Площадь. Единицы измерения площади. Палетка

«Площадь. Единицы измерения площади. Палетка.»

Ермакова Ирина Григорьевна

Донецк, 2022

Введение. В школьном курсе математики мы в основном имеем дело с многоугольниками. Между тем, на практике часто возникает необходимость найти площадь фигуры неправильной формы. Например, на уроке физики учитель предложил определить давление ученика на пол, и перед нами стала проблема, как определить площадь опоры (площадь подошвы ботинок) или бывает необходимость определить площадь территории по плану или карте. Но для площадей сложных фигур отсутствуют общие формулы, аналогичные формулам для многоугольников.

Цель исследования состоит в том, чтобы сравнить эффективность различных способов практического измерения площадей, как для реальных физических объектов, так и для фигур, площади которых могут быть найдены по точным формулам.

Объектом исследования являются методы измерения площади фигур произвольной формы:

1) метод взвешивания;

2) использование палетки;

3) применение точных формул.

Предметом исследования является площадь фигур произвольной формы.

Гипотеза исследования заключается в том, что площадь сложной фигуры может быть измерена приближенными методами с точностью, достаточной для практических целей.

Для доказательства гипотезы были поставлены следующие задачи:

• знакомство с понятиями измерения и погрешности измерения;

• изучение методов нахождения площади с помощью взвешивания и с помощью палетки;

• измерение с помощью методов взвешивания и палетки площадей контрольных фигур: прямоугольника, квадрата, выявление погрешностей измерения;

• измерение площадей произвольных фигур с помощью изученных методов.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы: поиск, отбор и анализ содержания источников информации; сравнение и классификация; эксперимент.

Основная часть.

Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

1) равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицы площади. Как правило за ед. площади принимают площадь квадрата со стороной, равной ед. отрезку е, т. е. отрезку, выбранному в качестве ед. длины. Площадь квадрата со стороной е обозначается е^2.Н-р, если длина стороны еденич. квадрата m, то его площадь m^2.Одним из приемов измерения площадей является палетка - сетка квадратов, нанесенной на прозрачный материал. Допустим, что на фигуру F, площадь которой надо измерить, наложена палетка. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить кв. двух видов:

1) кв., которые целиком лежат внутри фигуры F;

2) кв., через которые проходит контур фигуры и которые лежат частью вне, часть. Внутри фигуры F.

Как видим, такая палетка позволяет измерить площадь фигуры F лишь с невысокой точностью. Из определения площади и сути ее измерения вытекают известные правила сравнения площадей и действия над ними.

1) Если фигуры равны, то равны числен. знач. их площадей. фигуры у которых площади равны, называются равновеликие.

2) Если фигура F составлена из фигур F1, F2,… Fn, то числен. знач. площади фигуры F равно сумме числен. знач. площадей фигур F1, F2…Fn.

3) При замене ед. площади числен. знач. площади увеличивается во столько раз, во сколько новая ед. меньше старой.

Квадратная палетка представляет собой прозрачный лист, на котором нанесена сеть квадратов со сторонами 2 – 10 мм. Зная длину стороны одного квадрата и масштаб плана, можно вычислить площадь квадрата. Например, масштаб карты (плана) 1:10 000. Следовательно, площадь одного квадрата со стороной 1 см будет равна 10 000 м2 или 1 га.

Рисунок 1. – Определение площади способом палетки

Для определения площади палетку накладывают на замкнутый контур (Рисунок 1.). Площадь подсчитывается как сумма полных и неполных квадратов. Недостаток графического способа заключается в том, что количество неполных квадратов приходится оценивать на глаз. На рисунке 4.4 число полных квадратов 15, а неполных примерно равно 8,5 для каждого неполного квадрата глазомерно определяют, какую часть он составляет от полного. Следовательно, отсюда относительная ошибка определения площади палеткой составляет 1/100.

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур – любая из них обладает площадью. Площади фигур – это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Площади плоских фигур правильной геометрической формы, например, прямоугольников, треугольников, кругов, обычно определяют с помощью косвенных измерений. Сначала измеряют линейные размеры фигуры (длину, высоту, ширину, радиус), а потом вычисляют площадь, пользуясь соответствующими математическими формулами.

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Если фигура имеет неправильную геометрическую форму, то ее площадь можно определить, начертив контур этой фигуры на бумаге в клеточку или с помощью палетки – листом из прозрачного материала, на который нанесена сетка линий, образующих при пересечении квадраты эталонного размера. В этом случае площадь фигуры вычисляют по формуле (2)

где n — количество целых квадратиков; k — количество нецелых квадратиков, С — площадь одного квадратика.

Для контроля расчётов площадь измеряют повторно, развернув палетку на 45° в любую сторону. Среднее значение расчётов до и после поворота и принимают за площадь искомого участка.

