Учебное пособие по теме "Комплексные числа"

ЗАПАДНЫЙ ФИЛИАЛ

Калининград 2014

Утверждено: на заседании ПЦК «Общеобразовательных дисциплин» Протокол № от 00.00 20___г. Председатель ПЦК _________________Н.В.Горская

Автор: Осадченко И.А. преподаватель Западного филиала

Академии народного хозяйства Государственной службы при Президенте Российской Федерации

Рецензенты: А.С. Касаткина, преподаватель Западного филиала

Академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации

Оглавление

Введение 4

Историческая справка 6

Великие математики, открывшие комплексные числа и их свойства 6

История комплексных чисел 6

Общие сведения 7

Основные определения. Операции над комплексными числами 9

Решение квадратных уравнений 11

Геометрическая интерпретация комплексных чисел 14

Тригонометрическая форма комплексного числа 15

Комплексные числа и векторы 17

ЛИТЕРАТУРА 20

Введение

Математика – самая древняя наука, живущая и развивающаяся вместе с человечеством. Она появилась из насущных нужд человека, когда возникла потребность в количественном отображении окружающего его мира.

Статус самостоятельной науки математика приобрела в Древней Греции примерно в VI в. До н. э. Все философские школы того времени включали математику в круг вопросов миросозерцания; строгий язык формальной логики (именно он стал языком математики ) формировал уровень и строй мышления. В III в. до н. э. математика выделилась из философии, что отражено в « Началах » - эпохальном труде, прославившем в веках имя Евклида и заложившей фундамент классической геометрии. Более двух тысяч лет математику изучали по этой книге

XVII в. стал эпохой бурного развития математики. Труды Декарта, Ньютона и Лейбница ознаменовали новый этап ее эволюции появление математики переменных величин. Начинается период дифференциации единой науки на ряд самостоятельных математических наук: алгебру, математический анализ, аналитическую геометрию.

Современная математика характеризуется интенсивным проникновением в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики оказался универсальным, и это есть объективное отражение универсальности законов окружающего нас многообразного мира.

Экономика, как наука об объективных причинах функционирования и развития общества, еще со времен Луки Пачоли (основателя бухгалтерского дела в XV в.) и Адама Смита пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число математических методов. Современная экономика использует практически весь аппарат прикладной математики.

Современная концепция среднего и высшего образования достаточно полно реализует специфику изучения математических дисциплин. Цикл математических дисциплин для различных специальностей согласно Государственному стандарту высшего и среднего профессионального образования состоит из ряда взаимосвязанных разделов с иллюстрацией их применения в экономике. К ним относятся математический анализ, линейная алгебра, теории комплексных чисел и ее приложения в задачах оптимизации, обыкновенные дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика. Именно эти разделы и их приложения вошли в настоящее учебное пособие.

В изложении материала доказательная база практически отсутствует: основное внимание уделено приобретению навыков использования математического аппарата. Все разделы пособия содержат подборку упражнений для самостоятельного выполнения. Кроме того, в книге имеется практикум с разделами по каждой теме.

В пособие вошли материалы, прошедшие проверку при преподавании дисциплины математика в колледже для различных форм обучения.

При изложении материала используется как сложившаяся терминология, так и традиционные обозначения в формулировках задач и математических моделей и решения.

Предлагаемое учебное пособие рассчитано на самую широкую аудиторию – студентов различных специальностей в колледже. Он может быть использован в различных формах обучения по программам среднего специального образования: очной, заочной, а также для студентов, имеющих «свободное» посещение, при написании курсовых и дипломных работ.

Историческая справка

Великие математики,
открывшие комплексные числа и их свойства

Кардано	Бомбелли	Декарт
Муавр	Гаусс	Эйлер

История комплексных чисел

В связи с развитием алгебры, математикам потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел, числа нового рода. Комплексные числа.

Итальянский математик Кардано в середине 16-ого века для решения кубических уравнений ввел квадратные корни из отрицательных чисел. Квадратные корни из отрицательных чисел он назвал софистическими, т.е. мудреными.

Решения уравнений третьей степени по формулам Кардано исследовал итальянский математик Бомбелли. Он обнаружил некоторые свойства комплексных чисел.

Французкий математик Декарт в 30-х годах 17-ого века ввел наименование мнимые числа, которое применяется по сей день.

В противоположность мнимым числам прежде известные числа (положительные и отрицательные, в том числе иррациональные) стали называть действительными или вещественными.

Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом. Это термин впервые ввел немецкий математик и астроном Гаусс в 1831-ом году.

В 18-ом веке крупнейшие математики мира спорили о том, как находить логарифмы комплексных чисел. Хотя с помощью комплексных чисел удалось получить много важных фактов, относящихся к действительным числам, но само существование комплексных чисел многим казалось сомнительным.

