тел, скоростей и т.п.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«РАБОЧИЙ УЧЕБНИК ПО ДИСЦИПЛИНЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»

Қазақстан Республикасының білім және ғылыми министрлігі

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Қостанай Қазіргі Заманғы Көпсалалы колледжі

Костанайский Современный Многопрофильный колледж

рабочий учебник по дисциплине

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

(наименование дисциплины)

Костанай

2016

Рабочий учебник дисциплины “ Рабочий учебник дисциплины ”

(наименование дисциплины)

составлен на основании типовой программы, с учетом содержания программы обучения дисциплины для учащийся _________________________________________________________________

(Ф.И.О., должность, ученая степень и звание составителя)

Рабочий учебник дисциплины _“ Численные методы ” (Численные методы)

Рассмотрен и обсужден на заседании ЦМК __________________________________________________________

(название ЦМК )

протокол № __ от "_____"__________201__г.

Ф.И.О. _____________________

(подпись)

Рабочий учебник дисциплины“ Численные методы” одобрен и утвержден на заседании методического совета КСМК

протокол № ___ от «___» ________________201___г.

Ф.И.О. председателя ______________________

Рабочий учебник дисциплины____________________

(Численные методы)

предназначен для учащихся 2 курса

________________________________________________________________

(шифр, название специальности)

Методические рекомендации

по изучению дисциплины;

В процессе изучения дисциплины учащийся овладевают математическими формулами, приёмами, алгоритмами для решения прикладных задач.

Целью изучения дисциплины является обеспечить учащийся знаниями, навыками и умениями для решения специальных задач.

Лабораторный практикум по предмету «Численные методы»

Лабораторная работа №1

ТЕМА: Элементарная теория погрешностей

Цель: Научится находить предельные абсолютные и предельные относительные погрешности.

Задание1.

Определить какое равенство точнее 9/11=0,818 или √18=4,24.

Решение:

Находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков: a₁=9/11=0,81818…, a₂=√18=4,2426… .
Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:

Δa₁= 0,81818-0,818 ≤ 0,00019

Δa₂= 4,2426-4,24 ≤ 0,0027

Предельные относительные погрешности составляют

δa₁ = Δa₁/a₁=0,00019/0,818=0,00024=0,024%

δa₂ = Δa₂/a₂=0,0027/4,24=0,00064=0,064%

Так как δa₁a₂, то равенство 9/11=0,818 является более точным

Это был ручной способ поиска равенства, которое является более точным. Для автоматического поиска более точного равенства можно использовать среду программирования MS Excel. Для этого необходимо подготовить рабочий лист так как показано на рисунке1.

Рисунок1.

Здесь в ячейки A4 и B4 заносятся условия задачи: в A4-0,818; в B4-4,24.

В ячейки B6 и B7 записывают значения данных выражений с большим числом десятичных знаков (число знаков должно быть на два знака больше): в B6-0,81818; в B7-4,2426.

В ячейки D6 и D7 записывают формулы для вычисления предельных абсолютных погрешностей для первого и второго равенств соответственно: D6= B6-A4+0,00001 (0,81818-0,818)(прибавляем 0,00001 т. к. мы брали 5 знаков после запятой ,а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

D7= B7-B4+0,0001 (4,2426-4,24)(прибавляем 0,0001 т. к. мы брали 4 знаков после запятой ,а по условию необходимо абсолютные погрешности округлять с избытком)

В ячейки D9 и D10 записывают формулы для вычисления предельных относительных погрешностей для первого и второго равенств соответственно: D9= D6/A4 (0,00019/0,818)

D10= D7/B4 (0,0027/4,24)

В ячейке D12 отображается результат выполнения задачи. Для вывода результата используется функция ЕСЛИ (рисунок2). В строке Логическое выражение записываем условие для выполнения. В оставшихся двух строках записываем результат вывода, который будет выведен, если Логическое выражение примет истину (первое равенство является более точным) или ложь(второе равенство является более точным). В строке формул для этой ячейки будет записана следующая формула:

D12= ЕСЛИ(D9D10;"первое равенство является более точным";"второе равенство является более точным")

Рисунок2.

Задачи для самоконтроля:

19/41=0,463 и √44=6,63;
4/17=0,235 и √10,5=3,24;
6/7=0,857 и √4,8=2,19.

Задание2.

Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки:

в узком смысле 72,353(±0,026);
в широком смысле 2,3544,если δ=0,2%.

Решение:

a) Пусть 72,353(±0,026)=a. Согласно условию, предельная абсолютная погрешность ∆_a=0,026. В узком смысле это число необходимо сравнить с 0,05 (т. к. после запятой только один нуль). Сравнивая, получаем: 0,026a₁=72,4

Далее находим ∆_окр(округленное): ∆_окр=| a₁- a | = | 72,4-72,353| = 0,047.

Затем определяем предельную абсолютную погрешность числа a₁

∆_a₁= ∆_a + ∆_окр = 0,026 + 0,047 = 0,073

Полученная погрешность больше 0,05; значит, нужно уменьшить число цифр в приближённом числе до двух:

a₂=72; ∆_окр=| a₂- a | =| 72-72,353| = 0,353; ∆_a2= ∆_a + ∆_окр = 0,026+0,353=0,379.

Полученное число (0,379) сравниваем с 0,5 (т. к. после запятой нет нулей). Получаем, что ∆_a₂

б) Пусть a=2,3544; δ=0,2%.

Находим предельную абсолютную погрешность числа a: ∆_a = a* δ_a = 2,3544*0,002=0,00471. В широком смысле это число также необходимо сравнить с 0,005 (т. к. после запятой два нуля). Сравнивая, получаем: 0,00471a₁=2,35.

Находим ∆_окр: ∆_окр=| a₁- a | = | 2,35-2,3544 | = 0,0044.

Теперь определяем предельную абсолютную погрешность числа a₁

∆_a₁= ∆_a + ∆_окр = 0,00471 + 0,0044 = 0,00911

Полученное число (0,00911) сравниваем с числом 0,005 (т. к. после запятой два нуля). Получаем, что ∆_a₁ 0,005. Значит, и в округлённом числе 2,35 все три цифры верны в широком смысле.

Задачи для самоконтроля:

а) 23,543 (±0,016)

б) 2,8546; δ=0,3%.

а) 5,436 (±0,0028)

б) 10,8441; δ=0,04%.

а) 2,45431 (±0,0003)

б) 24,5643; δ=0,1%.

Лабораторная работа №2.

Погрешности результата.

Задание1. Вычислить и определить погрешности результата

X = , где m = 28,3(±0,02), n = 7,45(±0,01), k = 0,678(±0,003).

Решение: Для начала необходимо определить m², n³ и. Получаем:

m² = (28,3)² = 800,9;

n³ = (7,45)³ = 413,5;

= 0,8234.

Далее определяем X без учёта абсолютных погрешностей:

X = = 402,200.

Теперь определим предельные относительные погрешности для m, n и k:

δ_m = 0,02/28,3 = 0,00071; δ_n = 0,01/7,45 = 0,00134; δ_k = 0,003/0,678 = 0,00442, откуда определим погрешность результата:

δ_x = 2δ_m + 3δ_n + 0,5δ_k, здесь 2δ_m т.к. по условию дано m²

3δ_nт.к. по условию дано n³

0,5δ_kт.к. по условию дано k^1/2.

δ_x = 2δ_m + 3δ_n + 0,5δ_k = 2*0,00071 + 3*0,00135 + 0,5*0,00443 = 0,00142 + 0,00405 + 0,00222 = 0,00769 = 0,77%;

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆_x = X* δ_x = 402.200*0.0077 = 3,09694.

Ответ: X = 402.200(±3,097); δ_x = 0,77%.

Задание2. Вычислить и определить погрешности результата

N = , где n=3,0567(±0,0001), m=5,72(±0,02).

Для начала находим

n-1 = 2,0567(±0,0001) (2,0567 получается из 3,0567-1),

m+n = 5,72(±0,02) + 3,0567(±0,0001) = 8,7767(0,0201),

m-n = 5,72(±0,02) - 3,0567(±0,0001) = 2,6633(±0,0201) (погрешности слагаются).

Далее определяем N без учёта абсолютных погрешностей:

N == = 2,545 ≈ 2,55;

Теперь определим предельные относительные погрешности для (n-1), (m+n) и (m-n)²:

δ₍_n_-1)= 0,0001/2,0567 = 0,000049; δ₍_m₊_n₎= 0,0201/8,7767 = 0,0023; δ₍_m_-_n₎² = 0,0201/2,6633=0,0075, откуда определим погрешность результата:

δ_N = δ₍_n_-1) + δ₍_m₊_n₎ + 2*δ₍_m_-_n₎² , здесь 2*δ₍_m_-_n₎² т.к. по условию дано (m-n)².

