Сборник индивидуальных заданий по преобразованию тригонометрических выражений

Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая тригонометрию. Есть несколько причин возникновения этих трудностей. Назовем основные, как мы считаем, две причины возникновения их. Во-первых, большое количество формул, которые необходимо знать и помнить. Во–вторых, отсутствие стандартных приемов тождественных преобразований тригонометрических выражений. В–третьих, формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.

Выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений рекомендуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана действий. Некоторые рекомендации могут быть полезны при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений:

1.Если выражение содержит разные тригонометрические одного аргумента, то следует все функции через одну или две функции. При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через синус или косинус этого же угла.

2. Если в выражение выходят тригонометрические функции от разных аргументов, то попытайтесь свести все тригонометрические функции к одному аргументу.

3.Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригонометрических функций через кофункцию.

4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения - они могут иногда помочь в преобразовании тригонометрического выражения.

5. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и сразу же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Наконец, единицу бывает полезно представить в виде суммы квадратов синуса и косинуса, т.е. 1=

6.Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить и сразу же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель отличен от нуля).

7. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В простейших случаях он сводится к замене чисел и 1 тригонометрическими функциями соответствующих углов.

8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то можно обратиться к преобразованиям, понижающим степени.

9. Если данное выражение является однородным многочленом п-ой степени относительно

Характерная особенность тождественных преобразований тригонометрических выражений состоит в том, что к одному и тому же результату можно прийти разными путями. Поэтому по окончании решения полезно время от времени сопоставлять различные способы преобразования одного и того же выражения.

Надо помнить, что в тех задачах, где речь идет о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, хотя часто и не оговаривается в условии задачи, что преобразование предложенного выражения должно быть проведено в его области определения. То есть только при тех значениях аргументов, для которых тригонометрическое выражение имеет смысл.

Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы.

Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.
Формулы приведения
Формулы сложения аргументов.
Формулы двойного аргумента.
Формулы половинного аргумента.
Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).

Данный сборник интересен учителям и учащимся 9-11 классов для повторения тождественных преобразований тригонометрических выражений и решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Сборник индивидуальных заданий по преобразованию тригонометрических выражений »

ГУ «Отдел образования акимата города Костаная»

Тренажёр

Прикладного курса по математике

«Преобразование тригонометрических выражений

и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств»

для учащихся 11-х классов

Учитель сш №7 Фролова Т.Н.

Костанай

2014

Содержание

1.Тригонометрические преобразования

1.1 Упрощение выражений, используя формулы приведения

1.2 Упрощение выражений применением тригонометрических тождеств

1.3 Вычисление значений тригонометрических выражений

2.Решение тригонометрических уравнений

2.1 Решение тригонометрических уравнений

2.2 Решение простейших тригонометрических уравнений

2.3 Решение тригонометрических уравнений с применением основных тригонометрических формул

2.4 Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной

2.5 Решение тригонометрических уравнений методом введения вспомогательного угла

2.6 Решение тригонометрических уравнений повышенной сложности

3. Решение тригонометрических неравенств

3.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

3.2 Решение тригонометрических неравенств с применением основных тригонометрических формул

3.3 Решение тригонометрических неравенств методом введения новой переменной

3.4 Решение тригонометрических неравенств повышенной сложности

4. Тест 1.Тригонометрические преобразования

5. Тест 2. Решение тригонометрических уравнений и неравенств

1.Тригонометрические преобразования

Блок №1. Упростить, используя формулы приведения:

1) (270 (360

9) 2tq(

10)

11)

12)

13)

14)

15)8

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)2

Ответы

1) 1 6) 11)-1 16) 21)

2) 7)1- 12) 17)1 22)1

3) 8) 13)- 18)0 23)

4) 9)-2 14)- 19)-1 24)

5)1- 10) 15)7 20) 25)4

Блок №2. Упростите:

2)(1+

10)

11)

12)-

13)

(1+

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)+

29)4

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)-

46)

47)

48)

49)

50)

51)

Ответы

1)-

2)1

7)2

9)1

10)

11)

12)4

13)1

14)

15)10

16)

17)

18)1

19)1

20)

21)

22)-1

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)2

32)

33)7

34)0

35)

36)

37)4

38)

39)

40)

41)-1

42)2

43)1

44)1

45)0

46)0

47)0

48)

49)-

50)

51)0,25

Блок №3. Вычислите:

9)()-

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)3+

23)с

24)

25)

26) с

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41)-

42)

43)()

44)

45)с

46)

Ответы

1)-2

4)-1

8)0

10)1

11)-

12)-

13)1

14)

15)

16)0

17)

18)-

19)- с

20)

21)

22)2

23)-2,5

24)0,5

25)0,5

26)1-

27)-0,5

28)0

29)0,5

30)

31)

32)1

33)0

34)0

35)

36)

37)

38)1

39)1,5

40)

41)1

42)1

43)14

44)

45)0

46)

Блок №4. Вычислите:

1)Вычислите.

2) Вычислите 2.