В 1707-ом году Муавр открыл формулу Муавра для возведения в степень (и извлечения корней) комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Исчерпывающие правила действий с комплексными числами дал в середине 18-ого века русский академик Эйлер.

На рубеже 18 и 19 веков было указано Весселем (Дания) и Арганом (Франция) геометрическое изображение комплексных чисел. Но на работы Весселя и Аргана не обратили внимания, и лишь в 1831г., когда тот же способ был развит великим математиком Гауссом, он стал всеобщим достоянием.

Комплексные числа

стр. 48

Общие сведения

Введение

Начнем с нескольких напоминаний.

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a  0) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a.

Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида x² = 2. На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно, – число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение x² = 2 разрешимо, оно имеет два решения x₁ = и x₂ = – .

И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение x² = – 1 на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение.

Вспомним о едином принципе расширения числовых систем и поступим в соответствии с этим принципом.

Если множество А расширяется до множества В, то должны быть выполнены следующие условия:

1. Множество А есть подмножество В.
2. Отношения элементов множества А (в частности, операции над ними) определяются также и для 
элементов множества В; смысл этих отношений для элементов множества А, рассматриваемых уже как элементы множества В, должен совпадать с тем, какой они имели в А до расширения.
3. В множестве В должна выполняться операция, которая в А была невыполнима или не всегда выполнима.
4. Расширение В должно быть минимальным из всех расширений данного множества А, обладающих первыми тремя свойствами, причем это расширение В должно определяться множеством А однозначно (с точностью до изоморфизма).

Итак, расширяя множество действительных чисел до множества новых чисел, названных комплексными, необходимо, чтобы:

а) комплексные числа подчинялись основным свойствам действительных чисел, в частности, коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам;
б) в новом числовом множестве были разрешимы любые квадратные уравнения.

Множество действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому, расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение x² = – 1 не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится такой специальный символ i, называемый мнимой единицей, квадрат которого равен – 1.

Ниже будет показано, что введение этого символа позволит осуществить расширение множества действительных чисел, пополнив его мнимыми числами вида bi (где b – действительное число) таким образом, чтобы в новом числовом множестве (множестве комплексных чисел) при сохранении основных законов действительных чисел были разрешимы любые квадратные уравнения.

Основные определения. Операции над комплексными числами

1. Существует элемент i (мнимая единица) такой, что i² = – 1.

2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.

Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b  0) называют чисто мнимыми.

Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.

Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.

3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.

4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

Например:

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i =

= – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.

Например:

(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

5. Правило умножения комплексных чисел.

(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.

Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i² = – 1.

Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi² = (ac – bd) + (ad + bc)i.

Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i² = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i;  (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел a + bi и a – bi, называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:

(a + bi)(a – bi) = a² – abi + abi – b²i² = a² + b².

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.

Например:  5i•3i = 15i² = – 15; – 2i•3i = – 6i² = 6,  и вообще   bi•di = bdi² = – bd.

6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di  0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

.

Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c² + d² = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Например,

Опираясь на введенные определения нетрудно проверить, что для комплексных чисел справедливы коммутативный, ассоциативный и дистрибудивный законы. Кроме того, применение операций сложения, умножения, вычитания и деления к двум комплексным числам снова приводит к комплексным числам. Тем самым можно утверждать, что множество комплексных чисел образует поле. При этом, так как комплексное число a + bi при b = 0 отождествляется с действительным числом a = a + 0i, то поле комплексных чисел включает поле действительных чисел в качестве подмножества.

Приведем классификацию комплексных чисел:

Решение квадратных уравнений

Одна из причин введения комплексных чисел состояла в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения, в частности уравнения

x² = – 1.

Покажем, что расширив поле действительных чисел до поля комплексных чисел, мы получили поле, в котором каждое квадратное уравнение разрешимо, т.е. имеет решение. Так, уравнение x² = – 1 имеет два решения:   x₁ = i, x₂ = – i.

Это нетрудно установить проверкой:    i•i = i² = – 1, (– i)•(– i) = i² = – 1.

Перейдем теперь к вопросу о решении полного квадратного уравнения. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

ax² + bx + c = 0 (a  0),

где x – неизвестная, a, b, c – действительные числа, соответственно первый, второй коэффициенты и свободный член, причем a  0. Решим это уравнение, выполнив над ним ряд несложных преобразований.

