Прямая пропорциональность в школьном курсе математики

23

Реферат на тему

«Прямая пропорциональность» в школьном курсе математики»

по учебной дисциплине «Методика преподавания математики»

Работу выполнила

Сидоренко Елена

2021 г.

Cодержание

1. Ситуации, которые приводят к понятию «прямая пропорциональность» ……3

2. Роль функции y = 4x в изучении «прямой пропорциональности» …………..4

3. График функции y = 4x…….………………………........................................…..5

4. Свойство функции «прямая пропорциональность» …………………………....8

5. Особенности методики изучения «прямой пропорциональности» ……….…..9

Список литературы ………………….……………………………………………..20

1. Ситуации, которые приводят к понятию «прямая пропорциональность»

Одним из понятий, отражающих взаимосвязи явлений и предметов, является понятие функции. Это одно из важнейших понятий математики, исходное понятие ведущей ее области – математичаского анализа. В школе, как и в математике вообще, основное внимание уделяется числовым функциям. Причиной этого является тесная связь математики с естественными науками, в частности с физикой, для которых аппарат функций служит средством количественного описания свойств и явлений, их взаимосвязей.

Мы довольно часто встречаемся с зависимостью между двумя величинами, при которой для вычисления значений одной величины нужно значения другой величины умножать на одно и тоже число. Рассмотрим несколько примеров таких функций.

Пример 1. Путник движется с постоянной скоростью 4 километра в час. За первый час он пройдёт 4 км, за 2 часа— 8 км и так далее. Сколько километров он пройдёт за t часов?

Каждому значению времени t соответствует определённый путь s, пройденный путником. Его можно вычислить по формуле s = 4t.

Она задаёт зависимость пути s от времени t, то есть задаёт некоторую функцию s(t).

Пример 2. Одна минута разговора по сотовому телефону стоит 50 копеек. Неполная минута разговора округляется до целой минуты. Сколько стоит разговор продолжительностью 12 минут? 25 минут?

На эти вопросы можно ответить с помощью формулы C = 50t.

Здесь C — стоимость разговора в копейках, а t — продолжительность разговора в минутах, округлённая до целого значения в бoльшую сторону.

Чтобы найти стоимость разговора, нужно 50 копеек умножить на продолжительность разговора. Например, 12-минутный разговор обойдётся в 600 копеек.

Получать ответ в копейках не очень удобно. Интересующую нас зависимость лучше записать так, чтобы результат получался в рублях. Поскольку 50 копеек —это 0,5 рубля, формулу для нахождения стоимости C разговора можно записать так: C = 0,5t.

Эта формула задаёт некоторую функцию C(t).

Функции, заданные формулами S = 4t и C = 0,5t , имеют одно общее свойство.

Если значения функций обозначить переменной y, а значения их аргументов —переменной x, то обе функции можно задать одной формулой y = kx , где k —некоторое число, не равное 0. Для этих функций отношение y/x = k постоянно при всех x ≠ 0. Следовательно, величины x и y прямо пропорциональны, а число k является коэффициентом пропорциональности.

Определение. Функция, задаваемая формулой y = kx, k ≠ 0, называется прямой пропорциональностью.

Исследуем свойства прямой пропорциональности, придерживаясь общей схемы исследования любой функции.

Схема исследования функции:

1. Область определения.

2. Чётность или нечётность.

3. Нули.

4. Промежутки знакопостоянства.

5. Промежутки монотонности.

6. Наибольшее и наименьшее значения.

При исследовании свойств 1–6 функции изучаются и свойства графика функции [8].

2. Роль функции y = 4x в изучении «прямой пропорциональности»

При исследовании свойств 1–6 функции изучаются и свойства графика функции.

Исследования начнём с рассмотрения конкретной функции данного вида.

Задание 1. Исследуйте свойства функции y = 4x.

1. Область определения.

Правая часть равенства y = 4x является одночленом первой степени относительно x и, следовательно, имеет смысл при любом значении x из R. Область определения функции — всё множество действительных чисел R. Область определения функции симметрична относительно 0.

2. Чётность или нечётность.