δ_N = δ₍_n_-1) + δ₍_m₊_n₎ + 2*δ₍_m_-_n₎² = 0,000049 + 0,0023 + 2*0,0075 = 0,0173 = 1,74%.

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата:

∆_N = N* δ_N = 2,55*0,0173 = 0,044.

Ответ: N ≈ 2,55(±0,044); δ_N = 1,74%.

Задания для самоконтроля:

X = , a=228,6(±0,06), b=86,4(±0,02), c=68,7(±0,5).
X = , m=4,22(±0,004), a=13,5(±0,02), b=3,7(±0,02), c=34,5(±0,02), d=23,725(±0,005)

X = , a=3,845(±0,04), b=16,2(±0,05), c=10,8(±0,1),
X = , a=2,754(±0,001), b=11,7(±0,04), m=0,56(±0,005), c=10,536(±0,002), d=6,32(±0,008).

X = , a=3,456(±0,002), b=0,642(±0,0005), c=7,12(±0,004),
X = , a=23,16(±0,02), b=8,23(±0,005), c=145,5(±0,08), d=28,6(±0,1), m=0,28(±0,006)

Автоматический поиск погрешностей результата.

Для автоматического поиска погрешностей результата начертите следующую таблицу в Excel так как показано на рисунке 1.

Определяем m²: Ячейка F5=B5^2,

n³: Ячейка F6=B6^3,

: Ячейка F7=КОРЕНЬ(B7).

Далее определяем X без учёта абсолютных погрешностей: Ячейка B10= (F5*F6)/F7.

Теперь определим предельные относительные погрешности для m: Ячейка C12=C5/B5,

n: Ячейка C13=C6/B6,

k: Ячейка C14=C7/B7.

откуда определим погрешность результата δ_x: Ячейка C15= 2*C12+3*C13+0,5*C14.

В заключении определим предельную абсолютную погрешность результата ∆_x: Ячейка C16=B10*C15.

Лабораторная работа №3.

Отделение корней. Метод проб.

Задание1. Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01.

x⁴ – x³ – 2x² + 3x – 3.

Решение: Полагаем, что f(x)= x⁴ – x³ – 2x² + 3x – 3. Определим f^’(x), а затем найдём корни уравнения.

f^’(x) = 4x³ – 3x² – 4x + 3 = 0

4x(x² - 1) – 3(x² - 1) = 0

(x² - 1)(4x - 3) = 0

(x² - 1) = 0 2) (4x - 3) = 0

x² = 0 x₃ = 3/4

x₁ = -1

x₂ = 1

Составим таблицу знаков функции f(x):

x	-∞	-1	3/4	1	+∞
sign f(x)	+	-	-	-	+

Из таблицы видно, что уравнение имеет два действительных корня: x₁ Є [-∞; -1]; x₂ Є [1; +∞].

Уменьшим промежутки в которых находятся корни:

x	-2	-1	1	2
sign f(x)	+	-	-	+

Следовательно, x₁ Є [-2; -1]; x₂ Є [1; 2].

Уточним один из корней, например [-2; -1], методом проб до сотых долей. Все вычисления удобно производить, используя следующую таблицу: (Если в столбце f(x_n) отрицательное число, то полученное число x_n= … заносится в столбец, где a_n или b_n отрицательны. Если в столбце f(x_n) положительное число, то полученное число x_n= … заносится в столбец, где a_n или b_n положительны. Знак a_n и b_n определяется из таблицы знаков функции. В нашем случае a_n имеет знак “+”, т. е. , а b_n имеет знак “-”, т. е. ).

n			x_n=	f(x_n)	‌\| a_n - b_n \|
0	-2	-1	-1,5	-3,5625	1
1	-2	-1,5	-1,750	0,3633	0,5
2	-1,750	-1,5	-1,625	-1,8923	0,25
3	-1,750	-1,625	-1,688	-0,8432	0,125
4	-1,750	-1,688	-1,719	-0,2555	0,062
5	-1,750	-1,719	-1,735	0,0488	0,031
6	-1,735	-1,719	-1,727	-0,0998	0,016
7	-1,735	-1,727	-1,731	-0,0208	0,008

Вычисляем до тех пор, пока | a_n - b_n | ≤ 0,01.

Ответ: x ≈ -1,73 (взяли меньшее).

Реализация этого метода в MS Excel осуществляется следующим образом (Рисунок 1).

Здесь вычисляемыми являются столбцы H(т.е. x_n=), I(т.е. f(x_n)), J(т.е. | a_n - b_n |).

H9 = (F9+G9)/2 и аналогично для остальных a_n и b_n.

I9 = H9^4-H9^3-2*H9^2+3*H9-3 и аналогично для остальных x_n.

J9 = ABS(F9-G9) и аналогично для остальных a_n и b_n.

Затем в зависимости от того является ли f(x_n) положительным или отрицательным числом, записываем x_n в или в .

Рисунок 1.

Задачи для самоконтроля.

Вариант 1.

2x³ - 9x² - 60x + 1 = 0;
3x⁴ + 8x³ + 6x² – 10 = 0;
3x⁴ - 8x³ - 18x² + 2 = 0.

Вариант 2.

2x⁴ + 8x³ + 8x² – 1 = 0;
x⁴ + 4x³ - 8x² – 17 = 0;
3x⁴ + 4x³ - 12x² + 1 = 0.

Лабораторная работа №5.

Отделение корней. Метод касательных.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом касательных с точностью до 0,001

x³- 0,2x² + 0,5x + 1,5 = 0.

Решение: Полагаем, что f(x) = x³- 0,2x² + 0,5x + 1,5. Определим f^’(x), а затем найдём корни уравнения.

f^’(x) = 3x² - 0,4x + 0,5 = 0

D = b² – 4ac = 0,16 – 4*3*0,5 = 0,16 – 6 = -5,84

D f(x) = 0. Возьмём любую точку, например, x = 0 и будем перебирать все точки до тех пор пока функция не изменит знак. И за точки в которых функция меняет знак примем границы интервала.

x	-∞	-1	0	1	+∞
Sign f(x)	-	-	+	+	+

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке [-1, 0].

Чтобы уточнить корень, находим вторую производную f ^”(x) = 6x – 0,4; в промежутке [-1, 0] выполняется неравенство f^”(x). Подставляем интервал [-1, 0] в функции f ^”(x) и f(x) и находим при каком x знаки f ^”(x) и f(x) совпадают:

f ^”(-1) f ^”(0)

f(-1) f(0) 0

т.е. при x = -1 знаки f ^”(x) и f(x) совпадают.

Следовательно a = 0 – неподвижная точка

x₀ = -1 – подвижная точка

Т.е. в данном методе всё наоборот, чем в методе хотд.

Для вычислений применяем формулу

x_n₊₁ = x_n -

Все вычисления располагаем в таблице:

n	x_n	x_n+1
0	-1	-0,949
1	-0,949	-0,946
2	-0,946	-0,946

= 3x² – 0,4x + 0,5

x₀ = -1

x₁ = x₀ - = -1 - = -1 - = -1 + 0,051 = -0,949;

x₂ = x₁ - = -0,949 - = -0,949 - = -0,949 + 0,003 = -0,946;

x₃ = x₂ - = -0,946 - = -0,946 - = -0,946 -0,0002 = -0,9458;

| x_n₊₁ - x_n | =| -0,9458 – (-0,946) | = 0,0002 ≤ 0,001.

Вычисляем до тех пор, пока | x_n₊₁ - x_n | ≤ 0,001.

f(-0,949) = (-0,949)³ – 0,2*(-0,949)² + 0,5*(-0,949) + 1,5 = -0,855 – 0,180 – 0,475 + 1,5 = -0,01;

f ’(-0,949) = 3*(-0,949)² – 0,4*(-0,949) + 0,5 = 2,702 + 0,380 + 0,5 = 3,582;

f(-0,946) = (-0,946)³ – 0,2*(-0,946)² + 0,5*(-0,946) + 1,5 = -0,847 – 0,179 – 0,473 + 1,5 = 0,001;

f ’(-0,946) = 3*(-0,946)² – 0,4*(-0,946) + 0,5 = 2,685 + 0,378 + 0,5 = 3,563.

Ответ: x ≈ -0,946.

