Ход урока
I. Организационный момент, постановка задачи.
Приветствие.
Закончился XX век,
Куда стремится человек,
Изучен космос и моря,
Строение звезд и вся земля,
Но математиков зовет
Известный лозунг “Прогрессия – движение вперед”. Слайд 1
Девиз нашего урока: “Прогрессия – движение вперед”.
Тема сегодняшнего урока - арифметическая прогрессия. На этом уроке мы узнаем, что такое арифметическая прогрессия, какой общий вид она имеет, выясним, как отличить арифметическую прогрессию от других последовательностей и решим задачи, где используются свойства арифметических прогрессий.
II. Актуализация знаний, устная работа.
Внимание на экран: Слайд 2
Последовательность ( ) задана формулой: =. Какой номер имеет член этой последовательности, если он равен 144? 225? 100? Являются ли членами этой последовательности числа 48? 49? 168?
Открываем тетрадь и записываем классная работа и тему урока «Арифметическая последовательность». Слайд 3
Давайте выполним следующее задание: Слайд 4
О последовательности ( ) известно, что . Как называется такой способ задания последовательности? Найдите, если ?
III. Изучение нового материала. Слайд 5
Термин "прогрессия" имеет латинское происхождение (progression, что означает "движение вперед") и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.
Рассмотрим последовательности чисел: Слайд 6
• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.
Чему равен третий член первой последовательности? Последующий член? Предыдущий член? Чему равна разность между вторым и первым членами? Третьим и вторым членами? Четвертым и третьим?
Если последовательность построена по одному закону, сделайте вывод, какой будет разность между шестым и пятым членами первой последовательности? Между седьмым и шестым?
Назовите два последующих члена каждой последовательности. Почему Вы так считаете?
(Ответы учеников)
Каким общим свойством обладают эти последовательности? Сформулируйте это свойство.
(Ответы учеников)
Числовые последовательности, обладающие этим свойством, называются арифметическими прогрессиями. Предложить учащимся самим попробовать сформулировать определение. Слайд 7
Определение арифметической прогрессии: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом:
( - арифметическая прогрессия, если , где некоторое число.
Число d, показывающее, на сколько следующий член последовательности отличается от предыдущего, называется разностью прогрессии:.
Давайте еще раз посмотрим на последовательности и поговорим о различиях. Слайд 8 Какие особенности есть у каждой последовательности и с чем они связаны?
Если в арифметической прогрессии разность положительна, то прогрессия является возрастающей: 2, 6, 10, 14, 18,… (
Если в арифметической прогрессии разность отрицательна (, то прогрессия является убывающей: 11, 8, 5, 2, -1,… (
В случае, если разность равна нулю ( ) и все члены прогрессии равны одному и тому же числу, последовательность называется стационарной: 5, 5, 5, 5,….
Таким образом, зная только первый член арифметической прогрессии и разность, мы можем найти любой член последовательности.
Проанализируем, как зависит каждый член последовательности от первого члена и разности: (на доске)
,,,,… - арифметическая прогрессия
:::::::::::::
Таким образом, мы получили формулу n-ого члена арифметической прогрессии.
Пример 1. Слайд 9 Последовательность ( )-арифметическая прогрессия. Найдите, если и .
Воспользуемся формулой n-ого члена , .
Ответ: 260.
Рассмотрим следующую задачу: Слайд 10
В арифметической прогрессии четные члены оказались затерты: 3, , 7, , 13: Можно ли восстановить утраченные числа?
Учащиеся, скорее всего, сначала вычислят разность прогрессии, а затем будут находить неизвестные члены прогрессии. Тогда можно предложить им найти зависимость между неизвестным членом последовательности, предыдущим и последующим.
Решение: Воспользуемся тем, что в арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна. Пусть - искомый член последовательности. Тогда
.
Данное свойство арифметической прогрессии является ее характеристическим свойством. Это означает, что в любой арифметической прогрессии каждый член, начиная со второго равен среднему арифметическому предыдущего и последующего (.
IV. Первичное закрепление.
• задание на экране – устно Слайд 11
• № 576 авд - в тетради
• задание на экране - самостоятельно на бланках для ответов Слайд 12 ответы1) 32, 2) -24,2
Физминутка
Пришло время немного отдохнуть. Посмотрите пожалуйста по сторонам. По всему кабинету расставлены числовые выражения. Я буду вам называть число, а вы должны указать мне то числовое выражение, значением которого является данное число.
3,6; 18,2; 15,5; 6,3; 6,6 Слайды 13-17
№ 580 а
Найдите 23-й и n-ый члены арифметической прогрессии -8; -6,5; ….
Решение: Первый член арифметической прогрессии равен -8. Найдем разность арифметической прогрессии, для этого надо из последующего члена последовательности вычесть предыдущий: -6,5-(-8)=1,5.
Воспользуемся формулой n-ого члена:
Ответ: 25.
№584 а
Найдите первый член арифметической прогрессии ( ), если
Решение. Воспользуемся формулой n-ого члена, записав ее для тридцатого члена последовательности:
Подставив известные значения, получаем: 128 =
,
.
Ответ: 12.
V. Подведение итогов урока.
Вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок узнать что-то новое, сделать какие-то открытия? Что вам больше всего запомнилось? Где возникли трудности?
VI. Домашнее задание. Слайд 18
Пункт 25, № 578, № 580б, №584б.
Спасибо за урок, ребята. Вы сегодня хорошо потрудились.