Для всякого x из R выполняется равенство

f(− x) = 4(− x) = −(4x) = − f(x).

Функция y = 4x — нечётная.

3. Нули.

Решим уравнение f(x) = 0:

4x = 0;

x = 0.

Функция имеет единственный нуль x = 0.

4. Промежутки знакопостоянства.

Решим неравенство f(x) 0:

4x 0;

x 0.

Функция принимает положительные значения только на интервале (0; + ∞). Обращается в 0 только при x = 0. На оставшемся интервале области определения, а именно на интервале (−∞;0), функция принимает отрицательные значения.

5. Промежутки монотонности.

Возьмём произвольные значения x₁ и x₂ из R, удовлетворяющие неравенству x₁ ₂. Так как 4 0 , то согласно свойствам неравенств, выполняется неравенство 4x₁ ₂, то есть f(x₁) ₂). Значит, функция является возрастающей на всей области определения R, то есть на интервале ( − ∞; + ∞).

6. Наибольшее и наименьшее значения.

Аргументу x функции можно придавать как угодно большие по модулю значения. Поэтому и значения 4 x функции могут быть как угодно большими по модулю. Значит, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Рассмотрим график функции.

Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции.

Для этого построим таблицу значений функции, взяв значения аргумента x от − 3 до 3 с шагом 1:

х	− 3	− 2	− 1	0	1	2	3
у = 4х	− 12	− 8	− 4	0	4	8	12

Построим полученные точки на координатной плоскости xOy.

Все точки расположились на одной прямой (рис.1).

Рис. 1

Можно сделать вывод, что графиком любой прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат O (0;0) и A (1; k).

3. График функции y = 4x

Для построения графика функции y = kx достаточно построить на координатной плоскости точку A (1;k) (или любую другую точку, принадлежащую графику и отличную от начала координат) и провести прямую OA.

В частности, графиком функции y = 4x является прямая, проходящая через точки O (0;0) и A (1;4) (рис. 1).

Задание 2. Переформулируйте рассмотренные свойства функции y = 4x как свойства её графика.

Сравните результаты своей работы со следующими.

1. Область определения функции — все множество действительных чисел R.

Для всякого x ∈ R существует единственная точка графика с абсциссой x. Другими словами, для любой точки оси Ox прямая, проходящая через эту точку параллельно оси Oy , пересекает график функции в единственной точке.

2. Функция нечётная.

График функции симметричен относительно начала координат.

3. Функция имеет единственный нуль: y = 0 только при x = 0.

График функции пересекает ось абсцисс только в точке O (0;0), то есть проходит через начало координат.

4. Для всех x ∈ ( −∞;0) значения функции y = 4x отрицательны; а для всех x ∈ (0; + ∞) значения положительны.

На интервале ( −∞; 0) график функции расположен ниже оси абсцисс, а на интервале (0; + ∞) — выше оси абсцисс. В целом график расположен в первой и третьей координатных четвертях.

5. Функция y = 4x возрастает на всей области определения.

При возрастании x от −∞ до + ∞ ордината y точки графика с абсциссой x возрастает. Наглядно это можно представить так: при движении точки по графику функции слева направо эта точка все время поднимается.

6. Функция y = 4x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Значения функции могут быть как угодно большими по модулю.

На графике функции есть точки со сколь угодно большими по модулю ординатами.

Задание 3. Постройте на координатной плоскости графики функций y = 2x и
y = − 2x.

При выполнении задания можете воспользоваться приведённым ниже построением графика функции y = 2x.

График функции y = 2x проходит через начало координат — точку O (0;0). Построим ещё одну точку, принадлежащую графику функции. Так как k = 2, то самым простым является выбор точки A (1;2). Проводим прямую OA (рис. 2).

Рис. 2

Задание 4. Постройте в одной и той же системе координат графики функций:

y = x; y = x; y = 2x; y = − 4x; y = − x.

Сравните свои графики с графиками на рис. 3. У каких из данных функций свойства 1–6 совпадают со свойствами функции y = 4x , а у каких отличаются?

Рис. 3

Сравните результаты своих исследований со следующими.