Задания для самоконтроля:

x³ – 3x² + 6x + 3 = 0;
x³ – 0,2x² + 0,3x – 1,2 = 0.

Лабораторная работа №6.

Отделение корней. Комбинированный метод.

Задание: Комбинированным методом хорд и касательных решить уравнение третьей степени, вычислив корни с точностью до 0,001.

x³– 2x² – 4x + 7 = 0.

Решение: Полагаем f(x) = x³– 2x² – 4x + 7 = 0. Определим f ’(x) = 3x² – 4x – 4 = 0. Составим таблицу знаков функции для определения интервала, в котором лежат корни уравнения:

x	-2	-1	0	1	2	3
Sign f(x)	-	+	+	+	-	+

Т.е. корни уравнения находятся в интервалах [-2;-1], [1;2], [2;3].

Уточним корни уравнения комбинированным методом на одном из интервалов, например, на интервале [-2;-1]. Находим вторую производную f ’’(x) = 6x – 4. Подставляем интервал [-2; -1] в функции f ^”(x) и f(x) и находим при каком x знаки f ^”(x) и f(x) совпадают:

f ^”(-2) f ^”(-1) 0

f(-2) f(-1)

т.е. при x = -2 знаки f ^”(x) и f(x) совпадают.

Следовательно: = -2, а = -1.

Для расчётов применяем формулы:

x_n₊₁ = x_n - ; .

Все вычисления располагаем в таблице:

n
n
0	-1	-1,889
0	-2	-1,938
1	-1,889	-1,9353
1	-1,938	-1,9354

Вычисляем до тех пор, пока | | ≤ 0,001.

= -1,

= -2,

x₁ = x₀ - = -1 - = -1,889,

= -2 - = -1,938,

f(x₀) = f(-1) = -1-2+4+7 = 8 f() = f(-2) = -8-8+8+7 = -1 f’() = f’(-2) = 12+8-4 = 16

x₂ = x₁ - = -1,889 - = -1,9353,

= -1,938 - = -1,9354,

f(x₁) = f(-1,889) = -6,741-7,137+7,556+7 = 0,678 f() = f(-1,938) = -7,279-7,512+7,752+7 = -0,039

f’() = f’(-1,938) = 11,268+7,752-4 = 15,02.

| | = | -1,9354 – (-1,9353)| = 0,0001. Ответ: x ≈ -1,935.

Задания для самоконтроля: 1. x³ + 4x² – 24x – 10 = 0;

2. 2x³ + 9x² – 21 = 0.

Лабораторная работа №7.

Отделение корней. Метод итерации.

Задание: Отделить корни уравнения аналитически и уточнить один из них методом итерации с точностью до 0,001.

x³– 2x² + 7x + 3 = 0.

Решение: Полагаем f(x) = x³– 2x² – 4x + 7 = 0. Составим таблицу знаков функции для определения интервала, в котором лежат корни уравнения:

x	-2	-1	0	1	2
Sign f(x)	-	-	+	+	+

Т.е. корни уравнения находятся в интервалах [-1;0].

Уточним этот корень методом итерации. Для этого приведём функцию к виду x = φ(x), где | φ’(x) |

Находим = 3x² – 4x + 7.

= 3 +4 +7 = 14, = 0 – 0 +7 = 7.

Q = max|| = max(14 и 7) = 14,

Определяем k = 10, (берём меньшее ближайшее удобное число к 14)
φ(x) = , φ(x) = = x – 0,1x³ + 0,2x² – 0,7x – 0,3

φ(x) = – 0,1x³ + 0,2x² + 0,3x – 0,3.

Пусть x₀ = 0, тогда x_n₊₁= φ(x_n). Все вычисления располагаем в таблице:

n	x_n	φ(x_n)
0	0	-0,3
1	-0,3	-0,3693
2	-0,3693	-0,3784
3	-0,3784	-0,3795
4	-0,3795	-0,3796
5	-0,3796

Вычисляем до тех пор, пока | x_n₊₁ – x_n | ≤ 0,001.

f(0) = -0,3;

f(-0,3) = 0,0027 + 0,018 – 0,09 – 0,3 = -0,3693;

f(-0,3693) = 0,0050 + 0,0273 – 0,1107 – 0,3 = -0,3784;

f(-0,3784) = 0,0054 + 0,0286 – 0,1135 – 0,3 = -0,3795;

f(-0,3795) = 0,0055 + 0,0288 – 0,1139 – 0,3 = -0,3796;

| x_n₊₁ – x_n | = | -0,3796 – (-0,3795) | = 0,001.

Ответ: x ≈ -0,3796.

Задания для самоконтроля:

1. x³ – 3x² + 9x – 10 = 0;

2. x³ + 0,4x² + 2,6x – 1,6 = 0;

3. x³ + 3x² + 12x + 3 = 0;

4. 2x³ + 0,2x² + 0,5x + 0,8 = 0.

Решение систем линейных уравнений.

Метод Крамера.

Пример: Найти решение следующей системы используя метод Крамера:

-x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 4;

2x₁ + x₂ + 2x₃ + 3x₄ = 1;

3x₁ + x₂ + x₃ + 2x₄ =1;

4x₁ + 3x₂ + 2x₃ + x₄ = -5.

Решение: Метод Крамера заключается в следующем:

Для начала вычисляем главный определитель системы, состоящий из коэффициентов при неизвестных

∆ = = -20

Теперь определяем дополнительные определители.

∆x₁(заменяем первый столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

∆x₁ = = 40

∆x₂ (заменяем второй столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

∆x₂ = = -40

∆x₃ (заменяем третий столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

∆x₃ = = 60

∆x₄ (заменяем четвёртый столбец в определителе ∆ столбцом свободных членов)

∆x₄ = = -60

Затем по формулам Крамера определяем корни уравнения

x₁ = ∆x₁/∆ = 40/-20 = -2

x₂ = ∆x₂/∆ = -40/-20 = 2

x₃ = ∆x₃/∆ = 60/-20 = -3

x₄ = ∆x₄/∆ = -60/-20 = 3

Реализация метода Крамера в среде Excel.

Коэффициенты исходной системы внесём в ячейки блока A3:E6. В ячейках блока A9:D12 заносим значения определителя ∆x₁. В ячейках блока A15:D18 заносим значения определителя ∆x₂. В ячейках блока A21:D24 заносим значения определителя ∆x₃. В ячейках блока A27:D30 заносим значения определителя ∆x₄.

В ячейку G3 вводим формулу =МОПРЕД(A3:D6) (Рисунок 2) для вычисления значения главного определителя. В строке Массив записываем массив значений для вычисления значения определителя.

Аналогично определяем значения вспомогательных определителей:

∆x₁: H3=МОПРЕД(A9:D12) ∆x₁ = 40

∆x₂: I3=МОПРЕД(A15:D18) ∆x₂ = -40

∆x₃: J3=МОПРЕД(A21:D24) ∆x₃ = 60

∆x₄: K3=МОПРЕД(A27:D30) ∆x₄ = -60

После этого в ячейку H7 вводим формулу =H3/$G3 для вычисления первого корня системы x₁ = ∆x₁/∆, которую копируем в ячейки I7:K7.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения неизвестных. В результате чего система сводится к треугольному виду.

Пример: Найти решение системы используя метод Гаусса.

5x + 8y – z = -7;

x + 2y + 3z = 1;

2x – 3y + 2z = 9.

Решение: Разделим первое уравнение на коэффициент при x (5), получим ведущее уравнение

x + 1,6y – 0,2z = -1,4

Вычтем из второго уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед x второго уравнения (1). Вычтем из третьего уравнения системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед x третьего уравнения (2). Получим систему 2-х уравнений с двумя неизвестными:

(2-1,6)y + (3+0,2)z = (1+1,4); 0,4y + 3,2z = 2,4;

(-3-3,2)y + (2+0,4)z = (9+2,8). -6,2y + 2,4z = 11,8.

Вновь разделим первое уравнение полученной системы на коэффициент при y (0,4), получим ведущее уравнение

y + 8z = 6

Вычтем из второго уравнения полученной системы ведущее уравнение, умноженное на коэффициент перед y второго уравнения (-6,2). Получим одно уравнение с одним неизвестным

52z = 49, которое приводим к виду z = 0,942308, разделив обе части уравнения на коэффициент 52.

Зная значение последнего корня z, переходим к ведущему уравнению y + 8z = 6, из которого находим y = 6 – 8z = 6 – 8*0,942308 = -1,53846.