· Разделим все члены уравнения на a  0 и перенесем свободный член в правую часть уравнения:  

К обеим частям уравнения прибавим выражение   с тем, чтобы левая его часть представляла полный квадрат суммы двух слагаемых: 

Извлечем корень квадратный из обеих частей уравнения:  

Найдем значения неизвестной:  

Теперь можно исследовать полученное решение. Оно зависит от значения подкоренного выражения, называемого дискриминантом квадратного уравнения. Если  b² – 4ac 0, то  есть действительное число и квадратное уравнение имеет действительные корни. Если же  – мнимое число, квадратное уравнение имеет мнимые корни.

Результаты исследования представлены ниже в таблице:

Итак, введение комплексных чисел позволяет разработать полную теорию квадратных уравнений. В поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение.

Примеры.

1. Решите уравнение x² – 2x – 8 = 0.

Решение. Найдем дискриминант  D = b² – 4ac = (– 2)² – 4•1•(– 8) = 36 0.

Уравнение имеет два действительных корня:  

2. Решите уравнение x² + 6x + 9 = 0.

Решение. D = 6² – 4•1•9 = 0, уравнение имеет два равных действительных корня: 

3. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = 16 – 4•1•5 = – 4

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (положительные и отрицательные температуры, передвижения в противоположных направлениях, прибыль и долг и т.п.). Однако еще в ХVI веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же «равноправными» и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело с комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости. Подобным образом было установлено соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.

На рисунке 1 изображена координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости; числу 2 – 3i – точка B(2, – 3); числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3); числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3). Числу 3i соответствует точка E(0, 3); а числу – 3i – точка F(0, – 3). Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости. Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y  0 – точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox – действительной. Сопряженным комплексным числам соответствуют точки, симметричные относительно оси абсцисс (рис. 2).

Тригонометрическая форма комплексного числа

Точка координатной плоскости, соответствующая комплексному числу z = x + yi, может быть указана по-другому: ее координатами могут быть расстояние r от начала координат и величина угла j между положительной полуосью Ox и лучом Oz (рис. 3).

Расстояние r от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу z, называют модулем этого числа. Тогда по теореме Пифагора (рис. 2) имеем:   r² = x² + y² = (x + yi)(x – yi) = z•z.

Отсюда найдем модуль комплексного числа как арифметическое (неотрицательное) значение корня: 

Если комплексное число z изображается точкой оси абсцисс (т.е. является действительным числом), то его модуль совпадает с абсолютным значением. Все комплексные числа, имеющие модуль 1, изображаются точками единичной окружности – окружности с центром в начале системы координат, радиуса 1 (рис. 4).

Угол  между положительной полуосью Ox и лучом Oz называют аргументом комплексного числа z = x + yi (рис. 3).

Сопряженные комплексные числа  имеют один и тот же модуль    и аргументы, отличающиеся знаком:  = – .

В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Аргумент одного и того же комплексного числа может иметь бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 360°. Например, число z (рис. 3) имеет модуль r, аргумент же этого числа может принимать значения j;  + 360°;  + 720°;  + 1080°; … или значения  – 360°;  –720°;  – 1080°; … Данное значение модуля r и любое из приведенных выше значений аргумента определяют одну и ту же точку плоскости, соответствующую числу z.

Пусть точке с координатами (x; y) соответствует комплексное число z = x + yi. Запишем это комплексное число через его модуль и аргумент. Воспользуемся определением тригонометрических функций синуса и косинуса (рис. 3):

x = r cos ; y = r sin .

Тогда число z выражается через модуль и аргумент следующим образом:  z = x + yi = r(cos  + i sin ).

Выражение z = r(cos  + i sin ) называют тригонометрической формой комплексного числа, в отличии от выражения z = x + yi, называемого алгебраической формой комплексного числа.

Приведем примеры обращения комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую:

Для числа i имеем r = 1,  = 90°, поэтому   i = 1(cos 90° + i sin 90°);

Для числа – 1 имеем r = 1,  = 180°, поэтому  – 1 = 1(cos 180° + i sin 180°);

Для числа 1 + i имеем  поэтому 

Для числа  имеем r = 1,  = 45°, поэтому 

Для числа  имеем r = 2,  = 120°, поэтому  

Справедливость приведенных равенств нетрудно проверить путем подстановки в их правой части числовых значений тригонометрических функций. Итак, для того, чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме, обратить в тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль r и аргумент j, пользуясь формулами:

Комплексные числа и векторы

Существует и другой способ геометрической интерпретации комплексных чисел. Каждой точке (x , y) координатной плоскости, изображающей комплексное число 
z = x + yi, соответствует единственный вектор, отложенный от начала системы координат и обратно (рис. 5). При этом двум различным точкам координатной плоскости будут соответствовать два таких различных вектора.

