Преобразование тригонометрических выражений.

34

ГУ «Отдел образования акимата города Костаная»

Сборник индивидуальных заданий для самостоятельной работы

Прикладного курса по математике «Преобразование тригонометрических выражений и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов

Составила: Фролова Т.Н., учитель математики сш.№7

Костанай 2014

Содержание

1.Тригонометрические преобразования…………………………………………3

1.1 Упрощение выражений, используя формулы приведения………………..3

1.2 Упрощение выражений применением тригонометрических тождеств…..8

1.3 Вычисление значений тригонометрических выражений…………………19

2.Решение тригонометрических уравнений…………………………………..22

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений…………………22

2.2 Решение тригонометрических уравнений с применением основных тригонометрических формул…………………………………………………….25

2.3 Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной…………………………………………………………………………29

2.4 Решение тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного угла…………………………………………………………….31

2.5 Решение тригонометрических уравнений повышенной сложности……..32

3. Решение тригонометрических неравенств…………………………………..34

3.1 Решение простейших тригонометрических неравенств………………....35

3.2 Решение тригонометрических неравенств с применением основных тригонометрических формул……………………………………………………...38

3.3 Решение тригонометрических неравенств методом введения новой переменной …………………………………………………………………………40

3.4 Решение тригонометрических неравенств повышенной сложности…….42

4. Тест 1.Тригонометрические преобразования…………………………………..45

1.Тригонометрические преобразования

Блок №1. Упростить, используя формулы приведения:

A

1) (270 (360

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) 2tq(

B

10)

11)

12)

13)

14)

15)8

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)2

Ответы

1) 1 6) 11)-1 16) 21)

2) 7)1- 12) 17)1 22)1

3) 8) 13)- 18)0 23)

4) 9)-2 14)- 19)-1 24)

5)1- 10) 15)7 20) 25)4

Блок №2. Упростите:

А

1)

2)(1+

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)-

13)

(1+

-

с

21)

22)

В

23)

24)

25)

26)

27)

28)+

29)4

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)-

46)

47)

48)

49)

50)

51)

Ответы

1)-

2)1

3)

4)

5)

6)

7)2

8)

9)1

10)

11)

12)4

13)1

14)

15)10

16)

17)

18)1

19)1

20)

21)

22)-1

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)2

32)

33)7

34)0

35)

36)

37)4

38)

39)

40)

41)-1

42)2

43)1

44)1

45)0

46)0

47)0

48)

49)-

50)

51)0,25

Блок №3. Вычислите:

А

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)()-

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)3+

23)с

24)

25)

26) с

27)

28)

29)

30)

В

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)-

42)

43)()

44)

45)с

46)

Ответы

1)-2

2)

3)

4)-1

5)

6)

7)

8)0

9)

10)1

11)-

12)-

13)1

14)

15)

16)0

17)

18)-

19)- с

20)

21)

22)2

23)-2,5

24)0,5

25)0,5

26)1-

27)-0,5

28)0

29)0,5

30)

31)

32)1

33)0

34)0

35)

36)

37)

38)1

39)1,5

40)

41)1

42)1

43)14

44)

45)0

46)

Блок №4. Вычислите:

А

1)Вычислите.

2) Вычислите 2.

3) Вычислите .

4) Вычислите

5) Вычислите ,

6) Вычислите,если .

7) Вычислите ,.

8) Вычислите

9) Вычислите

10) Вычислите

11) Вычислите

12) Вычислите

13) Вычислите

14) Вычислите

15) Вычислите .

16) Вычислите

17) Вычислите с

18) Вычислите

19) Вычислите ,

20) Вычислите и

21) Вычислите

22) Вычислите ;

23) Вычислите

24) Вычислите .

25) Вычислитес

26) Вычислите .

27) Вычислите

28) Вычислите ;

29) Вычислите

30) Вычислите

31) Вычислите А=, если .