А затем из первого ведущего уравнения x + 1,6y – 0,2z = -1,4 находим последний корень x = -1,4 – 1,6y + 0,2z = -1,4 – 1,6*(-1,53846) + 0,2*0,942308 = 1,25.

Реализация метода Гаусса в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке

После этого в ячейку A6 вводим формулу =A3/$A3 для вычисления коэффициентов первой разрешающей строки, копируем эти формулу в ячейки всей строки. Далее, в ячейку B7 вводим формулу =B4-$A4*B$6 для вычисления коэффициентов полученной системы двух уравнений с двумя неизвестными. Копируем данную формулу на все ячейки блока B7:D8. В ячейку B9 вводим формулу =B7/$B7 для вычисления коэффициентов второй разрешающей строки. В ячейку С10 вводим формулу =C8-$B8*C$9 и копируем её в ячейку D10. В ячейку C11 вводим формулу =C10/$C10 и копируем её в ячейку D11.

В ячейке D11 получено значение корня уравнения z = 0,942308. Для нахождения остальных корней системы оформим блок решения системы G4:I4 – в ячейку I4 копируем содержимое ячейки D11, в ячейку H4 вводим формулу =D9-C9*I4, а в ячейку G4=D6-B6*H4-C6*I4.

Задания для самоконтроля:

а) б)

в) г)

Лабораторная работа №9

Решение систем линейных уравнений.

Метод главных элементов.

Пример: Найти решение системы, используя метод главных элементов.

2,74x₁ – 1,18x₂ + 3,17x₃ = 2,18;

1,12x₁ + 0,83x₂ – 2,16x₃ = -1,15;

0,18x₁ + 1,27x₂ + 0,76x₃ = 3,23.

Решение: Вычисления производим по следующей схеме.

	m(i)	коэффициенты при неизвестных			свободные члены
	m(i)	x1	x2	x3	свободные члены
1	-1	2,74	-1,18	3,17	2,18
	0,6814	1,12	0,83	-2,16	-1,15
	-0,2397	0,18	1,27	0,76	3,23
2	-1	2,9870	0,0260		0,3354
2	0,1597	-0,4769	1,5529		2,7074
3			1,5570		2,7609
		0,0969	1,7732	1,2640

Выберем ненулевой, как правило, наибольший по модулю, не принадлежащий к столбцу свободных членов любой элемент, например 3,17(элемент a₁₃), который называется главным элементом, а соответствующая строка – главной строкой. Вычислим m_i = -(a₁_i/ a₁₃), т.е.

1)m₁ = -(3,17/3,17) = -1;

m₂ = -(-2,16/3,17) = 0,6814;

m₃ = -(0,76/3,17) = -0,2397.

Теперь к каждой неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m_iдля этой строки. В результате получим новую матрицу (2), в которой третий столбец состоит из одних нулей:

(a₂₁^’)2,9870	(a₂₂^’)0,0260	0	0,3354
(a₃₁^’)-0,4769	(a₃₂^’)1,5529	0	2,7074

Т. е. a₂₁^’ = m₂* a₁₁+ a₂₁ = 0,6814*2,74 + 1,12 = 2,9870;

a₃₁^’ = m₃* a₁₁+ a₃₁ = -0,2397*2,74 + 0,18= -0,4769;

a₂₂^’ = m₂* a₁₂+ a₂₂ = 0,6814*-1,18 + 0,83= 0,0260;

a₃₂^’ = m₃* a₁₂+ a₃₂ = -0,2397*-1,18 + 1,27= 1,5529;

b₂^’ = m₂* b₁+ b₂ = 0,6814*2,18 + -1,15 = 0,3354;

b₃^’ = m₃* b₁+ b₃ = -0,2397*2,18 + 3,23 = 2,7074.

Теперь опять выбираем главный элемент, например 2,9870 (элемент a₂₁^’) и вычислим m_i^’.

2) m₁^’ = -(2,9870/2,9870) = -1;

m₂^’ = -(-0,4769/2,9870) = 0,1597.

Теперь ко второй неглавной строке прибавим главную строку, умноженную на соответствующий множитель m_iдля этой строки. В результате получим новую матрицу (3), в которой первый столбец также состоит из одних нулей:

1,5570

2,7609

Т. е. a₃₂^’’ = m₂^’* a₂₂^’ + a₃₂^’ = 0,1597*0,0260+1,5529 = 1,5570;

b₃^’’ = m₂^’* b₂^’+ b₃^’ = 0,1597*0,3354+2,7074 = 2,7609.

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

находим x₂, т.к. последний разрешающий элемент находится в столбце x₂.

x₂ = b₃^’’/ a₃₂^’’ = 2,7609/1,5570 = 1,7732.

находим x₁, т.к. предпоследний разрешающий элемент находится в столбце x₁.

x₁ = (b₂^’ - a₂₂^’*x₂) = (0,3354 - 0,0260*1,7732)/ 2,9870 = 0,0969.

находим x₃, т.к. первый разрешающий элемент находится в столбце x₃.

x₃= (b₁- a₁₂*x₂ - a₁₁* x₁)/ a₁₃ = 2,18 – (-1,18)* 1,7732 - 2,74*0,0969 = 1,2640.

Ответ: x₁ = 0,097;

x₂ = 1,773;

x₃= 1,264.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока B3:E5. Выбираем главный элемент – 3,17(ячейка D3). В ячейки блока A3:A5 записываем формулы для вычисления m_i:

Для получения системы двух уравнений с двумя неизвестными выполняем следующие действия:

Выбираем главный элемент – 2,9870(ячейка B6). Теперь вычисляем m_i для этой системы:

Для получения уравнения с одним неизвестным выполняем следующие действия:

Теперь непосредственно находим корни уравнения:

x₂:
x₁:
x₃:

Ответ: : x₁ = 0,097; x₂ = 1,773; x₃= 1,264.

Метод квадратных корней.

Пример: Найти решение системы, используя метод квадратных корней.

4,25x₁ – 1,48x₂ + 0,73x₃ = 1,44;

-1,48x₁ + 1,73x₂ – 1,85x₃ = 2,73;

0,73x₁ + -1,85x₂ + 1,93x₃ = -0,64.

Решение: Вычисления производим по следующей схеме.

коэффициенты при неизвестных			свободные члены
x1	x2	x3	свободные члены
4,25	-1,48	0,73	1,44	A
-1,48	1,73	-1,85	2,73
0,73	-1,85	1,93	-0,64
2,0616	-0,7179	0,3541	0,6985	T
	1,1021	-1,4480	2,9321
		0,5403	-6,2149
-2,0214	-12,4508	-11,5017

Для получения матрицы T используют следующие формулы:

, , где j1

, где 1i≤n , i1

, где ij

при ij

Т.е. , ,

, , ,

Корни уравнения определяем аналогично предыдущему примеру.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:D5. Затем вычисляем матрицу T:

ставим в корне перед скобкой минус т.к. под корнем отрицательное выражение.

ставим перед формулой знак минус т.к. в этой строке в подкоренном выражении мы меняли знак.

И в завершении определяем корни уравнения аналогично предыдущему примеру:

1) x₃:

2) x₂:

3) x₁:

Задания для самоконтроля:

Метод главных элементов.

а) б)

Метод квадратных корней.

а) б)

Лабораторная работа №10

Решение систем линейных уравнений.

Метод итерации.

Пример: Методом итерации решить систему с точностью до 0,001.

x₁ = 0,32x₁ – 0,05x₂ + 0,11x₃ – 0,08x₄ + 2,15;

x₂ = 0,11x₁ + 0,16x₂ – 0,28x₃ – 0,06x₄ – 0,83;

x₃ = 0,08x₁ – 0,15x₂ + 0,12x₄ + 1,16;

x₄ = -0,21x₁ + 0,13x₂ – 0,27x₃ + 0,44.

Решение: Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берём свободные члены):

=2,15; =-0,83; =1,16; =0,44.

Подставляя эти значения в правые части уравнений системы, получаем первые приближения корней:

= 0,32*2,15 – 0,05*(-0,83) + 0,11*1,16 – 0,08*0,44 + 2,15 = 2,9719;

= 0,11*2,15 + 0,16*(-0,83) – 0,28*1,16– 0,06*0,44 – 0,83 = -1,0775;

= 0,08*2,15 – 0,15*(-0,83) + 0,12*0,44 + 1,16 = 1,5093;

= -0,21*2,15 + 0,13*(-0,83) – 0,27*1,16 + 0,44 = -0,4326.

