"Сложение и вычитание десятичных дробей"

• АВТОР

Рожина Светлана Николаевна

• РУБРИКА

6 класс

Понятие десятичной дроби

 Историческая справка.

Эти имена связаны с открытием десятичных дробей.

Впервые понятие  абстрактной десятичной дроби возникло в 15 ст. Его  ввел выдающийся математик и астроном ал – Коши (полное имя Джемиад ибн – Масуд ал – Коши) в работе «Ключ к арифметике» (1427 г). Открытие ал – Коши в Европе стало известным только через 300 лет.(Кобзева Даша).

Ничего, не зная об открытии ал – Коши, десятичные дроби открыл второй раз, приблизительно через 150 лет, после него, фламандский ученый математик и инженер Симон Стевин в труде «Децималь» (1585 г) (Аубекиров Алихан).

 В России учение о десятичных дробях впервые выдал Л.П. Магницкий в своей « Арифметике» - первом российском учебнике математике. (1703 г) (Рязанцева Наталья).

Отделять целую часть от дробной предлагали по – разному. Ал – Коши целую и дробную части писал в один ряд, хотя записывал разными чернилами, или ставил между ними вертикальную черту. С. Стевин для отделения  целой части от дробной ставил нуль в кружочке. Принятую в наше время запятую предложил немецкий астроном Й. Кеплер (1571 – 1630). (Каблов Николай)

Прежде, чем перейдем к тому, как выполнить сложение и вычитание десятичных дробей, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это число в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — или ,

• десятичный вид — 0,5.

В обыкновенной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Ее записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:

• 0,5

• 3,32

• 7,124

Конечная десятичная дробь — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой. 

Свойства десятичных дробей

Главное свойство десятичной дроби звучит так: если к десятичной дроби справа приписать один или несколько нулей — ее величина не изменится. Это значит, что если в вашей дроби куча нулей — их можно просто отбросить. Например:

• 0,7000 = 0,7

• 13,10200000 = 13,102

Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.

• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде.

• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.

Сложение десятичных дробей

Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. При сложении десятичных дробей нужно отдельно сложить каждую часть.

Рассмотрим пример сложения 3,2 и 5,3. Для удобства используем метод столбика.

Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть под целой частью другой. В школе это называют «запятая под запятой». Вот так:

Складываем дробные части: 2 + 3 = 5. Запишем пятерку в дробной части ответа:

Теперь целые части: 3 + 5 = 8. Запишем восьмерку в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной, чтобы запятая была под запятой:

Получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.

Вычитание десятичных дробей

Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Будем использовать те же правила: «запятая под запятой» и «равное количество цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Запишем в столбик выражение так, чтобы запятая была под запятой:

Вычислим дробную часть 5 − 2 = 3. Запишем тройку в десятой части ответа:

Вычислим целую часть 2 − 2 = 0. Запишем ноль в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Вот и ответ: 2,5 − 2,2 = 0,3.

Пример 2. Вычислить: 7,353 – 3,1

В этом выражении разное количество цифр после запятой: в 7,353 три цифры после запятой, а в 3,1 только одна. Значит в дроби 3,1 в конце добавим два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обеих дробях. То есть: 3,1 = 3,100.

Запишем в столбик и посчитаем:

Ответ: 7,353 – 3,1 = 4,253.

Пример 3. Вычислить: 3 − 1,2

В этом примере из целого числа нужно вычесть десятичную дробь. Запишем это выражение столбиком так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была под числом 3. Вот так:

Сделаем количество цифр после запятой одинаковым:

Теперь вычитаем десятые части: 0 − 2. От нуля невозможно вычесть число 2. Поэтому займем единицу у соседнего разряда. Таким образом 0 превращается в число 10. Вычисляем десятые части: 10 − 2 = 8. Запишем восьмерку в десятой части ответа:

Сейчас вычтем целые части. В самом начале было число 3, но мы заняли у него единицу, поэтому оно обратилось в двойку. Поэтому: 2 − 1 = 1. Запишем единицу в целой части ответа:

Отделим запятой целую часть от дробной:

Ответ: 3 − 1,2 = 1,8.

Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей. Чтобы каждый ученик в 5 и 6 классе мог повторить эту последовательность, есть специальный алгоритм:

Проще говоря, правило сложения (вычитания) десятичных дробей звучит так: чтобы сложить (вычесть) две десятичные дроби, нужно записать их в столбик друг под другом, запятая под запятой. А потом сложить как обыкновенные числа и снести запятую.