Таким образом, может быть установлено взаимно однозначное соответствие между множеством точек координатной плоскости (комплексными числами) и множеством векторов, отложенных от начала системы координат.

Если z = x + yi (рис. 5), то вектор , отложенный от начала системы координат до точки, изображающей число z, будет иметь координаты (x; y). Известно, что равные векторы имеют равные координаты.

Итак, мы рассмотрели два способа интерпретации комплексных чисел: их можно изображать либо точками координатной плоскости, либо векторами, отложенными от начала системы координат. При этом любые два равных вектора (имеющих одно и то же направление и равные длины) изображают одно и то же комплексное число, а векторы, отличные либо длиной, либо направлением, изображают разные числа. На рисунке 6 с помощью векторов изображены различные комплексные числа: изображает число 2 + 0i;  – число – 3 + 0i; – число 0 + i;    – число 0 + 2i; – число 0 – 3i; – число 3 + 2i; – число – 1 – 2i.

Ясно, что любой ненулевой вектор, лежащий на оси Oy (или параллельный ей), изображает чисто мнимое число yi, причем y 0, если направление вектора совпадает с направлением оси, y

Векторная интерпретация комплексных чисел позволяет уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами. Например, сумма двух комплексных чисел 2 + i и 1 + 4i равна 3 + 5i. Каждое из слагаемых изображает соответствующий вектор, отложенный от начала O координат (рис. 7):

= 2 + i; = 1 + 4i.

Сумма этих векторов – вектор = 3 + 5i, изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах и .

Для того, чтобы лучше уяснить себе геометрический смысл умножения двух комплексных чисел, воспользуемся их тригонометрической формой. Пусть векторы изображают соответственно комплексные числа:

соответственно модули этих чисел, а ₁ и ₂ – их аргументы. Найдем произведение этих чисел:

z₁z₂ = r₁r₂(cos₁ + i sin ₁)(cos ₂ + i sin ₂) = r₁r₂(cos ₁cos ₂ – sin ₁ sin ₂) + i = (cos ₁sin ₂ + sin ₁cos ₂).

Воспользуемся известными из школы теоремами сложения синуса и косинуса:

cos ₁cos ₂ – sin ₁ sin ₂ = cos(₁ + ₂);

cos ₁sin ₂ + sin ₁cos ₂ = sin(₁ + ₂).

Тогда произведение данных комплексных чисел равно комплексному числу:

z₁z₂ = r₁r₂(cos(₁ + ₂) + isin(₁ + ₂)).

Последнее соотношение позволяет сформулировать правило умножения комплексных чисел: при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются. Это проиллюстрировано на рисунке 8.

Ясно, что произведение комплексных чисел связано с поворотом (вращением). Так, произведение z₁z₂ изображается вектором  представляющим собой образ вектора  , повернутого на угол ₂ (или образ вектора  , повернутого на угол ₁), при этом модуль вектора равен произведению модулей данных векторов.

Связь произведения комплексных чисел с вращением становится более наглядной, если рассматривать произведение различных комплексных чисел (векторов) на комплексное число i, у которого модуль равен 1, а аргумент 90°. Например, найдем произведение комплексных чисел z₁ = 1 + i и z₂ = i.

z = z₁z₂ = (1 + i)i = i + i² = – 1 + i.

Числа z₁ и z₂ соответственно изображают векторы и (рис.9). Мы видим, что модуль комплексного числа z равен модулю числа z₁:

Аргумент же комплексного числа z равен 45° + 90° = 135°, в то время, как аргумент комплексного числа z₁ равен 45°. Т.е. вектор , изображающий число z, есть образ вектора , изображающего число z₁ при повороте на 90°.

ЛИТЕРАТУРА

1. Афанасьев и др. Сборник задач по математике для техникумов. Москва: Наука, 2002.

2. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Введение в теорию вероятностей. Москва: Наука, 2001.

3. Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Москва: Высшая школа, 2007.

4. Карасев, Савельева, Аксютин. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. Москва: Наука,2003.

5. Кудрявцев В., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. Москва: Наука, 1983.

6. Кузнецов А.В., Кузнецова Д.С., Шишкина Сборник задач и уравнений по высшей математике. Минск: Высшая школа, 2005г.

7. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. «Высшая математика. Математическое программирование», Москва: Высшая школа, 2004г.

8. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. «Математика». Москва: Высшая школа, 2005 г.

9. Микорский. «Сборник задач по высшей математике». Москва: Наука, 2009г

10. Слободская В.А. «Краткий курс высшей математики». Москва: Высшая школа, 2009 г.

11. Щипачев В.С. «Сборник задач по высшей математике». Москва: Высшая школа.2001г.

12. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:2006.

13. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – Минск, 2008.

14. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М., 2007.