= 2,9719; = -1,0775; = 1,5093; = -0,4326.

Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем вторые приближения корней:

= 0,32*2,9719– 0,05*(-1,0775) + 0,11*1,5093– 0,08*(-0,4326) + 2,15 = 3,3555;

= 0,11*2,9719 + 0,16*(-1,0775) – 0,28*1,5093– 0,06*(-0,4326) – 0,83 = -1,0721;

= 0,08*2,9719 – 0,15*(-1,0775) + 0,12*(-0,4326) + 1,16 = 1,5075;

= -0,21*2,9719 + 0,13*(-1,0775) – 0,27*1,5093+ 0,44 = -0,7317.

= 3,3555; = -1,0721; = 1,5075; = -0,7317.

Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем третьи приближения корней и т.д. До тех пор пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0,001, т.е.

‌ | - ‌‌|

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:E6. В ячейки блока G3:G6 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки блока A10:D10 записываем последующие приближения:

Для :

Затем копируем данные формулы:

A10 в A11; B10 в B11; C10 в С11; D10 в D11.

Проделываем эти операции до тех пор пока ‌ | - ‌‌| - ‌‌|

| - ‌‌| - ‌‌|

Данная разность вычисляется в ячейках блока F9:I9.

Для :

Затем копируем данные формулы: F9 в F10; G9 в G10; H9 в H10; I9 в I10 и т.д.

Ответ: x₁ = 3,571; x₂ = -0,957; x₃ = 1,489; x₄ = -0,836.

Метод Зейделя.

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной x_i учитываются уже вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x₁, x₂, …, x_i_-1.

Например

Пример: Методом Зейделя решить систему с точностью до 0,001.

4,5x₁ – 1,8x₂ + 3,6x₃ = -1,7;

3,1x₁ + 2,3x₂ – 1,2x₃ = 3,6;

1,8x₁ + 2,5x₂ + 4,6x₃ = 2,2.

Решение: Приведём систему к виду, в котором элементы главной диагонали превосходили бы остальные элементы строк:

7,6x₁ + 0,5x₂ + 2,4x₃ = 1,9; [(1)+(2)]

2,2x₁ + 9,1x₂ + 4,4x₃ = 9,7; [2*(3)+(2)-(1)]

-1,3x₁ + 0,2x₂ + 5,8x₃ = -1,4. [(3)-(2)]

Теперь в левой части оставляем 10x_i , а оставшиеся компоненты переносим в правую часть:

10x₁ = 2,4x₁ – 0,5x₂ – 2,4x₃ + 1,9;

10x₂ = -2,2x₁ + 0,9x₂ - 4,4x₃ + 9,7;

10x₃ = 1,3x₁ - 0,2x₂ – 4,2x₃ - 1,4.

Теперь каждое уравнение делим на 10:

x₁ = 0,24x₁ – 0,05x₂ – 0,24x₃ + 0,19;

x₂ = -0,22x₁ + 0,09x₂ – 0,44x₃ + 0,97;

x₃ = 0,13x₁ – 0,02x₂ – 0,42x₃ – 0,14.

Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берём свободные члены):

=0,19; =0,97; =-0,14;

Теперь вычисляем первые приближения:

= 0,24*0,19 -0,05*0,97-0,24*(-0,14) + 0,19 = 0,2207;

= -0,22*0,2207 + 0,09*0,97 -0,44*(-0,14) + 0,97 = 1,0703;

= 0,13*0,2207 -0,02*1,0703 -0,42*(-0,14) -0,14 = -0,1915.

Затем вычисляем вторые приближения, третьи и т.д. До тех пор пока последующее значение корня минус предыдущее не станет меньше 0,001.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Коэффициенты исходной системы вносим в ячейки блока A3:D5. В ячейки блока B9:B11 записываем начальные приближения, которые равны свободным членам. В ячейки блока A14:C14 записываем последующие приближения:

Для :

Затем копируем данные формулы:

A15 в A16; B15 в B16; C15 в C16.

Проделываем эти операции до тех пор, пока ‌ | - ‌‌| - ‌‌| - ‌‌|

Данная разность вычисляется в ячейках блока N14:P14.

Для :

Затем копируем данные формулы: N14 в N15; O14 в O15; P14 в P15 и т.д.

Ответ: x₁ = 0,247; x₂ = 1,114; x₃ = -0,224.

Задания для самоконтроля:

Метод итерации.

а) б)

в) г)

Метод Зейделя.

а) б)

Лабораторная работа №11.

Интерполирование функций.

Формула Лагранжа для неравноотстоящих значений аргумента.

Пример1. Найти приближённое значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравноотстоящих узлах таблицы.

Условия задачи:

x	y
0,05	0,050042
0,10	0,100335
0,17	0,171657
0,25	0,255342
0,30	0,309336
0,36	0,376403

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,263.

Решение:

Для вычисления f(x) необходимо воспользоваться формулой , где

= (x-x₀)*(x-x₁)*…*(x-x_n)

D_i= (x_i-x₀)*(x_i-x₁)*…*(x_i-x_i-1)*(x-x_i)*(x_i-x_i+1)*…*(x_i-x_n).

Все вычисления произведём по таблице:

Таблица 1.

i	Разности						D_i	y_i/D_i
0	(x-x₀)	(x₀-x₁)	(x₀-x₂)	(x₀-x₃)	(x₀-x₄)	(x₀-x₅)	Сумма по 0-строке
1	(x₁-x₀)	(x-x₁)	(x₁-x₂)	(x₁-x₃)	(x₁-x₄)	(x₁-x₅)	Сумма по 1-строке
2	(x₂-x₀)	(x₂-x₁)	(x-x₂)	(x₂-x₃)	(x₂-x₄)	(x₂-x₅)	Сумма по 2-строке
3	(x₃-x₀)	(x₃-x₁)	(x₃-x₂)	(x-x₃)	(x₃-x₄)	(x₃-x₅)	Сумма по 3-строке
4	(x₄-x₀)	(x₄-x₁)	(x₄-x₂)	(x₄-x₃)	(x-x₄)	(x₄-x₅)	Сумма по 4-строке
5	(x₅-x₀)	(x₅-x₁)	(x₅-x₂)	(x₅-x₃)	(x₅-x₄)	(x-x₅)	Сумма по 5-строке

Т.е. D_iвычисляются как:

D₀=(x-x₀)* (x₀-x₁)* (x₀-x₂)* (x₀-x₃)* (x₀-x₄)* (x₀-x₅);

D₁=(x₁-x₀)* (x-x₁)* (x₁-x₂)* (x₁-x₃)* (x₁-x₄)* (x₁-x₅);

D₂=(x₂-x₀)* (x₂-x₁)* (x-x₂)* (x₂-x₃)* (x₂-x₄)* (x₂-x₅);

D₃=(x₃-x₀)* (x₃-x₁)* (x₃-x₂)* (x-x₃)* (x₃-x₄)* (x₃-x₅);

D₄=(x₄-x₀)* (x₄-x₁)* (x₄-x₂)* (x₄-x₃)* (x-x₄)* (x₄-x₅);

D₅=(x₅-x₀)* (x₅-x₁)* (x₅-x₂)* (x₅-x₃)* (x₅-x₄)* (x-x₅);

Производя эти вычисления получим следующую таблицу:

Таблица 2.

i	Разности						Di	y/D
0	0,213	-0,05	-0,12	-0,2	-0,25	-0,31	-1,9809E-05	-2526,23
1	0,05	0,163	-0,07	-0,15	-0,2	-0,26	4,4499E-06	22547,7
2	0,12	0,07	0,093	-0,08	-0,13	-0,19	-1,54365E-06	-111202
3	0,2	0,15	0,08	0,013	-0,05	-0,11	1,716E-07	1488007
4	0,25	0,2	0,13	0,05	-0,037	-0,06	7,215E-07	428740,1
5	0,31	0,26	0,19	0,11	0,06	-0,097	-9,80402E-06	-38392,7

Итак,

П₅₊₁=0,213*0,163*0,093*0,013*(-0,037)*(-0,097)= 1,50649E-07=0,150649*10^-6.

= -2526,23+25547,7-111202+1488007+428740,1-38392,7 = 1787173,95.

Теперь непосредственно вычисляем

f(0,263) = П₅₊₁ * = 0,150649*10^-6 * 1787173,95 = 0,26924.

Ответ: 0,26924.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

В ячейку A9 вносим значение x.

Данную таблицу заполняем согласно таблице 1.

