Случайные события

12

Содержание

Введение	2
1. Основная часть	3-10
1.1. Классификация событий	3-4
1.2. Сравнение шансов	4-5
1.3. В худшем случае	5-6
1.4. Эксперименты со случайными исходами	6-7
1.5. Общее представление о теории вероятностей	7-8
1.6. Решение задач	8-10
Заключение	11
Список литературы	12

Введение

Всем правит случай.

Знать бы еще, кто правит случаем.

Станислав Ежи Лец

Исход многих явлений в жизни заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией о них мы не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называют случайными.

Актуальность моей работы заключается в том, что со случайностью мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная находка, случайная ошибка.

В жизни мы довольно часто говорим: «это невероятно», «более вероятно, что…», «это маловероятно», «можно утверждать со 100% вероятностью…» и т.д., когда пытаемся спрогнозировать наступление того или иного события. При этом мы обычно опираемся на интуицию, жизненный опыт или здравый смысл. Но часто такие оценки оказываются недостаточными, и бывает важно знать, на сколько или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого.

Раздел математики, посвященный исследованию количественных оценок случайных событий, называют теорией вероятностей. Мне захотелось познакомиться с элементами этой теории.

Предметом исследования являются элементы теории вероятности.

Объект исследования – случайные события.

Гипотеза исследования: существуют закономерности при наступлении случайных событий и возможно оценить вероятность наступления случайного события.

В связи с выдвинутой гипотезой определены цель и задачи исследования.

Цель исследования:

познакомиться со случайными событиями, научиться определять шансы их наступления и сравнивать шансы различных случайных событий.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи.

1. Изучить различную литературу по теме «Случайные события».

2. Научиться определять вид событий.

3. Научиться сравнивать шансы наступления случайных событий.

4. Провести эксперименты, проанализировать и обобщить информацию, полученную в результате экспериментов.

5. Познакомиться с классическим определением вероятности.

6. Научиться решать задачи на определение вероятности того или иного события.

Классификация событий

Известно, что события бывают трех видов: достоверное, невозможное и случайное.

Определение №1. Событие, которое при данных условиях обязательно произойдет, называется достоверным.

Например, в нормальных атмосферных условиях при 0^о С вода замерзает, а при 100^о С закипает, такие события считают достоверными.

Определение №2. Событие, которое в данных условиях никогда не произойдет, называется невозможным.

Например, невозможно в обычных условиях не вылить воду перевернув стакан вверх дном или невозможно проиграть в беспроигрышную лотерею.

Определение №3. Событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Например, купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть, на выборах может победить один кандидат, а может и другой.

Определение №4. Случайные события, которые имеют равные шансы, называют равновозможными или равновероятными.

Например, равновероятным является выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании игрального кубика, орла или решки при бросании монеты.

Но не все события являются равновозможными, бывают события маловероятные и более вероятные.

Например, может не зазвонить будильник, перегореть лампочка, сломаться автобус, но в обычных условиях это маловероятные события. Более вероятно, что будильник зазвонит, лампочка загорится, автобус поедет.

Пример №1. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем не глядя один за другим 4 шара.

Какие из следующих событий невозможные, достоверные, случайные:

А: все вынутые шары одного цвета;

В: все вынутые шары разного цвета;

С: среди вынутых шаров есть шары разного цвета;

D: среди вынутых шаров есть шары всех трех цветов?

Решение.

событие А – невозможное: нельзя вытащить из коробки 4 шара одного цвета, так как в коробке их по 3 каждого цвета;

событие B – невозможное: разных цветов не может быть больше 3, а вынутых шаров – 4;

событие С – достоверное: все 4 шара, как мы уже установили, не могут быть одного цвета, поэтому среди них обязательно окажутся шары разных цветов;

событие D – случайное: можно вынуть 4 шара, среди которых есть шары всех 3 цветов, а можно и не вынуть.

Пример №2. Трое мужчин, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они уже в темноте и разобрали свои шляпы наугад

Какие из следующих событий невозможные, достоверные, случайные:

А: каждый надел свою шляпу;

В: все надели чужие шляпы;

С: двое надели чужие шляпы, а один – свою;

D: двое надели свои шляпы, а один – чужую?

Решение.

событие А – случайное: мужчины могли надеть каждый свою шляпу, а могли надеть и не свои;

событие B – случайное: мужчины могли надеть каждый свою шляпу, а могли надеть и не свои;

событие С – случайное;

событие D – невозможное, так как в гардеробе всего 3 шляпы.