Площадь S измеряемой фигуры (рис.1) заключена в пределах , где – площадь фигуры, состоящей из квадратиков, полностью находящихся внутри контура измеряемой фигуры, а – площадь фигуры, состоящей из указанных квадратиков, а также квадратиков, пересекаемых контуром. По формулам (1) получаем: .

Количество квадратиков, пересекаемых контуром, определяет, во сколько раз погрешность больше, чем половина единицы измерения – площади эталонного квадрата. Поэтому способ измерения палеткой не слишком точен. Для измерения площади с меньшей погрешностью нужно измерять некоторую вспомогательную величину, по которой можно легко восстановить значение площади, и для которой существуют измерительные приборы со шкалой, позволяющие измерять вспомогательную величину с наименьшей возможной погрешностью – половиной цены деления шкалы.

Метод измерения вспомогательной величины придуман еще в древности и заключается в измерении массы плоской копии измеряемой фигуры. Если толщина листа, из которого изготовлены взвешиваемая фигура, постоянна, то масса фигуры прямо пропорциональна ее площади. Нужно нанести на плотную бумагу квадрат, площадь которого S0 точно известна, вырезать его и определить на весах его массу m0. На такую же бумагу перенести фигуру с искомой площадью S. Вырезать фигуру и определите её массу m. Затем, пользуясь правилом пропорции – S/S0 = m/m0, вычислить искомую площадь.

Тогда . (3)

В качестве измеряемых фигур были взяты фигуры в форме ладони и подошвы. В качестве эталонных фигур были взяты квадрат со стороной 10 см (эталон 1) и прямоугольник со сторонами 15 см и 6 см (эталон 2), изготовленные из картона. Площадь эталонных фигур можно найти по известным формулам:

.

Для выполнения этой части работы были изготовлены палетки I и II с сеткой 1смсм и 0,5см0,5см.

На палетке I эталон 1: 1кв.ед.=1 см2

n=77

k=38

S1=77 кв.ед.

S2=115 кв.ед.

S= (77+115)/2=96 см2

= (115-77)/2=19

На палетке II эталон 1: 1кв.ед.=0,25 см2

n=364

k=68

S1=364 кв.ед.

S2=432 кв.ед.

S= ((364+432)/2)0,25=94,5 см2

= ((432-364)/2)0,25=8,5

На палетке I эталон 2: 1кв.ед.=1 см2

n=72

k=40

S1=72 кв. ед.

S2=112 кв. ед.

S= (72+112)/2=92 см2

= (112-72)/2=20

На палетке II эталон 2: 1кв.ед.=0,25 см2

n=330

k=68

S1=330 кв. ед.

S2=398 кв. ед.

S= ((330+398)/2)0,25=91 см2

= ((398-330)/2)0,25=8,5

На палетке I фигура1(ладонь): 1кв.ед.=1 см2

n=75

k=90

S1=75 кв. ед.

S2=165 кв. ед.

S= (75+165)/2=120 см2

= (165-75)/2=45

На палетке II фигура1(ладонь): 1кв.ед.=0,25 см2

n=453

k=126

S1=330 кв. ед.

S2=398 кв. ед.

S= ((453+579)/2)0,25=129 см2

=( (579-453)/2)0,25=15,75

На палетке I фигура2(подошва): 1кв.ед.=1 см2

n=142

k=50

S1=142 кв. ед.

S2=192 кв. ед.

S= (142+192)/2=167 см2

= (192-142)/2=25

На палетке II фигура 2(подошва): 1кв.ед.=0,25 см2

n=640

k=86

S1=640 кв. ед.

S2=726 кв. ед.

S= ((640+726)/2)0,25=170,75 см2

= ((726-640)/2)0,25=10,75

Алгоритм вычисления площади с помощью палетки:

1. Наложите палетку на фигуру.

2. Сосчитайте число m, целых клеток внутри фигуры.

3. Сосчитайте число n неполных клеток фигуры и разделите это число на 2.

4. Вычислите значение площади по формуле: S= m + n: 2 (если число – n нечетно, то увеличить или уменьшить его на 1).

Выводы

Как показали проведенные исследования, и метод взвешивания, и измерение площади с помощью палетки являются пригодными для приближенного нахождения площадей фигур сложной формы.

Гипотеза исследования подтверждена.

Точность измерений можно повысить, используя более точные весы или палетки, с разбиением на более мелкие квадратики или площадь измеряют повторно, развернув палетку на 45° в любую сторону. Среднее значение расчётов до и после поворота и принимают за площадь искомого участка.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ:

1. Р.И. Малафеев. Творческие задания по физике VI-VII.

2. Гирке Р., Шпрокхоф Г. Эксперимент по курсу элементарной физики. Часть I. – М.: Учпедгиз, 1959. 368 с.

3. Атанасян Л.С., В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия. 7-9 классы учебник - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 383 с.

4. Болтянский В. О понятиях площади и объема // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» 1977. - №5

5. Новиков И. Метод площадей // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» - 1971. - №12.

6. Садовский Л., Садовский А. Как измеряют площадь? // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». - 1973. - №10.