По диагонали вычисляем значения (x - x_i), что затем определить

Теперь заполняем ячейки, которые находятся ниже диагонали:

Копируем эту формулу в ячейки E5, E6, E7 и E8.

Копируем эту формулу в ячейки F6, F7, F8.

Копируем эту формулу в ячейки G7, G8.

Копируем эту формулу в ячейку H8.

Теперь заполняем ячейки, которые находятся выше диагонали:

Копируем эту формулу в ячейку G4.

Копируем эту формулу в ячейки H4, H5.

Копируем эту формулу в ячейки I4, I5, I6.

Копируем эту формулу в ячейки J4, J5, J6, J7.

Теперь определяем D_i

K3 =E3*F3*G3*H3*I3*J3 Копируем эту формулу в ячейки K4, K5, K6, K7, K8.

Определяем y_i/D_i

L3=B3/K3 Копируем эту формулу в ячейки L4, L5, L6, L7, L8.

Определяем П_n₊₁

E10=E3*F4*G5*H6*I7*J8 = 1,50649E-07.

Определяем

E11=СУММ(L3:L8) = 1,7872E+06.

Теперь непосредственно вычисляем f(0,263) = П₅₊₁ *

E12 =E10*E11 = 0,26924.

Ответ: 0,26924.

Формула Лагранжа для равноотстоящих значений аргумента.

Пример1. Найти приближённое значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равноотстоящих узлах таблицы.

Условия задачи:

x	y
0,101	1,26183
0,106	1,27644
0,111	1,29122
0,116	1,30617
0,121	1,32130
0,126	1,32660

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,1157.

Решение:

Для вычисления f(x) необходимо воспользоваться формулой , где

= (t-0)*(t-1)*…*(t-n); t = (x-x₀)/h; h = x_i₊₁-x_i – шаг интерполяции.

C_i = (-1)^n-i * i! * (n-i)!.

Здесь h = 0,106-0,101 = 0,005

t = (0,1157-0,101)/0,005 = 2,94

Все вычисления произведём по таблице:

Таблица1.

i	t-i	C_i = (-1)^n-i * i! * (n-i)!.	(t-i)*C_i	y_i/((t-i)*C_i)
0	t-0=2,94-0=2,94	(-1)^5-0 * 0! * (5-0)! = -120	2,94*(-120)=-352,8
1	t-1=2,94-1=1,94	(-1)^5-1 * 1! * (5-1)! = 24	1,94*24=46,56
2	t-2=2,94-2=0,94	(-1)^5-2 * 2! * (5-2)! = -12	0,94*(-12)=-11,28
3	t-3=2,94-3=-0,06	(-1)^5-3 * 3! * (5-3)! = 12	-0,06*12=-0,72
4	t-4=2,94-4=-1,06	(-1)^5-4 * 4! * (5-4)! = -24	-1,06*(-24)=25,44
5	t-4=2,94-5=-2,06	(-1)^5-5 * 5! * (5-5)! = 120	-2,06*120=-247,2

В результате вычислений получаем следующую таблицу:

i	t-i	C_i	*(t-i)Ci**	*y/(t-i)Ci**
0	2,94	-120	-352,8	-0,0035766
1	1,94	24	46,56	0,0274149
2	0,94	-12	-11,28	-0,1144699
3	-0,06	12	-0,72	-1,8141250
4	-1,06	-24	25,44	0,0519379
5	-2,06	120	-247,2	-0,0053665

Итак П₅₊₁(t) = 2,94*1,94*0,94*(-0,06)*( -1,06)*( -2,06) = -0,7024271

= -0,0035766*(0,0274149)*( -0,1144699)*( -1,8141250)*( 0,0519379)*( -0,0053665) = -1,858185

Следовательно П₅₊₁(t)* = -0,7024271*(-1,858185) = 1,30524.

Ответ: 1,30524.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

В ячейку A9 вносим значение x.

Данную таблицу заполняем согласно таблице 1.

Для начала вычислим (t-i):

Копируем эту формулу в ячейки E4, E5, E6, E7, E8.

Теперь вычислим C_i

Копируем эту формулу в ячейки F4, F5, F6, F7, F8.

Теперь вычислим (t-i)*C_i

Копируем эту формулу в ячейки G4, G5, G6, G7, G8.

Теперь вычислим y/((t-i)*C_i)

Копируем эту формулу в ячейки H4, H5, H6, H7, H8.

Определяем П₅₊₁: E10 =ПРОИЗВЕД(E3:E8) = -0,7024271.

Определяем : E11=СУММ(H3:H8) = -1,858185.

Теперь непосредственно вычисляем f(0,1157)= П₅₊₁*: E12=E10*E11 = 1,30524.

Ответ: 1,30524.

Задания для самоконтроля.

Формула Лагранжа для неравноотстоящих значений аргумента.

а)

x	y
0,43	1,63597
0,48	1,73234
0,55	1,87686
0,62	2,03345
0,70	2,22846
0,75	2,35973

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,512.

б)

x	y
0,02	1,02316
0,08	1,09590
0,12	1,14725
0,17	1,21483
0,23	1,30120
0,30	1,40976

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,203.

в)

x	y
0,35	2,73951
0,41	2,30080
0,47	1,96864
0,51	1,78776
0,56	1,59502
0,64	1,34310

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,482.

Формула Лагранжа для равноотстоящих значений аргумента.

а)

x	y
1,375	5,04192
1,380	5,17744
1,385	5,32016
1,390	5,47069
1,395	5,62968
1,400	5,79788

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,3926.

б)

x	y
0,115	8,65729
0,120	8,29329
0,125	7,95829
0,130	7,64893
0,135	7,36235
0,140	7,09613

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,1334.

в)

x	y
0,150	6,61659
0,155	6,39989
0,160	6,19658
0,165	6,00551
0,170	5,82558
0,175	5,65583

Вычислить значение функции f(x) = y(x) при x = 0,1662.

Лабораторная работа №12

Решение систем линейных уравнений.

Метод итерации.

Пример: Методом итерации решить систему с точностью до 0,001.

x₁ = 0,32x₁ – 0,05x₂ + 0,11x₃ – 0,08x₄ + 2,15;

x₂ = 0,11x₁ + 0,16x₂ – 0,28x₃ – 0,06x₄ – 0,83;

x₃ = 0,08x₁ – 0,15x₂ + 0,12x₄ + 1,16;

x₄ = -0,21x₁ + 0,13x₂ – 0,27x₃ + 0,44.

Решение: Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берём свободные члены):

=2,15; =-0,83; =1,16; =0,44.

Подставляя эти значения в правые части уравнений системы, получаем первые приближения корней:

= 0,32*2,15 – 0,05*(-0,83) + 0,11*1,16 – 0,08*0,44 + 2,15 = 2,9719;

= 0,11*2,15 + 0,16*(-0,83) – 0,28*1,16– 0,06*0,44 – 0,83 = -1,0775;

= 0,08*2,15 – 0,15*(-0,83) + 0,12*0,44 + 1,16 = 1,5093;

= -0,21*2,15 + 0,13*(-0,83) – 0,27*1,16 + 0,44 = -0,4326.

= 2,9719; = -1,0775; = 1,5093; = -0,4326.

Снова подставляем эти значения в правые части уравнений, получаем вторые приближения корней:

= 0,32*2,9719– 0,05*(-1,0775) + 0,11*1,5093– 0,08*(-0,4326) + 2,15 = 3,3555;

= 0,11*2,9719 + 0,16*(-1,0775) – 0,28*1,5093– 0,06*(-0,4326) – 0,83 = -1,0721;

= 0,08*2,9719 – 0,15*(-1,0775) + 0,12*(-0,4326) + 1,16 = 1,5075;

= -0,21*2,9719 + 0,13*(-1,0775) – 0,27*1,5093+ 0,44 = -0,7317.

= 3,3555; = -1,0721; = 1,5075; = -0,7317.

‌ | - ‌‌|

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Для :

Затем копируем данные формулы:

A10 в A11; B10 в B11; C10 в С11; D10 в D11.

Проделываем эти операции до тех пор пока ‌ | - ‌‌| - ‌‌|

| - ‌‌| - ‌‌|

Данная разность вычисляется в ячейках блока F9:I9.

Для :

Затем копируем данные формулы: F9 в F10; G9 в G10; H9 в H10; I9 в I10 и т.д.

Ответ: x₁ = 3,571; x₂ = -0,957; x₃ = 1,489; x₄ = -0,836.

Метод Зейделя.

Например

Пример: Методом Зейделя решить систему с точностью до 0,001.

