Основные правила дифференцирования

ПрактическАЯ РАБОТА№ 3

Тема: «Основные правила дифференцирования. Вычисление производных логарифмических, показательных и тригонометрических функций»

Цели:

• повторить основные формулы и правила дифференцирования;

• научиться вычислять производные логарифмических, показательных и тригонометрических функций.

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых пяти примеров

оценка «3» ставится за выполнение задания 1 и верное решение любых четырех примеров

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 4

- Выписать в тетрадь формулы и правила для вычисления производных

- Записать в тетрадь решение рассмотренных примеров

Задание 2.

Решить примеры для самостоятельного решения

Лекция 4.

Тема « Производная и дифференциал.

Основные правила дифференцирования»

Производной функции y = f(x) в точке x (производной первого порядка) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Если этот предел конечный, то функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x; в противном случае (т. е. если он не существует или равен бесконечности) – недифференцируемой. В том случае, когда предел есть бесконечность, говорят, что функцияy = f(x) имеет в точке xбесконечную производную.

Дифференциалом dy функцииy = f(x) (дифференциалом первого порядка) называется главная часть её приращения, пропорциональная приращению независимой переменной.

Дифференциал dxнезависимой переменной x равен её приращению

dx =

Дифференциал любой дифференцируемой функции y = f(x) равен произведению её производной на дифференциал независимой переменной:

dy = dx

Это соотношение остаётся в силе и тогда, когда x есть функция другого аргумента – в этом заключается инвариантность формы первого дифференциала. Из формулы dy = dx получаем = , т. е. производная первого порядка функции y = f(x) равна отношению первого дифференциала функции к дифференциалу её аргумента.

Основные правила дифференцирования:

1. С'= 0

2. (uv)'=u' v'– производная суммы или разности

3. (u- производная произведения

4. ( - производная дроби

Таблица производных основных элементарных функций:

1.х' = 1 10. (arcsin x)' =

2. (ах + в)' = а 11. (arccosx)' = -

3. ()' = 12. (arctg x) ' =

4. ()' = - 13. (arcctg x) ' =-

5. (х)' = пх 14. (

6. (sinx)' = cosx 15. (

7. (cosx)' = sinx 16. (

8.(tgx)' = 17. (lnx)'=

9.(ctgx)' = -

Примеры

1. y(x) = -7x³ + 9x² + 4x - 1Найти: y'(x)

y'(x) = -7 3x² + 9 2x + 4 ² + 18x +4

2. y(x)= - + 4 + 17x⁴ Найти: y'(x)

y'(x)= -9 (- + 4 +17 4x³ = + + 68x³

3. y(x) = (х³ – 1)(х² + х + 1) Найти: y'(x)

y'(x) = (х³ – 1)'(х² + х + 1) + (х³ – 1)(х² + х + 1)' =

= 3

=3х⁴ + 3х³ +3х² + 2х⁴ +х³ – 2х -1 = 5х⁴ + 4х³ + 3х² – 2х -1

4. y(x) = (3х² + 1)(2х ² + 3) Найти: y'(-1). Решить самостоятельно.

5. y(x) = (4х³ - 2х² – 5х)(х² – 7х) Найти: y'(1). Решить самостоятельно.

6. y(x) = Найти: y'(x)

y'(x) = = = =

7. y(x) = Найти: y'(1). Решить самостоятельно.

8. y(x) = Найти: y'(2). Решить самостоятельно.

9.у(х) =

y'(x) = = = =

= =

10. у(х) =

y'(x) = (x²)' = =

= (2sinx +

11.у(х) = – arccosx

y'(x) = = 2

12. у(х) = e^x

y'(x) = (e^x)' =

= =

13. у(х) = 6^xarctgx

y'(x) = (6^x)' + 6^x ( + 6^x =

= +

14. у(х) = 2 -

у(х) = 2 – 3x^-2

y'(x) = 2 - 3(-2)x^-3 = + =

15. у(х) = x²

y'(x) = (x²)' = x(2 + )

Примеры для самостоятельного решения

16. у(х) = sinx Найти: y'(x)

17. у(х) = Найти: y'(x)

18. у(х) = Найти: y'(x)

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

• устный опрос.

1. Назвать основные формулы для вычисления производных

2. Назвать основные правила для вычисления производных

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия