Нестандартные алгебраические системы уравнений

Секция: математика

Тема: «Нестандартные алгебраические системы уравнений»

Кобаидзе Н. И.

План

1. Введение.

2. Решение нестандартных алгебраических систем уравнений. (Основные понятия и методы решений).

1. Основные понятия

2. Различные преобразования и методы решений

3. Решение нестандартных алгебраических систем уравнений известными способами и методом - три «З».

1. Выводы.

2. Заключение.

3. Литература

Решение нестандартных алгебраических систем уравнений.

Цель: научиться решать системы уравнений разными способами и известными методами.

Проблема данного исследования: как применять методы при решении систем алгебраических уравнений.

Объектом исследования будут служить нестандартные алгебраические системы уравнений

Предметом – применение методов и различных способов решения алгебраических систем уравнений.

Задачи:

1. Рассмотреть основные понятия систем с двумя и тремя неизвестными (переменными), преобразования и методы решений.

2. Научиться применять различные методы и известные способы при решении нестандартных алгебраических систем уравнений.

3. Обосновать применение метода: Три - «З» при решении нестандартных алгебраических уравнений.

4. Создать компьютерную программу для решения примеров вида П-1и П-11.

Актуальность

Единых способов решения систем нестандартных алгебраических уравнений нет, этот раздел в алгебре считается по праву трудным, поэтому исследуемая тема сегодня особенно актуальна и востребована, особенно при сдаче ЕГЭ, на олимпиадах и конкурсах.

Вступление

На вступительных экзаменах (где они ещё проводятся) в вузах предлагаются задачи, в которых требуется решить системы алгебраических уравнений или неравенств. Этот раздел алгебры по праву считается одним из трудных, так как нет единых способов решения нетрадиционных систем алгебраических уравнений.

Многие учащиеся вопрос о нахождении решений системы уравнений понимают как формальное выполнение ряда алгебраических преобразований и не обосновывают законность выполняемых преобразований, которые могут привести как к появлению посторонних решений, так и к потере решений. В работе рассмотрим основные понятия и виды различных преобразований систем уравнений с двумя и тремя неизвестными. Решим несколько уравнений своим методом три - «З» (задать, заметить, заключить) и несколько нетрадиционных систем уравнений известными способами, которые ещё надо заметить методом пристального взгляда и применить их.

Мы будем рассматривать только системы уравнений, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, ибо в плане эффективного, технологичного нахождения множества решений перспективно рассмотрение только таких систем.

Решение нестандартных алгебраических систем уравнений.

1. Основные понятия.

Будем рассматривать системы с двумя и тремя неизвестными (переменными). Систему двух уравнений с двумя неизвестными x и y можно записать в виде

(1)

Если левые и правые части уравнений системы (1) являются многочленами от x и y или представляются в виде отношения многочленов, то систему (1) называют алгебраической.

Решением системы (1) называется пара чисел x, y, при подстановке которых соответственно вместо x и y каждое уравнение системы (1) становится верным числовым равенством. Множество решений системы может быть, в частности, пустым. В этом случае говорят, что система не имеет решений (несовместна).

Процесс решения системы обычно состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы уравнений к другим, более простым, которые мы умеем решать. При этом нужно внимательно следить за тем, чтобы не потерять решения. Что касается посторонних решений для данной системы, то их обычно отсеивают с помощью проверки.

Если в результате преобразований системы (1) получена система:

(2)

такая, что каждое решение системы (1) является решением системы (2), то система (2) называется следствием системы (1).

Аналогично, уравнение

F(x, y) = G(x, y)

называют следствием системы (1), если равенство

F (x_o, y_o) = G (x_o, y_o)

является верным для каждой пары чисел x, y, образующих решение системы (1).

Если система (2) является следствием исходной системы (1), а система (1) также является следствием системы (2), то эти системы называют равносильными. Иначе говоря, системы называют равносильными, если множества их решений совпадают. В частности, две системы, не имеющие решений, являются равносильными.

Используя определения равносильности и следствия, можно утверждать, что:

1) если в системе уравнений заменить какое-либо уравнение равносильным, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная при этом система будет равносильна исходной;

2) если к данной системе присоединить уравнение, являющее следствием этой системы, то полученная система будет равносильна исходной;

3) если какое-либо уравнение данной системы заменить его следствием, а остальные уравнения оставить без изменения, то полученная система будет следствием исходной.

Общие средства перехода к равносильной системе немногочисленны. Отметим, во-первых, что простейшие преобразования любого из уравнений системы, такие как перенос, из одной части в другую, вынесение общего множителя за скобки, раскрытие скобок и т. п., не влияют на множество решений, так что приводят к равносильным системам.

Далее, чтобы перейти к равносильной системе, можно выполнить одно из следующих действий:

1. умножить какие-то из уравнений системы на числа (коэффициенты) и на место одного из затронутых уравнений поставить полученную сумму с коэффициентами;

2. в одном из уравнений выразить одну неизвестную через остальные и подставить полученное выражение во все оставшиеся уравнения, оставив, разумеется, в системе и данное уравнение;

3. заменить какое-либо уравнение равносильным ему соотношением (уравнением, системой или совокупностью).

2. Преобразования и методы

При решении систем уравнений нередко приходится применять такие преобразования систем:

как умножение обеих частей уравнения на одно и то же число (или одну и ту же функцию),

почленное сложение, вычитание, умножение и деление уравнений системы, возведение обеих частей уравнения в n-ю степень,

а также часто применяется метод подстановки (метод исключения неизвестного),

с помощью которого решение системы с двумя неизвестными сводится к решению уравнения с одним неизвестным.

Одним из распространённых способов решения систем является замена переменных. Допустим, что в системе удалось выделить какие-то повторяющиеся выражения, составленные из переменных. Тогда если каждое из них обозначить одной новой буквой (разумеется, разные выражения разными буквами), иначе говоря, сделать замену переменных, то наша система превращается в некоторую другую систему относительно новых неизвестных. Если её удаётся решить, то после этого для нахождения корней исходной системы предстоит решить одну или несколько систем, связывающих новые неизвестные со старыми.

3. Метод - три «З» (задать, заметить, заключить). Алгебраические системы:

Найдите действительные решения системы уравнений (1-10).

Мы придумали особый метод для решения алгебраических систем уравнений:

Метод - три «З» (задать, заметить, заключить).

Пример - 1

Задание -1 -ое «З»

Замечание: применить способ сложения -2 -ое «З»

Заключение: решить, проверить, ответить-3-ье «3»

Решение. Сложив уравнения системы, получим

откуда x = 3, y = −2.

Пара чисел x = 3 и y = −2, как показывает проверка, образует решение системы.

Ответ: (3; −2).

П –2

Задание – 1-ое «З»

Замечание -2-ое –«З»: применить почленное умножение

Заключение -3ье-«З»: решение, (если треб. проверить), ответ

Решение. Запишем систему в виде

Перемножив почленно уравнения этой системы, получим уравнение

которое вместе с одним из уравнений системы (1)−(2) образует систему, равносильную системе (1)−(2).

Из уравнения (3) находим

то есть

xy = 8 или xy = .

Если xy = 8, то из уравнения (1) следует, что , откуда и тогда

Если , то . Это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: (4; 2), (−4; −2).

П-3

Замечание -2ое-«З»: xy0

Задание -1-3 (первое –«З»)

Заключение -3-ье-«З»: решение, (если треб. проверить), ответ

Решение. Так как , то систему можно записать в виде

Если , то из второго уравнения следует, что y = 0, что невозможно.

Если , то из второго уравнения системы следует, что или откуда y = −2 (уравнение не имеет действительных корней). Итак,

Ответ: (4; −2).

Задание -1-3 (первое –«З»)

П-4

Замечание -2-ое-«З»: Разложить на множители

Заключение -3-ье –«З»: решение, (если треб. проверить), ответ

Решение. Второе уравнение исходной системы равносильно каждому из уравнений

а) Если , то из первого уравнения исходной системы получаем , откуда следует, что либо y = 0, либо x = −9. Но если y = 0, то x = 0, а при x = 0 уравнение (1) теряет смысл. Итак, x = −9, y = = 81.

б) Если , то . Из первого уравнения системы находим

или

откуда

Пусть x = −5, тогда откуда .

Пусть x = 1, тогда Это уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, система имеет три действительных решения: (−9; 81), , .

Ответ: (−9; 81), , .

Указание. Решить каждое из уравнений системы как квадратное относительно x или y. Тогда исходная система преобразуется к виду

и равносильна совокупности четырех систем линейных уравнений.

Ответ: (−2; 0), (−3; 3), (−4; 2).

Решение. Пусть , тогда

откуда:

Поэтому исходная система примет вид

откуда

Так как u ≥ 0, то u = 4, то есть

откуда

Ответ: (−4; 20).