Каждая из данных функций является прямой пропорциональностью. Все свойства 1–6 функций с положительным коэффициентом пропорциональности k : y = x; y = x ; y = 2 x совпадают с соответствующими свойствами функции
y = 4x. У функций с отрицательным коэффициентом k : y = − 4x; y = − x со свойствами функции y = 4 x совпадают все свойства, кроме двух: 4) интервалы знакопостоянства; 5) интервалы возрастания (убывания).

Рассмотрим свойства 4) и 5) функции y = kx.

4. Если k 0 , то на интервале ( −∞;0) выполняется неравенство f(x) 0.

Если же k 0, а на интервале (0; + ∞) — неравенство f(x)

Доказательство. Пусть k 0. Если x ∈ ( −∞;0) , то x

Если же x ∈ (0; + ∞), то x 0 и тогда kx 0 , то есть f(x) 0.

В случае, когда k

5. Функция y = kx на всей области определения возрастает при k 0 и убывает при k

Доказательство. Возьмём произвольные числа x₁ и x₂ из интервала ( −∞; + ∞). Пусть x₁ ₂, тогда при k 0 имеем kx₁ ₂, а при k₁ kx₂. Это означает, что функция y = kx при k 0 возрастает на всей области определения, а при k

4. Свойства функции «прямая пропорциональность»

Повторим, что схема исследования функции «прямая пропорциональность» состоит из 6 свойств: область определения, чётность или нечётность, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значения. Поэтому подведём итоги исследования функции y = kx. Свойства функции представим в таблице.

5. Особенности методики изучения «прямой пропорциональности»

Изучение функций (прямая пропорциональность, линейная функция, обратная пропорциональность, квадратичная функция) строится по пану, который полезно разработать совместно с учащимися.

Такой подход позволяет хранить в памяти свойства каждой из функций, ее график, строить планы изучения новых функций. Владение способом изучения функций поможет учащимся быть самостоятельными в учебном процессе.

Приведем план изучения функции конкретного вида.

1. Рассматриваются ситуации, в которых имеет место определенная связь между величинами. Она исследуется с точки зрения понятия «функция». Функция задается с помощью формулы.

2. Дается определение функции данного вида.

3. Исследуются свойства функции с опорой на общую схему исследования:

1) находят область определения функции;

2) выясняют, является функция чётной или нечётной;

3) находят нули функции;

4) находят промежутки знакопостоянства функции;

5) находят промежутки возрастания и промежутки убывания функции;

6) находят наибольшее и наименьшее значения функции.

Свойства конкретной функции могут быть получены учащимися на основе анализа аналитического задания функции (с опорой на схему исследования), а затем переведены на язык ее графика.

Возможен другой сценарий изучения свойств функции. Часть свойств (область определения; четность или нечетность; нули функции) изучаются на основе анализа аналитического задания функции. Затем рассматривается график функции. С него «считываются» такие свойства функции, как промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания. Далее эти свойства доказываются.

При изучении функции большое внимание уделяется алгоритму построения графика функции. Проводится исследование графика функции, выделяются новые свойства функции.

4. Рассматривается применение функции для решения различных задач.

Содержание учебного материала представлено таким образом, чтобы предоставить возможность учащимся рассуждать о свойствах функции на различных языках представления информации; обосновывать эти свойства, осознавать влияние коэффициентов в аналитическом задании функции на ее свойства.

Рассмотрим особенности изучения прямой пропорциональности.

Изучение данной функции начинается с рассмотрения двух ситуаций, в которых величины связаны прямой пропорциональностью.

Пример 1. Путник движется с постоянной скоростью 4 километра в час. За первый час он пройдёт 4 км, за 2 часа— 8 км и так далее. Сколько километров он пройдёт за t часов?

Каждому значению времени t соответствует определённый путь s, пройденный путником. Его можно вычислить по формуле s = 4t.

Она задаёт зависимость пути s от времени t, то есть задаёт некоторую функцию s(t).

Пример 2. Одна минута разговора по сотовому телефону стоит 50 копеек. Неполная минута разговора округляется до целой минуты. Сколько стоит разговор продолжительностью 12 минут? 25 минут?