3) Вычислите .

4) Вычислите

5) Вычислите ,

6) Вычислите,если .

7) Вычислите ,.

8) Вычислите

9) Вычислите

10) Вычислите

11) Вычислите

12) Вычислите

13) Вычислите

14) Вычислите

15) Вычислите .

16) Вычислите

17) Вычислите с

18) Вычислите

19) Вычислите ,

20) Вычислите и

21) Вычислите

22) Вычислите ;

23) Вычислите

24) Вычислите .

25) Вычислитес

26) Вычислите .

27) Вычислите

28) Вычислите ;

29) Вычислите

30) Вычислите

31) Вычислите А=, если .

32) Вычислите

33) Вычислите

34) Вычислите 13

35) Вычислите

36) Вычислите

37) Вычислите

38) Вычислите

39) Вычислите 1+5

40) Вычислите

Ответы

1)8

2)9

3)-2

5)1

6)-2

8)0,8

9)-8

10)

11)-

12)-0,8

13)

14)-

15)-2

16)13

17)-3

18)

19)1

20)+

21)0.5

22)7

23)-

24)

25)

26)-

27) -

28) -

29)

30) -

31)8

32)

33)-5

34)12,6

35)

36)-1

37)+1

38)0,269

39)2

40)

Блок №5. Вычислите:

1)arctg(-)

2) arctg arcsin(-

3) arctg arctg(-)

5)2

8)()

9)tg()

10)

11)

12)tg(

13)ctg(2)

14)

15)

16)

17) tg(2)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28) tg(

29)

30)()

Ответы

1)-

4)2

5)-

9)-

10)

11)

12)

13)1

14)0,96

15)

16)

17)4

18)

19)

20)

21)

22)

23) 1

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)1

Блок №6. Упростите:

1)4

2)+,если

5),если

6) если

7)ctg

9)4

10)

Вычислите:

11) ctg70

12)4arcctg- arctg.

13)0.25.

14).

15).

16) Вычислите А=9

17) Вычислите ctg2

18) Вычислите

19) Вычислите А=7

20) Вычислите =3.

21) Вычислите

22) Вычислите

23) Вычислите

24)

Ответы

1)3

5)-2

9)2

10)

11)

12)

13)0,5

14)

15)1

16)7

17)-2

18)

19)9

20)

21)-6

22)

23)

24)16

2.Решение тригонометрических уравнений

2.1 Решение тригонометрических уравнений

(***по окружности)вставка

2.2 Решение тригонометрических уравнений

Блок1. Решите простейшие тригонометрические уравнения:

4)2

6))= -1

10)2

11))=

12))=0

13)

14)()()=0

15)

16)2

17)

18)

19)1+2

20)=2,5

21)

22)

23)(3)(2)=0, найдите наибольший положительный корень уранения.

24)

25)1+2

26)

27)

28)

29)

30)

Ответы

2)1020

3)+

4)+

7)-

8)x

9)+

10)

11)

12)3

13)

14)2

15)1

16)-arctg+

17)-

18)+

19)3.5

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28) (3k)

29)(2k)

30)

Блок 2. Решите тригонометрические уравнения с применением основных тригонометрических формул

4)3

8) 3

10)

11)

12)

13)

14)

15)2()=1

16)2

17)

18)tg(x+20)+ tg(70)=2

19)

если 90

20)

21)2 если х(0;90).

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32) tg3х- tgх=0

33)

34)

35)

36)1+

37)

38) 2

39)

40)

41)

42)

43)

44)

45)

46)4

Ответы

4)+ctg

6)(

8)ctg

10)

11) ++

12)

13)++

14)++

15)

16)

17)

18)25+180

19)135

20)

21)60

22)

23)++;

24)4

25)+

26)(

27)+

28)(

29)

30)

31)+

32)

33)

34)

35)5

36)210

37)

38)5

39)

40)+

41)

42)

43)

44)

45)

46)2

*В ответах параметры k,n,mZ.

Блок 3.Решите тригонометрические уравнения методом введения новой переменной

1)2

2)2

4)6

5)ctgx=-4-3tgx

6)8

7)2

8)5-52

10) 2

11)3

12)

13)6

14)1+

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

найдите наименьшее решение х ,если

23)3

24)

25)1+4

26)

Ответы

1)+

4)+

5)-+

6)+

10)+

11)

12)+

13)+

14)+

15)

16)

17)

18)

19)++

20)+

21)+

22)45

23)+

24)

25)30;90

26)+

*В ответах параметры k,nZ.

Блок 4.Решите тригонометрические уравнения методом введения вспомогательного угла

если 90

10)

Ответы

2)++

3)+

4)105

5)-

10)

*В ответах параметры k,nZ.

Блок5. Решите тригонометрические уравнения повышенной сложности

1)tgx=найдите

наибольшее целое решение х ,

если

2) найдите

наименьшее целое решение х ,

если

3)7+

5)2

6)2

8)+

9) tgx- tgx

10)

11)

в ответе укажите наименьший положительный корень.

12)

13)Сколько корней имеет уравнение

14)=0

15)4

найдите сумму корней уравнения,

если х

16)

Ответы

1)269

2)91

3)4

4)4

8)-

10)

11)2230´

12)

13)1

14)3

15)225

16)

*В ответах параметры k,nZ.

3. Решение тригонометрических неравенств

Блок1. Решите простейшие тригонометрические неравенства

2)ctgx

3)2

4)tgx

6) tgx

10)

11)

12)2

13)tg(x+)

14)2

15)

16)2

17)

18)

19)0

20) Найдите область определения функции у=

21)Решите систему и найдите сумму её решений, принадлежащих

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

Ответы

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

*В ответах параметр nZ.

Блок 2. Решите тригонометрические неравенства с применением основных тригонометрических формул

1)1-4

2) 3-4

4) 2

10)(1+4)

11)4

12)3

13)

14)

15)

16)2

Ответы

10)

11)

12)

13)х

14)

15)

16)

*В ответах параметры к,nZ.

Блок3.Решите тригонометрические неравенства методом введения новой переменной

4)3

5) 3

7)3

9)2

10)c

11)

12) 2

13)

14) 2

15)

16)

Ответы

6)x=

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

*В ответах параметры к,nZ.

Блок4.Решите тригонометрические неравенства

1)tg(2x-)

2)2

10)

11)2+tg2x+ctg2x

12)2

13)каких значениях а неравенство не имеет решений.

14)(-2)(3)

15)Найдите сумму наибольшего и наименьшего решений двойного неравенства

которые находятся на отрезке

16)

17)

18)

19)

20)

Ответы

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

*В ответах параметры к,nZ.

4. Тест 1.Тригонометрические преобразования

1.Вычислите: 8 3

Решение:

Приведём к тригонометрическим функциям острых углов первой четверти:

8 3

Ответ:7.

2. Упростить:

Решение:

Ответ:

3. Упростить:

Решение:

Так как периодическая функция с периодом 2

Аналогично,

исходная дробь преобразуется в следующее выражение:

Ответ:

4. Упростить:

Решение:

Ответ:

5. Упростить:

Решение:

Ответ:

6. Упростить:

Решение:

Рассмотрим подкоренное выражение:

-2+

Тогда:

Ответ:

7. Упростить:

Решение:

Ответ:

8. Упростить:

Решение:

Ответ: 2

9. Упростить:2(-

Решение:

2(-

Ответ:

10. Упростить:

Решение:

Ответ:

11. Вычислить:

Решение:

Ответ:

12. Вычислить:

Решение:

Ответ:

13. Вычислить:

Решение:

Ответ:

14. Вычислить:

Решение:

-((

Ответ:

Список рекомендуемой литературы:

Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа.— М.: Наука, 1969.— 736 с.
Бородуля И.Т., Тригонометрические уравнения и неравенства. Москва, издательство»Просвещение», 1989г.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.— М.: Наука, 1989.— 464 с.
Долгов Н. М. Высшая математика.— Киев: Вища шк., 1988.— 416 с.
Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Мн.: Выш. шк., 1984.— 1988.—Ч. 2.— 1985.—221 с; Ч. 3.— 1985.—208 с.
Зорич В. А. Математический анализ: В 2 т.— М.: Наука, 1981.—Т. 1.—543 с.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 ч.— М.: Наука, 1971 — 1973.— Ч. 1,— 1971.— 600 с; Ч. 2.— 1973.— 448 с.
Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Высш. шк., 1983.— 128 с.
Колесникова С.И., Математика, Решение сложных задач., Москва, издательство « Айрис Пресс», 2006г.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т.— М.: Высш. шк., 1988.— Т. 1,— 712 с; Т. 2 — 576 с.

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.— М.: Наука, 1985.— Т. 1.— 432 с; Т. 2.— 576 с.
Соболь Б.В., Виноградова И.Ю.и др., Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. Ростов-на-Дону, издательство «Феникс», 2004г.
Cборник тестовых заданий по подготовке к ЕНТ, « Атамура», РК, 2004-2010г.
Сканави М.И Сборник задач для поступающих в ВУЗЫ - М.: «Высшая школа», 2003. 14.Кузнецова Л.В. и др. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. - М.: Дрофа, 2002.

15.Сборник тестов по математике, Астана, 2003-2005.

16.Рустюмова И.П., Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике, Алматы 2010.

Сборники задач и упражнений

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.
Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.
Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.
Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.
Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.
Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.

Сборник индивидуальных заданий по преобразованию тригонометрических выражений

Просмотр содержимого документа
«Сборник индивидуальных заданий по преобразованию тригонометрических выражений »

Похожие файлы

Полезное для учителя

Сборник индивидуальных заданий по преобразованию тригонометрических выражений

Просмотр содержимого документа «Сборник индивидуальных заданий по преобразованию тригонометрических выражений »

Похожие файлы

Полезное для учителя

Просмотр содержимого документа
«Сборник индивидуальных заданий по преобразованию тригонометрических выражений »