Арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия.

Цель урока:

Формирование понятия арифметической прогрессии как одного из видов последовательностей, вывод формулы n-го члена, знакомство с характеристическим свойством членов арифметической прогрессии. Решение задач.

Задачи урока:

• Образовательные - ввести понятия арифметической прогрессии; формулы n-го члена; характеристическое свойство, которым обладают члены арифметических прогрессий.

• Развивающие - вырабатывать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; сформировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

• Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор

Ход урока

I. Организационный момент, постановка задачи.

Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.

II. Актуализация знаний, устная работа.

Перечислите способы задания числовой последовательности. Определите по записям на доске, какая из последовательностей задана аналитическим, рекуррентным, словесным способом.
Последовательность () задана формулой: =.Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? О последовательности () известно, что , .Как называется такой способ задания последовательности? Найдите первые четыре члена этой последовательности. Дана числовая последовательность натуральных чисел, кратных трём. Найдите несколько первых членов этой последовательности. III. Изучение нового материала

Рассмотрим последовательности чисел: 2, 6, 10, 14, 18, :. 11, 8, 5, 2, -1, :. 5, 5, 5, 5, 5, :.

Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?

Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и шестым?

Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете?

Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство.

Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение.

Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:

( -арифметическая прогрессия, если , где некоторое число.

Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии: .

Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VIв.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин "прогрессия" в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий - арифметическая и геометрическая - сохранили свои названия.

Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?

Если в арифметической прогрессии разность положительна , то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Если в арифметической прогрессии разность отрицательна ( ,то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

В случае, если разность равна нулю () и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5, :.

Как задать арифметическую прогрессию? Рассмотрим следующую задачу.

Задача. На складе 1 числа было 50 тонн угля. Каждый день в течение месяца на склад приходит машина с 3 тоннами угля. Сколько угля будет на складе 30 числа, если в течение этого времени уголь со склада не расходовался.

Если выписать количество угля, находящегося на складе каждого числа, получим арифметическую прогрессию. Как решить эту задачу? Неужели придется просчитывать количество угля в каждый из дней месяца? Можно ли как-то обойтись без этого? Замечаем, что до 30 числа на склад придет 29машин с углем. Таким образом, 30 числа на складе будет 50+329=137 тонн угля.

Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности. Всегда ли это так?

Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности:

…..

Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

Пример 1. Последовательность ()-арифметическая прогрессия. Найдите , если и . Воспользуемся формулой n-ого члена , Ответ: 260.

Рассмотрим следующую задачу: В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, :, 7, :, 13: Можно ли восстановить утраченные числа?

Можно предложить уч-ся найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим.

Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть - искомый член последовательности. Тогда .

Замечание. Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего ( . И, наоборот, любая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего, является арифметической прогрессией.

IV. Первичное закрепление.

Задача. Числовая последовательность задана формулой

Является ли эта последовательность арифметической прогрессией?

Решение.

1-й способ. Поскольку , при всех значениях n, то последовательность является арифметической прогрессией по определению. Из полученной формулы разность этой прогрессии равна 5.

2-й способ. Если последовательность является арифметической прогрессией, то должно выполняться характеристическое свойство:.

, , . Выполнив преобразования в обратную сторону для любого n, получаем, что данная последовательность является арифметической прогрессией. Ответ: является.

Замечание. Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой где k и b -некоторые числа.

Задача. Седьмой член арифметической прогрессии равен 1 и равен разности между четвертым и вторым членами. Найти первый член прогрессии.

Решение. По условию , .Заметим, что ,откуда .

По формуле n-ого члена , откуда Ответ: -2.

V. Подведение итогов урока.

Домашнее задание.

Творческое задание для сильных учеников: Докажите, что в арифметической прогрессии для любых номеров, таких что kвыполняются равенства и .