Эффективные алгоритмы численного решения уравнений, систем, расчета производных, интегралов в Scilab

Эффективные алгоритмы численного решения уравнений, систем, расчета производных, интегралов в Scilab

Выполнила

Сачкова Юлия МДМ-213

Scilab - это математическая система для выполнения технических (числовых) расчетов, которая по характеру работы и принципам архитектуры схожа с известной математической системой MATLAB. Основным элементом данных в системе является массив, то есть система с самого начала ориентирована именно на работу с данными в табличном виде.

Пакет поддерживает основные элементарные и множество специальных функций, применяемых в математике. Scilab содержит также мощный набор средств для работы с полиномами - как обычными, так и матричными. Например, имеются операторы для создания полинома с заданными корнями или коэффициентами, вычисления корней полинома (до сотой степени), деления двух полиномов, нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного нескольких полиномов и выполнения десятков других важных операций над полиномами.

Особенностью пакета является то, что он предназначен почти исключительно для реализации численных методов и по умолчанию оперирует с любыми значениями как с числами с плавающей точкой. Если мы введем какое-нибудь целочисленное выражение, например сумму 1 + 2, Scilab возвратит результат в виде числа с плавающей точкой. Для того чтобы система воспринимала подобные выражения как целые числа, необходимо использовать специальные команды.

• Scilab – это система компьютерной математики, которая предназначена для выполнения инженерных и научных вычислений, таких как:
• решение нелинейных уравнений и систем;
• решение задач линейной алгебры;
• решение задач оптимизации;
• дифференцирование и интегрирование;
• задачи обработка экспериментальных данных (интерполяция и аппроксимация, метод наименьших квадратов);
• решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

• Кроме того, Scilab предоставляет широкие возможности по созданию и редактированию различных видов графиков и поверхностей.
• Не смотря на то, что система Scilab содержит достаточное количество встроенных команд, операторов и функций, отличительная ее черта это гибкость. Пользователь может создать любую новую команду или функцию, а затем использовать ее наравне со встроенными.
• К тому же, система имеет достаточно мощный собственный язык программирования высокого уровня, что говорит о возможности решения новых задач.

Решение уравнений

• Для формирования полиномов используется функция poly . Так, для описания из нашего примера обращение к функции poly будет выглядеть следующим образом: g=poly ([-8, 0, 0, 1],'x','c') .
• Последний этап вычисления корней уравнения состоит в вызове встроенной функции Scilab c именем roots (корни, англ.):
• res=roots(g).

• Приведен более короткий вариант реализации того же алгоритма, но теперь уже применительно к решению квадратного уравнения:
• roots ( poly ([-2,-1,1],'x','c')).

• Задание для Scilab выглядит аналогично:
• roots(poly([12, 0, -13, 0, 1],'x','c')).

Решение систем линейных уравнений

• Прежде чем приступить к формированию задачи для Scilab, необходимо привести систему уравнений к виду

• Для нашего примера система будет выглядеть следующим образом:

• Для решения подобных систем уравнений в Scilab существует функция linsolve . Обращение к ней выглядит следующим образом:
• linesolve( K,k ) .

• Общий вид K :

• K=

• Для решаемой системы:

• K=

• Общий вид k : k=

• Для решаемой системы:

Интегрирование в Scilab

• Вычислить определенный интеграл в Scilab можно при помощи функции int (a, b, f) , где а и b —нижний и верхний пределы интегрирования соответственно, f — имя подынтегральной функции.
• Рассмотрим использование функции int на примере вычисления определенного интеграла:

• В данном примере

Вычисление производной в Scilab

• В Scilab можно вычислять производную функции в заданной точке. Вычисление происходит при помощи команды numdiff(f,x 0 ) , где f — имя дифференцируемой функции переменной х, x 0 — координата точки в которой необходимо вычислить производную. Рассмотрим пример применения команды numdiff .
• Вычислим производную функции: