Конспект занятия " Простейшие тригонометрические уравнения"

Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели занятия:

Образовательная:

Вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Сформировать у студентов первичные умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

Развивающая:

Развивать математическое мышление.
Умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации.

Воспитательная:

Воспитывать активность, самостоятельность, упорство и достижение цели.

Тип занятия: комбинированный.

Обеспечение занятия:

Наглядные пособия: таблицы значений тригонометрических функций, сводные таблицы решения тригонометрических уравнений.

ТСО: компьютер, интерактивная доска.

Оснащение ТСО: программа Microsoft office PowerPoint.

Вычислительные средства: микрокалькуляторы, таблицы значений тригонометрических функций.

Междисциплинарные связи: физика, информатика, геодезия, техническая механика, геофизика, гидрогеология.

Ход занятия:

Организационный момент:

Проверка отсутствующих, заполнение журнала.

Постановка темы и целей урока.

Проверка знаний:

Фронтальный опрос (устные вопросы слайд №2)

Дайте определение функции . Назовите ее область определения и область значения.
Чему равен ?
Сформулируйте определение арккосинуса числа.
Чему равен ?
Дайте определение функции . Назовите область определения и область значения этой функции.
Чему равен ?
Дайте определение арккотангенса числа.
Чему равен ?

Устный счет по таблицам значения тригонометрических функций:

Проверка домашней работы:

Студентам предлагается исправить ошибки решенной на доске домашней работы и сделать соответствующие комментарии. (6 человек по 1 примеру)

Домашняя работа на доске с ошибками:

Верное решение:

Остальные студенты сверяют решение домашнего задания по своим тетрадям.

Объяснение нового материала:

Актуализация опорных знаний:

Обратные тригонометрические функции необходимы нам для изучения новой темы «Решение простейших тригонометрических уравнений»,

так как они используются при решении тригонометрических уравнений.

В курсе алгебры вы уже встречались с различными видами уравнений. Давайте вспомним какие это уравнения?

Предполагаемый ответ: линейные, квадратные, кубические, логарифмические, показательные, иррациональные.

Сегодня мы с вами познакомимся с тригонометрическими уравнениями.

Это не последние уравнения в математике, например, на втором курсе мы начнем решать дифференциальные уравнения.

3.1 (Слайд № 3: Определение и виды простейших тригонометрических уравнений)

Давайте запишем определение тригонометрического уравнения.

Тригонометрическим называется уравнение, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции.

Сегодня мы рассмотрим решение простейших из них:

Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящей в него переменной, которая удовлетворяет этому уравнению.

(Слайд №4: Уравнение вида )

Рассмотрим уравнение вида .

Так как , то уравнение при и не имеет решений.

Период синуса равен , поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины . Из рисунка видно что, что на отрезке синус возрастает и принимает каждое свое значение один раз. Следовательно, на этом отрезке . На отрезке синус убывает и принимает каждое свое значение тоже один раз. Чтобы найти решение на этом отрезке, вспомним что . Если , то

, и поэтому решением уравнения на отрезке будет .

Для получения всех решений уравнения к каждому из двух полученных решений прибавим числа вида где .Следовательно,

Обе серии решений можно объединить:

называют параметром, при к четном получается формула (1), при к нечетном получается формула (2)

3.3 (Слайд № 5: Частные случаи уравнения . )

При а=1 уравнение имеет решения , .

При а=-1 уравнение имеет решения ,

При а=0 уравнение имеет решения , .

3.4Уравнение вида: (Слайд №6: уравнение вида: )

Рассмотрим уравнение . При и уравнение не имеет решений, так как .

Так как период косинуса равен , то при для нахождения всех решений достаточно рассмотреть отрезок длины . Удобнее всего выбрать отрезок . Очевидно, что уравнение на отрезке имеет решение , а на отрезке - решение так как функция косинус четная. Таким образом на отрезке уравнение имеет решения

Чтобы записать все решения уравнения необходимо, учитывая периодичность косинуса, прибавить к каждому из найденных значений по , где . В итоге получим бесконечное множество решений

3.5(Слайд №7: Частные случаи уравнения )

При а=1 уравнение имеет решения , .

При а= -1 уравнение имеет решения ,

При а=0 уравнение имеет решения , .

3.6 Уравнения вида: , (Слайд №8: уравнения вида: , : )

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения , достаточно найти все его решения на любом отрезке длины . По определению арктангенса решение уравнения на промежутке есть .

Для того чтобы получить все решения уравнения нужно к решению, полученному на отрезке длины , прибавить . Следовательно,,

И решение уравнения

(Слайд № 9:Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений)

Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение

Общее решение

Частные случаи

Студенты заполняют сводную таблицу по ходу объяснения материала.

4.Обобщение и систематизация знаний:

Решение примеров у доски.

Решить уравнения:

Дополнительные задания:

Подведение итогов занятия:

Сегодня мы с вами познакомились с формулами для решения простейших тригонометрических уравнений и закрепили их при решении задач. На следующем занятии мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения и познакомимся с методами их решения. Активным студентам выставление оценок.

Домашнее задание: §28, решить примеры (Слайд№10: домашнее задание).

Примеры для домашнего задания.

Литература:

Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч.1/ Под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Наука, 1987 – 464с.
Н.В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Заведений / Н.В. Богомолов – М.: Высшая школа, 2003-495с.