Сравнение шансов

У одних случайных событий шансов произойти больше, значит они более вероятные – ближе к достоверным, а у других событий шансов меньше, они менее вероятные – ближе к невозможным.

Но достоверные и невозможные события встречаются в жизни довольно редко, можно сказать, что мы живем в мире случайных событий.

Поэтому мне захотелось узнать, можно ли найти какие-то закономерности в мире случайного?

Можно ли оценить шансы наступления интересующего меня случайного события?

Рассмотрим следующий пример:

Будем бросать игральный кубик. Выясним, каковы шансы наступления следующих событий:

А: выпадет четное число очков;

В: выпадет меньше 10 очков;

С: выпадет 5 очков;

D: выпадет 7 очков.

Решение.

Будем рассуждать так

Четное число очков – на 3 из 6 граней кубика, значит, есть 3 шанса из 6, что событие А произойдет.

Событие В достоверное, так как сколько бы ни выпало очков при бросании кубика, их точно будет меньше 10. Таким образом у события В есть все шансы произойти.

При бросании кубика из 6 возможных исходов, только в одном случае выпадет 5 очков, значит у события С только 1 шанс из 6.

Событие D – невозможное, так как 7 очков выпасть не может, значит у события D нет никаких шансов.

Теперь можно перечислить рассмотренные события в порядке увеличения их шансов: D, C, A, B. Чем больше шансов, тем вероятнее будет соответствующее случайное событие. Например, событие А вероятнее события С.

Конечно, не всегда можно подсчитать шансы наступления того или иного события, как мы это сделали в предыдущем примере.

Часто шансы оценивают на основе имеющихся данных жизненного опыта.

Например, шансы события «бутерброд падает маслом вниз» не подсчитаешь, но здесь вполне можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд чаще всего падает именно маслом вниз. Значит, это весьма вероятное событие.

Пример №3. Сравнить между собой на основе опыта общения по телефону шансы следующих случайных событий и определить, какие их них более вероятны:

А: вам никто не позвонит с 5 до 6 утра;

В: вам кто-нибудь позвонит с 5 до 6 утра;

С: вам кто-нибудь позвонит с 6 до 9 вечера;

D: вам никто не позвонит с 6 до 9 вечера.

Решение.

Ранним утром звонки бывают очень редко, поэтому у события B крайне мало шансов произойти, оно маловероятное, почти невозможное.

А у события А очень много шансов, это практически достоверное событие.

Вечерние часы, наоборот, время самого активного телефонного общения, поэтому событие С для большинства людей вероятнее, чем событие D. Хотя, если вам вообще звонят редко, то D может оказаться вероятнее, чем С.

В худшем случае

Часто для ответа на вопрос задачи приходится рассматривать самый «неудобный» вариант из всех возможных, или, как говорят, «худший случай». А для этого важно уметь правильно определять, какой из возможных вариантов худший.

Пример №4. Имеется непрозрачный мешок, в котором лежат 5 белых и 2 черных шара.

а) Какое наименьшее число шаров надо вынуть из мешка, чтобы среди них обязательно оказался хотя бы один белый шар ?

Решение.

Очевидно, что худший случай будет тот, когда мы будем вынимать все время только черные шары. В худшем случае, взяв даже 2 шара, белый шар мы не вытащим. Но если мы вынем 3 шара, то тогда уж точно один из них окажется белым.

б) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди обязательно оказался хотя бы один белый шар и хотя бы один черный ?

Решение.

Худшим здесь будет случай, когда мы сначала будем вытаскивать одни белые шары, и только потом попадется один черный шар. Поэтому потребуется вытащить 5+1=6 шаров. Заместим, что случай, когда сначала попадаются одни черные шары, лучше, так как уже третий шар окажется белым. Выбор худшего случая зависит от того, каких шаров больше – белых или черных.

в) Сколько шаров надо вытащить, чтобы среди них оказались 2 шара одного цвета ?

Решение.

Худший случай – когда сначала идут шары разных цветов. Это возможно, если мы вытащим 2 шара, а вытащив третий, будем иметь 2 шара одного цвета.

Эксперименты со случайными исходами

Когда перед началом игры хотят договориться, какая команда, на какой половине поля будет играть или кто из игроков сделает первый ход, то обычно подбрасывают монету. Так поступают потому, что выпадение «орла» или «решки» считается равновероятным и заинтересованные стороны имеют равные шансы.