4,5x₁ – 1,8x₂ + 3,6x₃ = -1,7;

3,1x₁ + 2,3x₂ – 1,2x₃ = 3,6;

1,8x₁ + 2,5x₂ + 4,6x₃ = 2,2.

7,6x₁ + 0,5x₂ + 2,4x₃ = 1,9; [(1)+(2)]

2,2x₁ + 9,1x₂ + 4,4x₃ = 9,7; [2*(3)+(2)-(1)]

-1,3x₁ + 0,2x₂ + 5,8x₃ = -1,4. [(3)-(2)]

Теперь в левой части оставляем 10x_i , а оставшиеся компоненты переносим в правую часть:

10x₁ = 2,4x₁ – 0,5x₂ – 2,4x₃ + 1,9;

10x₂ = -2,2x₁ + 0,9x₂ - 4,4x₃ + 9,7;

10x₃ = 1,3x₁ - 0,2x₂ – 4,2x₃ - 1,4.

Теперь каждое уравнение делим на 10:

x₁ = 0,24x₁ – 0,05x₂ – 0,24x₃ + 0,19;

x₂ = -0,22x₁ + 0,09x₂ – 0,44x₃ + 0,97;

x₃ = 0,13x₁ – 0,02x₂ – 0,42x₃ – 0,14.

Для начала выбираем нулевые приближения (за нулевые приближения берём свободные члены):

=0,19; =0,97; =-0,14;

Теперь вычисляем первые приближения:

= 0,24*0,19 -0,05*0,97-0,24*(-0,14) + 0,19 = 0,2207;

= -0,22*0,2207 + 0,09*0,97 -0,44*(-0,14) + 0,97 = 1,0703;

= 0,13*0,2207 -0,02*1,0703 -0,42*(-0,14) -0,14 = -0,1915.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Для :

Затем копируем данные формулы:

A15 в A16; B15 в B16; C15 в C16.

Проделываем эти операции до тех пор, пока ‌ | - ‌‌| - ‌‌| - ‌‌|

Данная разность вычисляется в ячейках блока N14:P14.

Для :

Затем копируем данные формулы: N14 в N15; O14 в O15; P14 в P15 и т.д.

Ответ: x₁ = 0,247; x₂ = 1,114; x₃ = -0,224.

Задания для самоконтроля:

Метод итерации.

а) б)

в) г)

Метод Зейделя.

а) б)

Лабораторная работа №13.

Интерполирование функций.

Линейная интерполяция.

Пример1: используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции y(x) при заданных значениях аргумента. y(x) = sin(x) при x = 0,6682.

Решение: Вычислим используя функцию Excel несколько значений Sin(x) и составим таблицу разностей первого и второго порядков:

x	sin(x)	∆y_i	∆²y_i
0,63	0,5891	0,0081	-0,0001
0,64	0,5972	0,0080	-0,0001
0,65	0,6052	0,0079	-0,0001
0,66	0,6131	0,0079	-0,0001
0,67	0,6210	0,0078
0,68	0,6288

На возможность использования линейной интерполяции указывает тот факт, что разности первого порядка практически постоянны, а также выполняется соотношение

Действительно, 1/8 * 0,0001

При вычислении пользуемся формулой

где g = (x – x₀)/h

h = x_i – x_i_-1 – шаг интерполяции

x₀ – ближайшее меньшее.

h = 0,64 - 0,63 = 0,01.

Если x = 0,6682, то примем x₀ = 0,66 (берём ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой, т.е. y₀=0,6131, ∆y₀ = 0,0079.

Тогда g = (0,6682-0,66)/0,01 = 0,82

y(x) = sin(0,6682) = 0,6131+0,82*0,0079 = 0,6196.

Ответ: sin(0,6682) =0,6196.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

В ячейку A8 вносим значение x.

Вычисляем первые интерполяционные разности ∆y_i

Копируем эту формулу в ячейки D4, D5, D6.

Вычисляем вторые интерполяционные разности ∆²y_i

Копируем эту формулу в ячейки E4, E5.

Теперь проверяем выполнение условия :

Ячейке I2 присваиваем значение 0,0001.

В ячейку G2 вносим формулу для вычисления

В ячейке H2 определяем знак:

x₀ = 0,66 (берём ближайшее меньшее). Эта строка (5 строка) будет нулевой.

Определяем h

= 0,01

Определяем g

= 0,82

Теперь непосредственно определяем значение f(x) = y(x) при x = 0,6682

= 0,6196.

Ответ: sin(0,6682) =0,6196.

Пример2: используя линейную интерполяцию, вычислить значения функции y(x) при заданных значениях аргумента. y(x) =cos(x) при x=0,3033.

Решение: Вычислим используя функцию Excel несколько значений Cos(x) и составим таблицу разностей первого и второго порядков:

x	cos(x)	∆y_i	∆²y_i
0,27	0,9638	-0,0027	-0,0001
0,28	0,9611	-0,0028	-0,0001
0,29	0,9582	-0,0029	-0,0001
0,3	0,9553	-0,0030	-0,0001
0,31	0,9523	-0,0031
0,32	0,9492

Разности первого порядка практически постоянны, а также справедливо соотношение (т.к. 1/8 * 0,0001

При вычислении пользуемся той же формулой ,

где g = (x – x₀)/h

h = x_i – x_i_-1 – шаг интерполяции

x₀ – ближайшее меньшее.

h = 0,29 - 0,28 = 0,01.

Если x = 0,3033, то примем x₀ = 0,30 (берём ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой, т.е. y₀=0,9553, ∆y₀ = -0,0030.

Тогда g = (0, 3033-0, 30)/0,01 = 0,33.

y(x) = cos(0, 3033) = 0,9553+0,33*(-0,0030) = 0,9543.

Ответ: cos(0,3033) =0,9543.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Все вычисления производим аналогично.

Ответ: cos(0,3033) =0,9543.

Квадратичная интерполяция.

Пример: используя квадратичную интерполяцию, вычислить значение функции y(x) при заданных значениях аргумента.

Условия задачи:

x	y
1,527	22,818
1,528	23,352
1,529	23,911
1,530	24,498
1,531	25,115
1,532	25,763

x = 1,5306

Решение :составим таблицу разностей первого, второго и третьего порядков.

x	y	Δy	Δ²y	Δ³y
1,527	22,818	0,534	0,025	0,003
1,528	23,352	0,559	0,028	0,002
1,529	23,911	0,587	0,03	0,001
1,53	24,498	0,617	0,031
1,531	25,115	0,648
1,532	25,763

В этой таблице разности второго порядка практически постоянны, кроме того, справедливо соотношение (т.к. (1/15)*0,003

Для вычисления воспользуемся формулой

где g = (x – x₀)/h

h = x_i₊₁ - x_i – шаг интерполяции

x₀ – ближайшее меньшее.

Если x = 1,5306, то x₀ = 1,530 (берём ближайшее меньшее).

Эта строка будет нулевой строкой, т.е. y₀ = 24,498, Δy₀ = 0,617, Δ²y₀ = 0,031.

g = (1,5306 - 1,530)/0,001 = 0,6.

Тогда

Ответ: 24,8645.

Реализация данного метода в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

Вычисляем первые интерполяционные разности

Копируем эту формулу в ячейки D3, D4, D5, D6

Вычисляем вторые интерполяционные разности

Копируем эту формулу в ячейки E3, E4, E5.

Вычисляем третьи интерполяционные разности

Копируем эту формулу в ячейки F3, F4.

Теперь проверяем выполнение условия

Ячейке J2 присваиваем значение 0,001.

В ячейку H2 вносим формулу для вычисления

В ячейке I2 определяем знак:

x₀ = 1,530 (берём ближайшее меньшее). Эта строка (5 строка) будет нулевой.

Определяем h

= 0,001

Определяем g

= 0,6

Теперь непосредственно определяем значение y(x) при x = 1,5306

= 24,8645.

Ответ: 24,8645.

Лабораторная работа №14.

Интерполирование функций.

1. Первая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции y(x) при следующих значениях аргумента x = 0,168.

Условия задачи:

x	y(x)
0,12	6,278
0,14	6,404
0,16	6,487
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей.

x	y	Δy	Δ²y	Δ³y
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,20	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,954

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при x=0,168 воспользуемся первой формулой Гаусса:

где g = (x – x₀)/h

h = x_i – x_i_-1 – шаг интерполяции.

x₀– ближайшее меньшее.

Если x = 0,168, то примем x₀ = 0,16. Эта строка будет нулевой.

h = 0,14 – 0,12 = 0,02

Тогда g = (0,168 – 0,16)/0,02 = 0,4.