32) Вычислите

33) Вычислите

34) Вычислите 13

35) Вычислите

36) Вычислите

37) Вычислите

38) Вычислите

39) Вычислите 1+5

40) Вычислите

Ответы

1)8

2)9

3)-2

4)

5)1

6)-2

7)

8)0,8

9)-8

10)

11)-

12)-0,8

13)

14)-

15)-2

16)13

17)-3

18)

19)1

20)+

21)0.5

22)7

23)-

24)

25)

26)-

27) -

28) -

29)

30) -

31)8

32)

33)-5

34)12,6

35)

36)-1

37)+1

38)0,269

39)2

40)

Блок №5. Вычислите:

А

1)arctg(-)

2) arctg arcsin(-

3) arctg arctg(-)

4)

5)2

6)

B

7)

8)()

9)tg()

10)

11)

12)tg(

13)ctg(2)

14)

15)

16)

17) tg(2)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28) tg(

29)

30)()

Ответы

1)-

2)

3)

4)2

5)-

6)

7)

8)

9)-

10)

11)

12)

13)1

14)0,96

15)

16)

17)4

18)

19)

20)

21)

22)

23) 1

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)1

Блок №6. Упростите:

С

1)4

2)+,если

3)

4)

5),если

6) если

7)ctg

8)

9)4

10)

Вычислите:

11) ctg70

12)4arcctg- arctg.

13)0.25.

14).

15).

16) Вычислите А=9

17) Вычислите ctg2

18) Вычислите

19) Вычислите А=7

20) Вычислите =3.

21) Вычислите

22)Вычислите

23) Вычислите

24)

Ответы

1)3

2)

3)

4)

5)-2

6)

7)

8)

9)2

10)

11)

12)

13)0,5

14)

15)1

16)7

17)-2

18)

19)9

20)

21)-6

22)

23)

24)16

2.Решение тригонометрических уравнений

2.1 Решение тригонометрических уравнений

Блок1. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

А

1)

2)

3)

4)2

5)

6))= -1

7)

8)

9)

10)2

11))=

12))=0

13)

14)()()=0

15)

16)2

В

17)

18)

19)1+2

20)=2,5

21)

22)

23)(3)(2)=0, найдите наибольший положительный корень уранения.

24)

25)1+2

26)

27)

28)

29)

30)

Ответы

1)

2)1020

3)+

4)+

5)

6)

7)-

8)x

9)+

10)

11)

12)3

13)

14)2

15)1

16)-arctg+

17)-

18)+

19)3.5

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28) (3k)

29)(2k)

30)

Блок 2. Решите тригонометрические уравнения с применением основных тригонометрических формул

А

1)

2)

3)

4)3

5)

6)

7)

8) 3

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)2()=1

16)2

17)

18)tg(x+20)+ tg(70)=2

19)

если 90

20)

21)2 если х(0;90).

В

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32) tg3х- tgх=0

33)

34)

35)

36)1+

37)

38) 2

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)4

Ответы

1)

2)

3)

4)+ctg

5)

6)(

7)

8)ctg

9)

10)

11) ++

12)

13)++

14)++

15)

16)

17)

18)25+180

19)135

20)

21)60

22)

23)++;

24)4

25)+

26)(

27)+

28)(

29)

30)

31)+

32)

33)

34)

35)5

36)210

37)

38)5

39)

40)+

41)

42)

43)

44)

45)

46)2

*В ответах параметры k,n,mZ.

Блок 3.Решите тригонометрические уравнения методом введения новой переменной

А

1)2

2)2

3)

4)6

5)ctgx=-4-3tgx

6)8

7)2

8)5-52

9)

10) 2

11)3

В

12)

13)6

14)1+

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

найдите наименьшее решение х ,если

23)3

24)

25)1+4

26)

Ответы

1)+

2)

3)

4)+

5)-+

6)+

7)

8)

9)

10)+

11)

12)+

13)+

14)+

15)

16)

17)

18)

19)++

20)+

21)+

22)45

23)+

24)

25)30;90

26)+

*В ответах параметры k,nZ.

Блок 4.Решите тригонометрические уравнения методом введения вспомогательного угла

А

1)

2)

3)

4)

если 90

5)

В

6)

7)

8)

9)

10)

Ответы

А

1)

2)++

3)+

4)105

5)-

6)

7)

8)

9)

10)

*В ответах параметры k,nZ.

Блок5. Решите тригонометрические уравнения повышенной сложности

C

1)tgx=найдите

наибольшее целое решение х ,

если

2) найдите

наименьшее целое решение х ,

если

3)7+

4)

5)2

6)2

7)

8)+

9) tgx- tgx

10)

11)

в ответе укажите наименьший положительный корень.

12)

13)Сколько корней имеет уравнение

14)=0

15)4

найдите сумму корней уравнения,

если х

16)

Ответы

1)269

2)91

3)4

4)4

5)

6)

7)

8)-

9)

10)

11)2230´

12)

13)1

14)3

15)225

16)

*В ответах параметры k,nZ.

