"Тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдары"

«Тригонометрия» сөзі грек сөзінен шыққан: «тригонон» - үшбұрыш және «метриезис» - өлшеу . оның негізгі міндеті үшбұрыштарды өлшеу, оның белгілі шамалары арқылы белгісіздерін табу. Тригонометрияда үшбұрыштың қабырғалары арқылы бұрышын табуға, ауданы мен екі бұрышы бойынша қабырғаларын табуға т.с.с. есептер шығарылады. Геометрияның кез келген есебін үшбұрыштарды шешуге келтіруге болады, яғни тригонометрия планиметрия мен стереометрияны кең қамтиды және жаратылыстану мен техниканың барлық салаларында қолданылады.

Айнымалысы тригонометриялық функция таңбасының астында болатын теңдеулер тригонометриялық теңдеулер деп аталады. Мысалы:

2sinx – 1 = 0, 5sin²x – 3 sinx cosx – 2cos²x = 0,

sin⁴x + coas⁴x = 7/8 , т.с.с.

Тригонометриялық теңдеулерді шешуде белгісіз шаманың қандай да бір тригонометриялық функциясының мәнін табуға ұмтылады. Бұдан белгісіз шаманың өзін табуға болады. Бір теңдеуді әртүрлі тәсілдермен шешуге болады, онда тригонометриялық өрнектерді түрлендіру формулалары пайдаланылады. Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру кезінде оларды мәндес теңдеуге ауыстыру қажет. Кей жағдайларда шыққан теңдеулердің мәндес болатынына анық көз жеткізу мүмкін болмайды, бөгде түбірлер пайда болуы мүмкін. ( мысалы, теңдеудің екі бөлігін де квадраттаған жағдайда), онда алынған түбірлерді тексеру қажет. Ал теңдеудің түбірлерін жоғалту қаупі болған жағдайларда қандай түбірлерді жоғалтатынымызды және олардың шын мәнінде жоғалатынына көз жеткізу керек.

Мысалы:

tgx = 2sinx

теңдеуі берілсін. Берілген теңдеуді түрінде жазайық. Егер теңдеудің екі бөлігін де –ке бөлсек, онда теңдеуі шығады. Ол берілген теңдеуге мәндес емес; теңдеуінің шешімі жоғалды. Берілген теңдеуді басқаша шешейік: 2sinx-ті теңдіктің сол жағына шығарып, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарайық, сонда

теңдеуі берілген теңдеумен мәндес болады. Ол мына жағдайларда орындалады:

1. ,

х

Біз барлық түбірлерін алдық.

Тригонометриялық теңдеулердің әр түрлі типтерін шешу оларды қарапайым түрге келтіру арқылы жүзеге асырылады. Бұл жағдайларда теңдеулерді шешу үшін қолданылатын жалпы ережелер сақталады.

Тригонометриялық теңдеулердің түбірлері өте көп, сондықтан оларға жалпы классификация жасауға немесе жалпы шешу әдісін көрсету мүмкін емес. Сондықтан осы баяндамада олардың кейбір типтерін шешу әдістерін қарастырамыз.

1. теңдеуі

х

-

Жеке жағдайлар:

sin x = 1

.

-1,

=0 , =0

1. теңдеуі

cos x = 1

.

-1,

=0 , =0

1. tgх = теңдеуі

бұл теңдеудің кез келген а үшін шешімі бар.

1. Бір аргументтің бір функциясына келтіру тәсілі.

Көп жағдайда тригонометриялық теңдеулерді шешу элементар теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Сондай теңдеулер ішінде сол жағы бір ғана тригонометриялық функциялардан тұратын теңдеулерді қарастырайық.

²x +5sin x +c = 0

tg⁴x + a tg² x + b = 0

a cos³x – b cos x=0 т.с.с.

мысалы: 2sin²x + 5 sinx -3 = 0

шешуі: sinx = y ауыстыруын жасаймыз.

2у² + 5у-3=0

D= 25+4*2*3=25+24=49

y_1.2= _; y₁=-3 , y₂ =1/2

-3 шешімі жоқ

=1/2 ,

Бір аргументтің функциясына келтірілетін теңдеулердің кейбір типтері

1. a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0

a b c cos²x мүшелеп бөлсек, cosx

at² + bt +c = 0

Мысал: 5sin²x -3 sinx cosx -2 cos²x = 0

Шешуі: Берілген теңдеу бір текті тригонометриялық теңдеу. Оны шешу үшін берілген теңдеуді cos²x-ке мүшелеп бөлеміз, сонда

5tg²х -3tgх -2 = 0 теңдеуі шығады. tgх =y деп ауыстыруын жасасақ,

5у² -3у -2 = 0

D= 9+4*5*2 = 9+40=49

y_1.2= _; y₁=1 , y₂ =-2/5

tgх =1

tgх =-2/5

Жауабы:

1. Көбейткіштерге жіктеу тәсілдері

f0 теңдеуінің сол жағы көбейткіштерге жіктелетін болса, онда әрбір көбейткішті нольге теңестіріп, шыққан теңдеуді шешеміз де, олардың шешімдерінің бірігуін табамыз.

Мысалдар: 1.

2. sin7x – cos4x = sinx

(sin7x – sinx) – cos4x = 0

2sin3xcos4x – cos4x=0

cos4x (2sin3x - 1)=0

cos4x=0 және 2sin3x – 1=0

x₁=

x₂=^n.

Жауабы: ^n.

Төмендегідей типті теңдеулерді қарастырайық:

а) sinx = sin

б) cosx =cos

в) sinx = cos

- кез келген нақты сан, ,

sinx = sin

sinx – sin = 0

2sin

sin

шешімдері:

х_{1 ,} х₂ n

1. Рационал тригонометриялық теңдеулерду шешу

Құрамында sinx және cosx бар рационал теңдеулер тригонометриялық рационал теңдеулер деп аталады.

R(sinx, cosx)=0

pационал тригонометриялық теңдеу болып табылады, себебі = және =

pационал тригонометриялық теңдеу болмайды.

cosx + sinx = pационал тригонометриялық теңдеу

Бұл теңдеулерді универсал ауыстыру тәсілі арқылы шешеміз. Онда :

tg

R() = 0

Көмекші аргументті енгізу тәсілі.

asinx +bcosx+c = 0 теңдеуін қарастырайық.

 Мұндағы . Оны былай жазамыз:

A= ,

Asinsin

1. Көбейтіндіні қосындыға немесе айырмаға түрлендіру тәсілі

sinsin

coscos

sinsin

coscos

Мысал: sin3xsin9x=sin5xsin7x

Шешуі:

-2sin4xsin2x=0

sin4x=0 sin2x=0

х_{1 ,} n х₂ n

Жауабы:n