Конечно, при подбрасывании монеты нельзя ожидать, что «орел» или «решка» выпадут ровно в половине случаев. Если, например, подбросить монету 10 раз, то «орел» может выпасть и 2, и 5, и 10 раз, и ни разу – все такие события возможны.

Я решил провести эксперимент: подбросить монету большое количество раз. Попросил помочь мне одноклассников. В результате получилась такая таблица:

Сторона монеты	Результаты, полученные разными учениками
	№1	№2	№3	№4	№5	№6	№7	№8	№9	№10	№11
Орел	26	8	17	10	11	9	14	23	54	19	26
Решка	24	12	13	10	9	11	16	27	46	21	24
Всего бросков	50	20	30	20	20	20	30	50	100	40	50

Сторона монеты	Результаты, полученные разными учениками										Всего в классе
	№12	№13	№14	№15	№16	№17	№18	№19	№20	№21
Орел	9	25	16	21	19	22	23	34	19	24	429
Решка	11	25	14	19	21	18	27	36	21	26	431
Всего бросков	20	50	30	40	40	40	50	70	40	50	860

Проанализировав данные, я пришел к выводу, что при большом количестве подбрасываний монеты число исходов «решка» и «орел» будет приблизительно равным.

Моей бабушке нравится телеигра «Поле чудес», где по буквам отгадывают слова. Я задумался: «А какую букву стоит назвать первой, когда в слове еще не угадано ни одной буквы ?»

Понятно, что в такой ситуации лучше начинать игру с самой распространенной в русском языке буквы. Но как ее определить ? Мы с одноклассниками распределили все 33 буквы алфавита, взяли один и тот же текст из учебника истории и каждый подсчитал, сколько раз в нем встречается «его» буква. Так мы экспериментально определили самые распространенные буквы русского языка. Ими оказались буквы «е» и «о».

а	б	в	г	д	е	ё	ж	з	и	й	к	л	м	н	о
75	20	63	16	42	111	3	11	15	93	4	40	45	18	74	111

п	р	с	т	у	ф	х	ц	ч	ш	щ	ы	ь	ъ	э	ю	я
19	49	90	51	19	2	17	3	11	2	4	25	21	3	-	4	38

Такие опыты называют экспериментами со случайными исходами. Вообще, к экспериментам со случайными исходами относятся самые разные испытания, наблюдения, измерения, результаты которых зависят от случая и которые можно повторить много раз примерно в одних и тех же условиях. Например, это стрельба по мишени, участие в лотерее, многолетнее наблюдение за погодой в один и тот же день в одном и том же месте, опыты с рулеткой, игральным кубиком, монетой.

В экспериментах со случайными исходами удивительно то, что, хотя результат каждого отдельного эксперимента зависит от случая, при проведении большого числа таких экспериментов выявляются отчетливые закономерности, которые дают возможность оценить шансы наступления интересующего нас случайного события. Изучением таких закономерностей в мире случайного занимается специальная наука – теория вероятностей.

Общее представление о теории вероятностей

Оценивая вероятность случайного события люди используют слова «более вероятно», «менее вероятно», чаще всего руководствуясь здравым смыслом. Но часто такие оценки оказываются недостаточными, потому что важно знать, на сколько или во сколько раз одно случайное событие вероятнее другого. Иными словами, нужны точные количественные характеристики, чтобы охарактеризовать вероятность числом.

Вероятность наступления достоверного события характеризуется как стопроцентное, а вероятность наступления невозможного события характеризуется как нулевое. Учитывая, что 100% - это 100/100 величины, а 100/100 = 1, будем считать:

1) вероятность достоверного события равна 1;

2) вероятность невозможного события равна 0.

А как подсчитать вероятность случайного события? Ведь если оно случайное, значит, не подчиняется закономерностям, алгоритмам, формулам. Оказывается и в мире случайного действуют определенные законы, позволяющие вычислять вероятности.

Вероятность – это характеристика степени появления некоторого события при тех или иных определенных условиях.