3. Решение тригонометрических неравенств

Блок1. Решите простейшие тригонометрические неравенства

А

1)

2)ctgx

3)2

4)tgx

5)

6) tgx

7)

8)

9)

10)

11)

12)2

В

13)tg(x+)

14)2

15)

16)2

17)

18)

19)0

20) Найдите область определения функции у=

21)Решите систему и найдите сумму её решений, принадлежащих

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

Ответы

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

*В ответах параметр nZ.

Блок 2. Решите тригонометрические неравенства с применением основных тригонометрических формул

А

1)1-4

2) 3-4

3)

4) 2

5)

6)

7)

В

8)

9)

10)(1+4)

11)4

12)3

13)

14)

15)

16)2

Ответы

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)х

14)

15)

16)

*В ответах параметры к,nZ.

Блок3.Решите тригонометрические неравенства методом введения новой переменной

В

1)

2)

3)

4)3

5) 3

6)

7)3

8)

9)2

10)c

11)

12) 2

13)

14) 2

15)

16)

Ответы

1)

2)

3)

4)

5)

6)x=

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

*В ответах параметры к,nZ.

Блок4. Решите тригонометрические неравенства

C

1)tg(2x-)

2)2

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)2+tg2x+ctg2x

12)2

13)каких значениях а неравенство не имеет решений.

14)(-2)(3)

15)Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений двойного неравенства

которые находятся на отрезке

16)

17)

18)

19)

20)

Ответы

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

*В ответах параметры к,nZ.

4. Тест 1.Тригонометрические преобразования

1.Вычислите: 8 3

Решение:

Приведём к тригонометрическим функциям острых углов первой четверти:

8 3

Ответ:7.

2. Упростить:

Решение:

Ответ:

3. Упростить:

Решение:

Так как периодическая функция с периодом 2

=

=

Аналогично,

исходная дробь преобразуется в следующее выражение:

Ответ:

4. Упростить:

Решение:

=

Ответ:

5. Упростить:

Решение:

=

Ответ:

6. Упростить:

Решение:

Рассмотрим подкоренное выражение:

-2+

Тогда:

Ответ:

7. Упростить:

Решение:

Ответ:

8. Упростить:

Решение:

=2

Ответ: 2

9. Упростить:2(-

Решение:

2(-

2-

Ответ:

10. Упростить:

Решение:

=

=

Ответ:

11. Вычислить:

Решение:

Ответ:

12. Вычислить:

Решение:

1-

Ответ:

13. Вычислить:

Решение:

=

Ответ:

14. Вычислить:

Решение:

=

-((

Ответ:

Список рекомендуемой литературы:

1. Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа.— М.: Наука, 1969.— 736 с.

2. Бородуля И.Т., Тригонометрические уравнения и неравенства. Москва, издательство»Просвещение», 1989г.

3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.— М.: Наука, 1989.— 464 с.

4. Долгов Н. М. Высшая математика.— Киев: Вища шк., 1988.— 416 с.

5. Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.: Выш. шк., 1984.— 1988.—Ч. 2.— 1985.—221 с; Ч. 3.— 1985.—208 с.

6. Зорич В. А. Математический анализ: В 2 т.— М.: Наука, 1981.—Т. 1.—543 с.

7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 ч.— М.: Наука, 1971 — 1973.— Ч. 1,— 1971.— 600 с; Ч. 2.— 1973.— 448 с.

8. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Высш. шк., 1983.— 128 с.

9. Колесникова С.И., Математика, Решение сложных задач., Москва, издательство « Айрис Пресс», 2006г.

10. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т.— М.: Высш. шк., 1988.— Т. 1,— 712 с; Т. 2 — 576 с.

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.— М.: Наука, 1985.— Т. 1.— 432 с; Т. 2.— 576 с.

2. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю.и др., Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. Ростов-на-Дону, издательство «Феникс», 2004г.

3. Cборник тестовых заданий по подготовке к ЕНТ, « Атамура», РК, 2004-2010г.

4. Сканави М.И Сборник задач для поступающих в ВУЗЫ - М.: «Высшая школа», 2003. 14.Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. - М.: Дрофа, 2002.

15.Сборник тестов по математике, Астана, 2003-2005.

16.Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике, Алматы 2010.

Сборники задач и упражнений

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического ана­лиза.— М.: Наука, 1985.— 446

2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая матема­тика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.

3. Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математи­ческому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.

4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.

5. Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.

6. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.

7. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.

8. Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.