Решение сложных тригонометрических уравнений

Сейджанова А.А.,І санатты математика пән мұғалімі,

Новеньский ОЖББМ, Новенький ауылы, Зеленов ауданы, Батыс-Қазақстан облысы.

Бүгінгі кезде оқушы үшін математикалық білім сапасының көрсеткіші ҰБТ-ның есептері негізінде аңықталады. Мұғалім сабақтың әрбір сатысында, әртүрлі бақылау кезеңдерінде ҰБТ тапсырмаларын қолданады. Соның ішінде тригонометриялық теңдеулер оқушыларға қиындық келтіреді . Ол үшін тригонометриялық формулаларын толық білу қажет керек. ҰБТ-ке дайындау барысында көмегі тиіп қалар деген оймен мына есептердің шешу жолдарын ұсынып отырмын .

1. Теңдеу сos2x-3cosx=4cos²

Дәреже төмендету және қосбұрышты формуласын қолданамыз: cos² =

соs2x=2cos²x-1

Сонда шығады: 2cos²x-1-3cosx=4( )

2cos²x-1-3cosx-2-2cosx=0

2cos²x-5cosx-3=0, cosx=y, 2y²-5y-3=0, D=49, y₁=3,y₂=

3 саны косинустың мәндер облысына кірмейді, сондықтан cosx==

x=±+2πn, nZ Жауабы: x=±+2πn, nZ

2. Теңдеу Теңдеуді шешіңіз: ctgx+=2,

ctgx= өрнектеп, теңдеуді шешеміз: +=2

cosx+cos²x+sin²x=2sinx(1+cosx)

(cosx+1)- 2sinx(1+cosx)=0

(cosx+1)*(1-2sinx)=0

cosx=-1 sinx=

x= π+2πn, x=(-1)ⁿ +πk nZ. Жауабы: x= π+2πn, x=(-1)ⁿ +πk nZ

3. Теңдеу sinx+cosx=1 [270⁰; 450⁰] кесіндісіне тиісті түбірлерінің қосындысын табыңыз:

Біріншіден, теңдеуді ге көбейтеміз

sinx+cosx=1 /*

sinx+cosx=

sinsinx+coscosx=

мұнда косинустың қосу формуласын қолданамыз, сонда

cos(x-)=

x-=±+2πn

x=±++2πn, nZ n=0,1,2,3…

n=0, x= += 90⁰[270⁰; 450⁰]

n=1, x=++2π=60⁰+30⁰+360⁰=450⁰, 450⁰[270⁰; 450⁰]

n=1, x=-60⁰+30⁰+360⁰=330⁰, 330⁰[270⁰; 450⁰]

n=2, x=60⁰+30⁰+720⁰= 810⁰, 810⁰[270⁰; 450⁰]

n=2, x=-60⁰+30⁰+720⁰=690⁰, 690⁰[270⁰; 450⁰]

мұнда берілген кесіндіде екі түбір бар екен, олардың қосындысын табайық x=330⁰+450⁰=780⁰

Жауабы: 780⁰

4. Теңдеу:tg²x-3tgx+4= 3ctgx-ctg²x

(tg²x+ ctg²x)-3(tgx+ctgx)+4=0, негізгі тепе-теңдік бойынша ctgx=

(tgx+)²- 3(tgx+)+2=0, tgx+=y

y²-3y+2=0, y= 2;1

tgx+=2, tgx+=1 ортақ бөліміне келтіреміз,

tg²x-tgx+2=0 tg²x-tgx+1=0

D²=0, осыдан tgx=1 x=+πn, nZ Жауабы: x=+πn, nZ

5. Теңдеу 4sin⁴x+cos4x=1+12cos⁴x, cos4x=1-2sin²2x формуланы қолданамыз

. 4sin⁴x+1-2sin²2x=1+12cos⁴x, sin²2x=4 sin²xcos²x

4sin⁴x-8 sin²xcos²x =12cos⁴x

4sin²x(sin²x-2 cos²x)- 12cos⁴x=0, cos²x=1- sin²x

4sin²x(3sin²x-2)- 12cos⁴x=0, жақшаларды ашып, түрлендіреміз

12sin⁴x-8sin²x-12cos⁴x=0

12sin⁴x-12cos⁴x-8sin²x=0, 12-ні жақша сыртына шығарып, қысқаша көбейту формулаларын қолданып, жіктейміз.

12(sin²x- cos²x)( cos²x+ sin²x)- 8sin²x=0, cos²x+ sin²x=1

12 sin²x- 12cos²x -8 sin²x=0

4sin²x-12 cos²x=0 /4 cos²x

tg²x=3, дәреже төмендету формаласын колданамыз tg²x=

= 3, 1-cos2x=3+3cos2x,

-4cos2x=2

cos2x= -, 2x=(π-)+2πn, nZ

x=+ πn , немесе x=+ πn. Жауабы: x=+ πn, nZ

6. Теңдеу: 1+cosx=ctgтеңдеуді шешеміз, мұнда ctg==формуламен алмастырамыз

1+cosx= /* (1-cosx) көбейтіп, теңдеуді түрлендіреміз

1-cos²x-sinx=0

sin²x-sinx=0

sinx(sinx-1)=0

sinx=0, sinx-1=0

x=πn, sinx=1

x=πn , x=+2πk. Жауабы: x=πn; x=+2πk, nZ

7. Теңдеу:. sin²2x+sin²3x+sin²4x+sin²5x=2, дәреже төмендету формулаларын қолданамыз sin²x=

(1-cos4x)+(1-cos6x)+(1-cos8x)+(1-cos10x)=2

(1-cos4x-cos6x –cos8x-cos10x+3)=2

cos4x+cos6x+cos8x+cos10x=0, қосылғыштарды топтап, соsx+cosy= 2coscos формуласын қолданамыз. Сонда

(cos4x+cos10)+(cos6x+cos8x)=0

2coscos+2coscos=0

2cos7xcos3x+2cos7xcosx=0

2cos7x(cos3x+cosx)=0

2cos7x=0, cos3x+cosx=0

7x=+πn 2coscos

x=+n 2cos2xcosx=0

cos2x=0, cosx=0

2x=+πk, x=+πm

х=+k

Жауабы: x=+n, х=+k, x=+πm мұнда nZ