Классическая теория вероятностей рассматривает вероятность как отношение числа всех благоприятных исходов к числу всех исходов. При этом предполагается, что все рассмотренные случаи являются равновозможными, равновероятными. Так, если мы берем идеально изготовленную шестигранную игральную кость, то у нас нет оснований считать, что она на какую-то из граней будет выпадать чаще, чем на другую; более того, есть все основания для того, чтобы считать равновероятным выпадение ее на каждую из граней. Поэтому при бросании такой кости выпадение каждой из них можно ожидать с вероятностью, равной 1/6.

Определение №5. Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом (элементарным событием или шансом).

Определение №6. Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятными этому событию, или благоприятными шансами.

Определение №7. Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятных данному исходу к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначают через P(A) (здесь P – первая буква французского слова probabilite - вероятность):

,

где m – число всех благоприятных исходов;

n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта.

Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Очевидно, что m ≤ n, поэтому m/n ≤ 1, т.е. Р (А) ≤ 1.

С другой стороны, m/n ≥ 0, значит, Р (А) ≥ 0.

Делаем вывод, т.к. 0≤ Р(А)≤ 1, то вероятность случайного события равна от 0 до 1

Решение задач

Задача №1. В урне 10 одинаковых по размеру и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие “извлеченный шар оказался голубым” обозначим буквой A. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем

.

Задача №2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

Решение. Обозначим через A событие “число на взятой карточке кратно 5”. В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию A благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

.

Задача №3. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Пусть А – это событие «число с одинаковыми цифрами». Известно, что двузначными числами являются числа от 10 до 99, всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В данном случае m = 9, n = 90:

,

Задача №4. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Решение. Пусть А – это событие «на обоих кубиках выпало одинаковое число очков».

Все равновозможные исходы при бросании двух кубиков образуют множество пар, в которых первая цифра в паре – это число очков, выпавших на первом кубике, а вторая цифра в паре – это число очков, выпавших на втором кубике. Это множество пар можно записать в таблице:

(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6:1)
(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6). Всего равновозможных исходов 36.

В данном случае m = 6, n = 36.

Значит, искомая вероятность

.

Задача №5. Игорь и Сережа бросают два игральных кубика. Они договорились, что если при бросании кубиков в сумме выпадет 8 очков, то выиграл Игорь, а если в сумме выпадет 7 очков, то выиграл Сережа. Справедлива ли эта игра?

Решение. Обозначим события: A – «выпало 7 очков», B – «выпало 8 очков».

Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов:

(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6:1)
(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Событию B благоприятствуют 5 элементарных исходов:

(1;1)	(2;1)	(3;1)	(4;1)	(5;1)	(6:1)
(1;2)	(2;2)	(3;2)	(4;2)	(5;2)	(6;2)
(1;3)	(2;3)	(3;3)	(4;3)	(5;3)	(6;3)
(1;4)	(2;4)	(3;4)	(4;4)	(5;4)	(6;4)
(1;5)	(2;5)	(3;5)	(4;5)	(5;5)	(6;5)
(1;6)	(2;6)	(3;6)	(4;6)	(5;6)	(6;6)

Всех равновозможных элементарных исходов - 36, значит,

, .

Итак, , т. е. получить в сумме 7 очков – более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков, значит, игра не является справедливой.

Заключение

Работая над темой «Случайные события», я убедился, что мы живем в царстве Случая, где на первый взгляд нет места для законов математики. Но изучив теоретический материал по этой теме, я научился определять шансы наступления того или иного события, сравнивать вероятность наступления различных событий.

Результаты экспериментов подтвердили гипотезу о том, что в мире случайного существуют определенные закономерности, которые дают возможность оценить шансы наступления того или иного события. Знание этих закономерностей позволяет человеку чувствовать себя уверенно при встрече со случайными событиями.

Мне очень понравилась изучение элементов теории вероятности, и я хочу продолжить изучение этой темы в следующем учебном году.

Закончить свою работу хочу словами Джорджа Каннинга:

Время и случай ничего не могут сделать для тех,

кто ничего не делает для себя самого

Список литературы

1. Математика 5 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М. Мнемозина, 2012.

2. Математика 6 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. – М. Мнемозина, 2013.

3. Математика 6 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. - М. : Просвещение, 2008.

4. Алгебра 9 класс : : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений /Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М. : Мнемозина, 2010.

5. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы. / авт.-сост. В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель, 2006.

6. Математическая энциклопедия./ под редакцией И.М. Виноградова. – М.: Издательство «Советская энциклопедия», 1985.

7. Гарднер М., Путешествие во времени, пер. с английского. – М: Мир, 1990