Ответ: 6,5032.

2. Вторая интерполяционная формула Гаусса.

Пример: Найти значение функции y(x) при следующих значениях аргумента x = 0,175.

Условия задачи:

x	y(x)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей.

x	y	Δy	Δ²y	Δ³y
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,2	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,954

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при x=0,175 воспользуемся второй формулой Гаусса:

где g = (x – x₀)/h

h = x_i – x_i_-1 – шаг интерполяции.

x₀– ближайшее большее.

Если x = 0,175, то примем x₀ = 0,18. Эта строка будет нулевой.

h = 0,14 – 0,12 = 0,02

Тогда g = (0,175– 0,18)/0,02 = -0,25.

= 6,505 – 0,0045 + 0,0082 – 0,0009 = 6,5078.

Ответ: 6,5078.

3. Интерполяционная формула Бесселя.

Пример: Найти значение функции y(x) при следующих значениях аргумента x = 0,192.

Условия задачи:

x	y(x)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей.

x	y	Δy	Δ²y	Δ³y
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,2	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,954

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при x=0,192 воспользуемся интерполяционной формулой Бесселя:

где g = (x – x₀)/h

h = x_i – x_i_-1 – шаг интерполяции.

x₀– ближайшее меньшее.

Если x = 0,192, то примем x₀ = 0,18. Эта строка будет нулевой.

h = 0,14 – 0,12 = 0,02

Тогда g = (0,192 – 0,18)/0,02 = 0,6.

Ответ: 6,4754.

4. Интерполяционная формула Стирлинга.

Пример: Найти значение функции y(x) при следующих значениях аргумента x = 0,204.

Условия задачи:

x	y(x)
0,12	6,278
0,14	6,405
0,16	6,478
0,18	6,505
0,20	6,436
0,22	6,259
0,24	5,594

Решение:

Составим таблицу конечных разностей.

x	y	Δy	Δ²y	Δ³y
0,12	6,278	0,126	-0,043	-0,022
0,14	6,404	0,083	-0,065	-0,022
0,16	6,487	0,018	-0,087	-0,021
0,18	6,505	-0,069	-0,108	-0,02
0,2	6,436	-0,177	-0,128
0,22	6,259	-0,305
0,24	5,954

При составлении таблицы разностей ограничиваемся разностями третьего порядка, так как они практически постоянны. Для вычисления значения функции при x=0,204 воспользуемся интерполяционной формулой Стирлинга:

где g = (x – x₀)/h

h = x_i – x_i_-1 – шаг интерполяции.

x₀– ближайшее меньшее.

Если x = 0,204, то примем x₀ = 0,20. Эта строка будет нулевой.

h = 0,14 – 0,12 = 0,02

Тогда g = (0,204 – 0,20)/0,02 = 0,2.

Ответ: 6,4099.

Задания для самоконтроля.

x	y(x)	Вариант	Гаусса(1)	Гаусса(2)	Бессель	Стирлинг
1,50	15,132	1)	1,606	1,952	1,725	1,833
1,55	17,422	2)	1,612	1,953	1,727	1,836
1,60	20,393	3)	1,618	1,954	1,729	1,839
1,65	23,994	4)	1,624	1,955	1,731	1,842
1,70	28,160	5)	1,703	1,806	1,753	1,704
1,75	32,812	6)	1,708	1,809	1,755	1,705
1,80	37,587	7)	1,713	1,812	1,757	1,706
1,85	43,189	8)	1,718	1,815	1,759	1,707
1,90	48,689	9)	1,506	1,818	2,005	1,652
1,95	54,225	10)	1,507	1,821	2,009	1,654
2,00	59,653	11)	1,508	2,053	2,013	1,656
2,05	64,817	12)	1,509	2,055	2,017	1,658
2,10	69,550	13)	1,954	2,057	1,654	1,205
		14)	1,958	2,059	1,655	1,207
		15)	1,962	2,061	1,656	1,209
		16)	1,966	2,063	1,657	1,211

Лабораторная работа №15.

Интерполирование функций.

Интерполяционная формула Ньютона для неравноотстоящих узлов.

Пример: вычислить значения функции при заданных значениях аргумента, используя интерполяционную формулу Ньютона для равноотстоящих узлов.

Условия задачи:

x	y
0,103	2,01284
0,108	2,03342
0,115	2,06070
0,120	2,07918
0,128	2,10721
0,136	2,13354
0,141	2,14922
0,150	2,17609

Вычислить значение функции y(x) при x₁ = 0,112 и x₂ = 0,133.

Решение: вычисления производим по формуле

где

; .

Предварительно вычислим необходимые значения разделённых разностей.

x	y	f(x₀, x₁)	f(x₀, x₁, x₂)
0,103	2,01284	4,1160	-18,23810
0,108	2,03342	3,8971	-16,76190
0,115	2,06070	3,6960	-14,78846
0,120	2,07918	3,5037	-13,28125
0,128	2,10721	3,2913	-11,94231
0,136	2,13354	3,1360	-10,74603
0,141	2,14922	2,9856
0,150	2,17609

1) Найдём значение f(0,112) взяв за x₀ = 0,108 (ближайшее меньшее). Эта строка будет нулевой строкой, т.е. y₀ = 2,03342, f₀(x₀, x₁) = 3,8971, f₀(x₀, x₁, x₂) = -16,76190.

f(0,112) = 2,03342 + 3,8971*(0,112 - 0,108) + (-16,76190)*(0,112 - 0,108)*(0,112 - 0,115) = 2,04921.

2) Найдём значение f(0,133) взяв за x₀ = 0,128 (ближайшее меньшее). Эта строка будет нулевой строкой, т.е. y₀ = 2,10721, f₀(x₀, x₁) = 3,2913, f₀(x₀, x₁, x₂) = -11,94231.

f(0,133) = 2,10721 + 3,2913*(0,133 - 0,128) + (-11,94231)*( 0,133 - 0,128)*( 0,133 - 0,136) = 2,12385.

Ответ: f(0,112) = 2,04921,

f(0,133) = 2,12385.

Реализация в среде Excel.

Заполним исходные данные системы как показано на рисунке.

В ячейку A11 вносим значение x₁, в ячейку A12 вносим значение x₂.

Вычисляем первые разделённые разности.

Копируем эту формулу в ячейки C3, C4, C5, C6, C7, C8.

Вычисляем вторые разделённые разности.

Копируем эту формулу в ячейки D3, D4, D5, D6, D7.

Теперь непосредственно определяем значения f(x).

x₁ = 0,112
= 2,04921.
x₂ = 0,133
= 2,12385.

Ответ: f(0,112) = 2,04921,

f(0,133) = 2,12385.

Выполните следующие задания.

1) Заполните таблицу, используя следующие данные:

x	y	x	y
0,298	3,25578	0,308
0,303	3,17639	0,314
0,310	3,12180	0,325
0,317	3,04819	0,312
0,323	2,98755	0,321
0,330	2,91950	0,304
0,339	2,83598	0,299

2) Заполните таблицу, используя следующие данные:

x	y	x	y
0,593	0,532050	0,608
0,598	0,535625	0,615
0,605	0,540598	0,622
0,613	0,546235	0,603
0,619	0,550431	0,610
0,627	0,555983	0,601
0,632	0,559428	0,594

3) Заполните таблицу, используя следующие данные:

x	y	x	y
0,095	1,09131	0,103
0,102	1,23490	0,109
0,104	1,27994	0,098
0,107	1,35142	0,105
0,110	1,42815	0,101
0,112	1,48256

x	y	x	y
0,298	3,25578	0,308	3,139338
0,303	3,17639	0,314	3,079360
0,310	3,12180	0,325	2,967831
0,317	3,04819	0,312	3,100454
0,323	2,98755	0,321	3,007526
0,330	2,91950	0,304	3,169756
0,339	2,83598	0,299	3,237209

x	y	x	y
0,593	0,532050	0,608	0,542722
0,598	0,535625	0,615	0,547641
0,605	0,540598	0,622	0,552522
0,613	0,546235	0,603	0,539185
0,619	0,550431	0,610	0,544131
0,627	0,555983	0,601	0,537766
0,632	0,559428	0,594	0,532769

x	y	x	y
0,095	1,09131	0,103	1,256767
0,102	1,23490	0,109	1,401488
0,104	1,27994	0,098	1,149408
0,107	1,35142	0,105	1,302600
0,110	1,42815	0,101	1,212667
0,112	1,48256