9 кл Степенная функция

9 класс 17.10.16

Степенная функция

Цели урока:

Обучающая:

• познакомить учащихся со степенными функциями и их свойствами,

• учить навыку применения свойств функций в решении уравнений графическим способом и в сравнении чисел.

Развивающая:

• развитие индуктивных и дедуктивных навыков мышления.

Воспитательная:

• привитие навыков активной учебной деятельности.

Формы работы на уроке:

• коллективная,

• устная,

• письменная.

Структура урока:

1. Организационный момент

2. Самостоятельная работа

3. Проверка домашнего задания

4. Изучение нового материала

5. Применение изученного материала

6. Подведение итогов урока

Ход урока

Самостоятельная работа

Вариант №1

1. Постройте график функции y=2x3−2.
По графику найдите:
а) Значение функции при значении аргумента равном -3.
б) Значение аргумента, если значение функции равно -1. 
в) Решите неравенство y0. 

Вариант №2

1. Постройте график функции y=−2x3+2.
По графику найдите:
а) Значение функции при значении аргумента равном 3.
б) Значение аргумента, если значение функции равно 1. 
в) Решите неравенство y0. 

Работа в группах

Функцию у = хn (где х - независимая переменная, n - натуральное число) называют степенной функцией с натуральным показателем. Частные случаи такой функции для n = 1, 2, 3 (т. е. у = х, у = х2, у = х3) мы уже рассматривали. Известны свойства и графики этих функций. Теперь необходимо обсудить свойства и график степенной функции при любом натуральном n. Эти характеристики существенно различаются в зависимости от четности или нечетности числа n.

Приведем свойства функции у = хn при четном n (они аналогичны свойствам функции у = х2):

1. Область определения функции - промежуток (-∞; ∞).

2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

3. Если х ≠ 0, то у 0. Следовательно, график функции расположен в первой и второй координатных четвертях.

4. Функция четная: у(-х) = у(х). Поэтому график функции симметричен относительно оси ординат.

5. Функция возрастает в промежутке [0; +∞) и убывает в промежутке (-∞; 0]. Наименьшее значение у = 0 функция принимает при х = 0, наибольшего значения функция не имеет.

6. Функция ограничена снизу, у ≥ 0.

7. Область значений функции - промежуток [0; +∞).

8. График функции представлен на рис. а.

Рассмотрим также свойства функции у = хn при нечетном n (они аналогичны свойствам функции у = x3):

1. Область определения функции - промежуток (-∞; +∞).

2. Если х = 0, то у = 0. Поэтому график функции проходит через начало координат.

3. Если x y  0, то у 0. Следовательно, график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.

4. Функция нечетная, у(-х) = -у(х). Поэтому график функции симметричен относительно начала координат.

5. Функция возрастает на всей области определения.

6. Функция неограниченная.

7. Область значений функции - промежуток (-∞; +∞).

8. График функции представлен на рис. б.

Пример 1

Дана функция f(х) = x3. Вычислим выражение f(3) – 4f(2) + 7f(1).

Чтобы найти значение функции при данном значении аргумента, надо подставить этот аргумент в формулу, задающую функцию, и выполнить действия.

Получаем: f(3) – 4f(2) + 7f(1) = 33 - 4 · 23 + 7 · 13 = 27 - 4 · 8 + 7 · 1 = 27 - 32 + 7 = 2.

Пример 2

Сравните числа.

а) (-3,2)4 и (-1,8)4; б) 2,44 и 2,74; в) (-6,5)3 и (-4,8)3; г) 2,83 и 4,13.

При решении подобных задач учитывают монотонность соответствующей функции.

Рассмотрим функцию f(x) = х4. Эта функция убывает на промежутке (-∞; 0].

Так как -3,2 f(-3,2)  f(-1,8), или (-3,2)4 (-1,8)4. На промежутке [0; +∞) эта функция возрастает. Так как 2,4 f(2,4) f(2,7), или 2,44

Теперь рассмотрим функцию g(x) = x3. Такая функция возрастает на всей области определения.

Так как -6,5 g(-6,5) g(-4,8) и g(2,8) g(4,1), или (-6,5)3

Пример 3

Построим график функции у = (x - 1)3 + 1.

Учтем ранее изученные способы преобразования графиков. График функции у = (x - 1)3 + 1 получается сдвигом графика функции у = х3 на одну единицу вправо и на одну единицу вверх.