РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

Геометрически |а| означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число а, до начала отсчета. Модуль нуля равен нулю, а если а≠0, то на координатной прямой существуют две точки а и –а, равноудаленные от нуля, модули которых равны |а|=|-а|.

Прежде чем приступать к изучению методов решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины, нужно добиться четкого понимания действия этого знака на числа. По существу, определение модуля вводит новую унарную операцию на множестве действительных чисел, т.е. операцию, производимую с одним числом, в отличие от более привычных бинарных операций сложения, вычитания, умножения и деления. Проверить правильность понимание знака модуля можно на упражнениях следующих видов.

1. Чему равна разность ?

2. Чему равна сумма ?

3. Чему равна дробь ?

4. Верно ли утверждение: если , то a=b?

5. Верно ли утверждение: если a=b, то ?

6. При каких значениях х верно равенство:

а). х = |х|; б). –х = |-х|; в). –х = |х|?

7. Имеет ли корни уравнение и если имеет, то сколько:

а). |х|=0; б). |х|=1; в). |х|=-3; г). |-х|=2; д). |х|=1,2?

8. Запишите выражение без знака абсолютной величины:

а). |х+2|; б). |х+2|+х; в). -2|х+2|-х; г). |2-х|;

д). -2|2-х|+2-х; е). |х-|х||; ж). |х+2|х||+2х.

Задача 3.1, Может ли быть верным равенство

. И если да, то когда?

Часто встречается такой ответ: «Данное равенство верно в том случае, когда числа а и b имеют разные знаки». Ответ не является полным, поскольку в нем ничего не говорится о том случае, когда одно из этих чисел обращается в ноль. Здесь допущена распространенная ошибка, которая заключается в неполноте проведенной классификации. В данном случае следует учитывать, что, кроме положительных и отрицательных чисел, существует еще и ноль. Правильный ответ: при .

Рассмотрим некоторые частные случаи уравнений с модулем.

1. Решение уравнения .

По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем:

f(x)=a f(-x)=a

Так как функция четная, то ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если α – корень уравнения, то и –α также будет корнем данного уравнения. Следовательно, достаточно решить лишь одну из этих двух систем.

Пример 1. Решить уравнение 2|х|-4,5-0,5|х|=7,5.

Это уравнение достаточно простое, и пока нет смысла записывать его в виде двух систем, а можно просто привести подобные и перегруппировать: 1,5|х|=12 → |х|=8 → х₁=-8, х₂=8.

Пример 2. Решить уравнение х²-|х|=6.

Как было сказано выше, уравнение распадается на две системы, но в силу четности функции можно решать только одну систему, не забывая к полученным решениям добавить значения противоположных знаков.

х²-х-6=0, х₁=-2, х₂=3

х≥0 х≥0

Решением системы будет значение х=3, а решением данного уравнения два значения: х₁=-3, х₂=3.

Для решения подобного уравнения графически нужно для неотрицательных значений х построить график функции у₁= f(x), отразить его симметрично относительно оси Оу в область отрицательных значений х и затем построить график функции у₂=а. Решением будут абсциссы точек пересечения графиков у₁ и у₂.

2. Решение уравнения вида .

Решение такого уравнения распадается на совокупность двух смешанных систем:

f(x)=φ(х) f(x)= - φ(х)

φ(х) φ(х)

3. Решение уравнений вида .

Находим корни двучленов, стоящих под знаком абсолютной величины: …

Пусть x₁x₂x_k. Данное уравнение последовательно решают на промежутках: (-∞, x₁], [x₁, x₂], …,[x_k,∞).