П-6 б) Решить уравнение:

= х

Решение

Возведём обе части уравнения в третью степень:

- 3 +3 –

- = х³

Получим: 14-3 • • ( - = х³

14-3 • х = х³

х³ +3х – 14 =0;

Разложим на множители левую часть уравнения.

Делители свободного члена (-14):

Методом подбора найдём корень: х=2

Разделим х³ +3х – 14 на х-2, получим (х-2) • (х² +2х +7) =0

х² +2х +7=0 – не имеет корней, Д0

Проверка

х=2, 8+6-14=0, 14=14 –верно. Ответ: х=2

Решение. Область определения уравнения – множество точек таких, что

Преобразуем первое уравнение системы так:

,

1) Если то

(2)

Из (2) и второго уравнения системы получаем или

откуда , так как Тогда Отсюда и из (2) находим

Так как то то

Пара чисел удовлетворяет условиям (1).

2) Если то и

, а из второго уравнения находим Поэтому

,

(не удовл.),

Пара чисел (12; −2) – решение исходной системы.

Ответ: (12; −2).

8. Решить систему уравнений с тремя неизвестными.

Решение. (Заменой переменных).

Обозначим и запишем исходную систему в следующем виде (1)

Сложив уравнения системы (1) и обозначив получим уравнение , откуда

Подставляя найденные значения суммы в систему (1), найдем искомые значения

Если то

Аналогично, если

Ответ:

9. Решить систему уравнений с тремя неизвестными.

Решение. Складывая уравнения попарно, получим систему

равносильную исходной системе. Перемножим уравнения этой системы и обозначим тогда , или

откуда

Если откуда

Если откуда

Ответ:

10.

Решение. Вычитая из первого уравнения второе, получим

Разложим на множители левую часть уравнения:

(1)

Заметим, что исходная система равносильная системе, состоящей из ее первого и третьего уравнений и уравнения (1), равносильная также совокупности трех систем, получаемых присоединением к первому и третьему уравнениям соответственно уравнений: (2) (3) (4)

1) Подставляя из уравнения (2) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

(5)

Если или то из (5) следует, что 0 = 3.

Если , то из (5) находим

В этом случае система имеет два решения

2) Подставляя (см. (3)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем

(6)

Если то из уравнения (6) следует, что 0 = 3.

Если то из уравнения(6) находим

В этом случае система имеет решения

3) Подставляя (см. (4)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем:

Если то из уравнения (7) следует, что 0 = 3.

Если то из уравнения(7) находим

В этом случае система имеет два решения

Ответ:

Системы, содержащие логарифмы

11 а).

которые удовлетворяют неравенству

Решение. Потенцируя, получаем систему

(1)

которая является следствием исходной системы.

а) Пусть и, с учетом условия из первого уравнения системы (1) получаем

Тогда второе уравнение этой системы преобразуется к виду откуда

Здесь для не выполняется условие а для пары не выполняется условие

б) Пусть тогда из системы (1), с учетом условия , получаем , а из второго уравнения следует, что откуда

11 б). Решите систему уравнений:

Решение. Первое уравнение системы можно записать в виде

а множество допустимых значений определяется условием (1)

При выполнении условия (1) исходная система равносильна системе

(2)

а система (1)−(2) равносильна совокупности двух систем

(3)

(4)

Исключая из системы (3), получаем уравнение не имеющее действительных корней. Поэтому система (3) не имеет действительных решений.

Из системы (4) получаем уравнение имеющее корни

Поэтому исходная система имеет два решения:

. Ответ:

Выводы

1. Рассмотрели основные понятия алгебраических систем уравнений, различные методы и способы их решения.

2. Выяснили, в чем состоит процесс решения систем уравнений, определили общие средства перехода к равносильной системе.

3. При решении алгебраических систем уравнений применили как распространенные преобразования и способы, так и другие методы, связывающие новые с традиционными.

Заключение.

Наша школьная математика – это огромный потенциал для использования различных методов и способов для решения нестандартных систем алгебраических уравнений с несколькими переменными, как на уроках, так и на олимпиадах, конкурсах и ЕГЭ.

Литература

1. Варианты вступительных экзаменов МФТИ. 1996-2002 г.

2. Учебник-С. М. Никольский, .. 9-10 Кл., 2005-2010 г.

3. В. Н. Дятлов. Этюд №3 Уравнения и системы уравнений. 2013 г.

5