На эти вопросы можно ответить с помощью формулы C = 50t.

Здесь C — стоимость разговора в копейках, а t — продолжительность разговора в минутах, округлённая до целого значения в бoльшую сторону.

Чтобы найти стоимость разговора, нужно 50 копеек умножить на продолжительность разговора. Например, 12-минутный разговор обойдётся в 600 копеек.

Получать ответ в копейках не очень удобно. Интересующую нас зависимость лучше записать так, чтобы результат получался в рублях. Поскольку 50 копеек —это 0,5 рубля, формулу для нахождения стоимости C разговора можно записать так: C = 0,5t.

Эта формула задаёт некоторую функцию C(t).

Функции, заданные формулами S = 4t и C = 0,5t , имеют одно общее свойство.

Если значения функций обозначить переменной y, а значения их аргументов —переменной x, то обе функции можно задать одной формулой y = kx , где k —некоторое число, не равное 0. Для этих функций отношение y/x = k постоянно при всех x ≠ 0. Следовательно, величины x и y прямо пропорциональны, а число k является коэффициентом пропорциональности.

При рассмотрении соответствующих задач важно ответить на вопросы:

- между какими величинами установлено соответствие?

- является ли это соответствие функций?

- как можно охарактеризовать функцию?

- что общего между данными ситуациями и чем они различаются?

- с помощью какой формулы можно задать эти функции? и т. д.

Учащиеся убеждаются, что для этих функций отношение y/x = k при всех х ≠ 0.

Следовательно, величины x и y прямо пропорциональны, а число k является коэффициентом прямой пропорциональности. Дается определение функции, ставится задача исследовать её свойства.

Возможна следующая схема исследования свойств функции:

1. В качестве фокус-примера изучаются свойства функции у = 4x на основе схемы исследования. Свойства функции рассматриваются на двух языках: аналитическом и графическом.

Например:

1. Область определения.

Правая часть равенства y=4x является одночленом первой степени относительно x и, следовательно, имеет смысл при любом значении x из R Область определения функции - всё множество действительных чисел R. Область определения функции симметрична относительно 0.

2. Чётность или нечётность.

Для всякого x из R выполняется равенство f(−x) = 4(−x) = −(4x) = −f(x).

Функция y = 4x - нечётная.

3. Нули.

Решим уравнение f(x) = 0: 4x = 0;

х = 0.

Функция имеет единственный нуль x = 0.

Рассмотрим график функции y = 4x.

Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции. Для этого построим таблицу значений функции, взяв значения аргумента x от −3 до 3 с шагом 1:

х	− 3	− 2	− 1	0	1	2	3
у = 4х	− 12	− 8	− 4	0	4	8	12

Построим полученные точки на координатной плоскости xOy.

Все точки расположились на одной прямой (рис. 4). Случайно ли это?

Рис. 4

Можно доказать, что графиком любой прямой пропорциональности y = kx является прямая, проходящая через начало координат O (0;0) и точку A (1;k).

Для построения графика функции y=kx достаточно построить на координатной плоскости точку A(1; k) (или любую другую точку, принадлежащую графику и отличную от начала координат) и провести прямую OA.

В частности, графиком функции y=4x является прямая, проходящая через точки O(0; 0) и A(1; 4) (рис. 5).

Рис. 5

4. Промежутки знакопостоянства.

Анализ графика функции позволяет сделать вывод, что функция принимает положительные значения только на интервале (0; +∞). Обращается в 0 только при x=0. На оставшемся интервале области определения, а именно на интервале (−∞; 0), функция принимает отрицательные значения.

5. Промежутки монотонности.

Функция является возрастающей на всей области определения R то есть на интервале (−∞; +∞).

6. Наибольшее и наименьшее значение.

Аргументу x функции можно придавать как угодно большие по модулю значения. Поэтому и значения 4x функции могут быть как угодно большими по модулю. Значит, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Специальное внимание уделяется исследованию роли коэффициента k для определения особенностей графика функции y=kx и изучения ее свойств.

С этой целью учащимся предлагаются задания, которые помогут сравнить свойства прямой пропорциональности при различных значениях коэффициента k со свойствами функции y=4x.

В итоге изучения темы учащиеся могут сформулировать свойства коэффициента k:

коэффициент k – это коэффициент прямой пропорциональности; он определяет угол наклона к оси Ox; от знака k зависят промежутки возрастания (убывания) функции и промежутки знакопостоянства. Коэффициент k характеризует скорость изменения функции.

Итак, можно выделить следующие методические этапы изучения функции «прямая пропорциональность»: мотивация; исследование свойств (на основе общей схемы) на примере функции у = 4х; рассмотрение функции y = kx при различных k; сравнение их со свойствами функции у = 4х. Выделение функции у = kx (k 0) и функции у = kx (k

На примере заданий практикума рассмотрим упражнения, посвященные применению линейной функции [3].

Задание 109. 1) Рассмотрите приёмы построения графика функции y = 3x.

Приём первый.

Графиком любой прямой пропорциональности является прямая, проходящая через точку O(0;0). Для построения прямой потребуется ещё одна точка. Если x = 2, то y = y(2) = 3∙ 2 = 6, получим точку A(2;6). Проведём через две точки O и A прямую (рис. 6). Получим график функции y = 3x.

Рис. 6

Приём второй.

График y = 3x пройдёт через начало координат O(0;0). Найдём ещё одну точку графика функции. При увеличении значения аргумента x на 1 значение функции увеличивается на 3.

Чтобы найти вторую точку графика функции y = 3x, можно от известной точки O продвинуться вправо по оси Ox на 1 единицу и подняться вверх параллельно оси Oy на 3 единицы (рис. 7). Получим точку A. Прямая OA — график функции y = 3x.

Рис. 7

2) Постройте график прямой пропорциональности:

а) y = 5x; y = x; б) y = −3x; y = − x.

Построим график функции y = 5x. Пусть х = 2, тогда у = у(2) = 5∙2 = 10. Построим точку А (2;10) и через нее и начало координат проведем прямую. Эта прямая является графиком функции y = 5x (рис. 8).

Рис. 8

Построим график функции y = x. Пусть х = 2, тогда у = у(2) = ∙2 = 1. Построим точку В (2;1) и через нее и начало координат проведем прямую. Эта прямая является графиком функции y = x (рис. 9).

Рис. 9

Построим график функции y = −3x. Пусть х = 2, тогда у = у(2) = −3∙2 = −6. Построим точку С (2; −6) и через нее и начало координат проведем прямую. Эта прямая является графиком функции y = −3x (рис. 10).

Рис. 10

Построим график функции y = − x. Пусть х = 3, тогда у = у(3) = − ∙3 = −1. Построим точку В (3; −1) и через нее и начало координат проведем прямую. Эта прямая является графиком функции y = − x (рис. 11).

Рис. 11

3) Чем отличаются графики первых двух функций от графиков вторых двух функций? Что у них общего? Какие из данных функций являются возрастающими, а какие убывающими? Укажите скорости изменения каждой функции.

Графики первых двух функций отличаются от графиков вторых двух функций числом k − коэффециентом прямой пропорциональности.

Графиком каждой функции у = kх является прямая, проходящая через начало координат О(0;0) и точку А(1;k).

Функции y = 5x и y = x являются возрастающими на множестве действительных чисел: если значения х растут, то растут и значения функции. Функции y = −3x и y = − x убывающие на множестве действительных чисел: если значения х растут, то значения функции уменьшаются.

Скорости изменения функции у = kх равна k. Она не зависит от выбора промежутка [х₁;х₂], то есть постоянна для всех промежутков. При k0 говорят о скорости возрастания функции, а при kk, тем больше скорость возрастания функции у = kх.

Теперь мы можем сказать, что функции y = 5x и y = x возрастают на области определения, но функция y = 5x возрастает с большей скоростью, чем функция y = x. Функции y = −3x и y = − x убывают на области определения, но функция y = −3x убывает с большей скоростью, чем функция y = − x.

Задание 110. Постройте график прямой пропорциональности, если она

1) задана аналитически:

а) y = −3,5x; б) y = x;

2) имеет коэффициент k = −6;

3) её график проходит через точку A(2;3);

4) принимает значение y(−5) = −12,5.

В каких четвертях координатной плоскости лежит каждый график?

Расположение графика функции у = kх в координатной плоскости зависит от коэффициента k. Из формулы у = kх находим, что если х = 1, то у = k. Значит, график функции у = kх проходит через точку (1; k). При k0 эта точка расположена в первой координатной четверти, а при kk0 график прямой пропорциональности расположен в первой и третьей координатных четвертях, а при k

Построенные графики прямой пропорциональности y = 2,5x, y = 1,5x и y = x расположен в первой и третьей координатных четвертях, а графики y = −6x и y = −3,5x – во второй и четвертой.

Задание 114. 1) На координатной плоскости даны три прямые (рис. 12).

Две из них определяются уравнениями y = 5x и y = x.

Запишите уравнение третьей прямой. Почему оно не может быть таким:
y = −5x?

Рис. 12

Графиком каждой функции у = kх является прямая, проходящая через начало координат и точку А(1;k).

Данные три прямые проходят через начало координат.

Построим на каждой из них точку с абсциссой х = 1. Для этого достаточно отметить точки пересечения этих прямых с прямой l, проходящей параллельно оси ординат и пересекающей ось абсцисс в точке М₄(1;0) (рис. 13).

Рис.13

Обозначим их соответственно как М₁, М₂, М₃. По графикам находим координаты данных точек: М₁(1;5), М₂(1;1), М₃(1; ).

У функции y = 5x коэффициент пропорциональности k = 5. Поэтому ее график проходит через точку М₁(1;5). Значит, графиком функции y = 5x является прямая l₁.

У функции y = x коэффициент пропорциональности k = . Поэтому ее график проходит через точку М₃(1; ). Значит, графиком функции y = x является прямая l₃.

Прямая l₂ не является графиком ни одной из функций, приведенных в задании. Она проходит через начало координат и точку М₂(1;1). Эту прямую можно рассматривать как график функции у = х.

Уравнение третьей прямой не может быть y = −5x. У функции y = −5x коэффициент пропорциональности k = −5. Поэтому ее график должен проходить через точку (1; −5) и располагаться во второй и четвертой координатных четвертях. В нашем случае точек с такими координатами нет.

2) Запишите аналитическое задание прямой пропорциональности, график которой проходит через точку:

а) A(−4;3); б) B(−4;−2); в) O(0;0).

График прямой пропорциональности, который проходит через точку A(−4;3) имеет аналитическое задание у = − x.

График прямой пропорциональности, который проходит через точку B(−4;−2) имеет аналитическое задание у = x.

График прямой пропорциональности, который проходит через точку O(0;0), пересекает ось Ох только в точке (0;0) и совпадает с осью абсцисс.

Список литературы

1. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 16-е изд., доп. – М.: Просвещение, 2009. – 224 с.

2. Глузман Н.А. Начальный курс математики: Учебник для студ.выс.пед.учеб.заведений специальности: «Начальное обучение» – Ялта: Редакционно-издательский центр КГУ, 2008. - 311 с.

3. Лекция 1.

4. Математический интернет-портал «Вся математика»: http://www.allmath.ru

Интернет-тест по математике: http://www.mathtest.ru

5. Мерзляк А.Г. Математика: 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – 2-е изд., перераб. – М.: Вентана-Граф, 2017. – 304 с.

6. Мерзляк А.Г. Алгебра: 7 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/ А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. – М.: Вентана-Граф, 2015. – 272 с.

7. Понтрягин Л.С. Математический анализ для школьников. – 3-е изд., стер. – М.: Наука. гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 96 с.

8. Приложение 1.

9. Приложение 2.

10. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие: в 2 ч. / Н.М. Рогановский, Е.Н. Рогановская. - Могилев: УО «МГУ им. А. А. Кулешова», 2010. - Ч. 1: Общие основы методики преподавания математики (общая методика). - 312 с.

11. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся пед. уч-щ по спец. № 2001 «Преподавание в нач. классах общеобразоват. шк.» – М.: Просвещение, 1988. – 320 с.