Дополнительная образовательная программа по математике

Пояснительная записка

Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Исторически сложились две стороны назначения математического образования: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и духовная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразования мира математическим методом.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие научных знаний, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, пользоваться общеупотребительной вычислительной техникой, находить в справочниках и применять нужные формулы, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. В послешкольной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И, наконец, все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и многое другое). Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.

Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в ее современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, его отличиях от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, усвоению идеи симметрии. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. История развития математического знания дает возможность пополнить запасы историко–научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.

Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:

- овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

- интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

- формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

- формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому человеку, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования

Наряду с решением основной задачи изучение данного курса предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовкой к Единому Государственному Экзамену (ЕГЭ).

Есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности.

Для решения таких задач лучше применять не традиционные методы, а приёмы, которые не совсем привычны для учащихся.

В данном курсе систематизирован ряд таких приёмов. Приводятся методы решения уравнений и неравенств, основанные на геометрических соображениях, свойствах функций (монотонность, ограниченность, четность), применение производной и т.д.

Цели курса :

1. Организовать подготовку учащихся к ЕГЭ;

2. Рассмотреть некоторые нестандартные приемы решения задач;

3. Рассмотреть нестандартные методы решения математических задач;

4. Восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность;

5. Помочь осознать степень интереса учащихся к предмету и оценить возможность овладения им  с точки зрения дальнейшей перспективы.

Задачи курса :

1. Рассмотреть тестовую систему экзамена, разобрать задачи, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет;

2. Научить учащихся решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем ,сложности, осуществляя при подготовке дифференцированный и интегрированный подход;

3. Помочь учащимся овладеть рядом математических умений на уровне их свободного использования;

4. Дать возможность учащимся овладеть навыками решения тестовых заданий.

Данный курс ставит своей целью познакомить учащихся с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы методами решения, казалось бы, трудных задач, проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний, привить ученику навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении задач.

Спецкурс состоит из шести глав:

1. Алгебраические уравнения и неравенства.

2. Алгебраические системы.

3. Производная. Применение производной.  

4. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули.

5. Решения уравнений и неравенств с использованием свойств, входящих в них функций.

6. Текстовые задачи на движение, работу, смеси и сплавы, проценты, с целыми неизвестными. 

Программа курса рассчитана на 68 часов. В этот объём, безусловно, входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых учащимися предусмотрено требованиями программы для профильных физико-математических классов. Но, учитывая формат ЕГЭ, ряд этих умений пригодится и ученикам академического (многопрофильного) класса. Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач, правильно пользоваться математической терминологией и символикой, применять рациональные приёмы вычислений и тождественных преобразований, использовать наиболее употребительные эвристические приёмы и т.д.

Следует иметь в виду, что требования к знаниям и умениям учащихся при изучении данного курса ни в коем случае не должны быть завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведёт к угасанию интереса к математике.

 Изучение курса предполагает прежде всего наполнение его разнообразными, интересными и сложными задачами, овладение нестандартными приёмами решения уравнений, неравенств, систем уравнений. Значительное место должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям ЕГЭ (часть 2).

Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной математической деятельности учащихся – решению задач в формате ЕГЭ различного уровня сложности. Очень важно организовать дифференцированный подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможностей каждого из них.

Содержание программы

Глава 1. Алгебраические уравнения и неравенства.  

 Разложение многочлена на множители :

1. Применение формул сокращенного умножения;

2. Выделение полного квадрата;

3. Метод группировки;

4. Метод неопределённых коэффициентов;

5. Подбор корня многочлена по его старшему и свободному коэффициентам;

6. Метод введения параметра;

7. Метод введения новой неизвестной;

8. Комбинирование различных методов: симметрические уравнения третьей, четвёртой степени, возвратные уравнения, искусственные способы решения алгебраических уравнений: умножение уравнения на функцию, угадывания корня уравнения, использование симметричности уравнения. Обобщенный метод интервалов.

Глава 2. Алгебраические системы 

Системы уравнений и неравенств, возникающие из текстовых задач. Нестандартные алгебраические системы.

Глава 3. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули 

1.Уравнения и неравенства, содержащие неизвестную величину под знаком радикала,

2. умножение уравнения или неравенства на функцию,

3.уравнения и неравенства, содержащие неизвестную величину в основании логарифмов, 4.уравнения и неравенства, содержащие неизвестную величину в основании и показателе степени

5., метод декомпозиции,

6. уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины, 7.раскрытие знаков модулей,

8.использование свойств абсолютной величины.

Глава 4. Текстовые задачи

Задачи на движение, работу, проценты, смеси, сплавы, с целыми неизвестными.

Глава 5. Производная. Применение производной.

1. Вычисление производных

2. Геометрический смысл производной

3. Уравнение касательной к графику функции

4. Применение производной для решения задач на оптимизацию.

Глава 6. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций 

Применение основных свойств функций:

1. Использование ОДЗ

2. Использование ограниченности функций

3. Использование монотонности функций

4. Использование графиков функций

5. Метод интервалов для непрерывных функций.

Решение некоторых уравнений и неравенств сведением их к решению систем уравнений или неравенств относительно той же неизвестной:

1. Использование ограниченности функций

2. Использование свойств синуса и косинуса

3. Использование числовых неравенств.

Применение производной:

1. Использование монотонности функции

2. Использование наибольшего и наименьшего значений функции.

Методическое содержание программы

Глава 1. Алгебраические уравнения и неравенства 

Основная цель: 

1. познакомить учащихся с различными методами разложения многочлена на множители; с нестандартными методами решения алгебраических уравнений;

2. обобщить метод интервалов для неравенств;

3. привить навыки работы в группах, паре.

В результате изучения данной главы ученик должен

знать: 

1. различные нестандартные методы разложения многочлена на множители;

2. определения симметрических и возвратных уравнений, их методы решения;

3. некоторые нестандартные методы решения алгебраических уравнений

4. обобщённый метод интервалов для неравенств.

уметь: 

1. раскладывать многочлены нестандартными методами

2. решать симметрические уравнения третьей, четвёртой степени, возвратные уравнения;

3. решать неравенства обобщённым методом интервалов;

4. применять некоторые искусственные методы для решения алгебраических уравнений.

Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроках, ЕГЭ, олимпиадах.

Глава 2 . Алгебраические системы.

Основная цель: обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися способом замены неизвестных при решении уравнений в нестандартных ситуациях; ознакомить учащихся с методом решения некоторых уравнений сведением их к решению систем уравнений относительно новых неизвестных.

В результате изучения данной главы ученик должен

знать: 

1. метод замены неизвестных различными способами при решении уравнений;

2. метод сведения некоторых уравнений к системе уравнений относительно новых неизвестных.

уметь: 

1. при помощи замены неизвестных рациональное уравнение сводить к алгебраическому или более простому рациональному уравнению;

2. в некоторых случаях решение уравнения сводить к решению системы уравнений относительно вводимых новых неизвестных.

Использовать приобретённые знания и умения при решении нестандартных уравнений.

Глава 3. Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули 

Основная цель: формировать умение решать уравнения и неравенства, содержащие неизвестную под знаком радикала, в основании логарифмов, в основании и показателе степени, под знаком абсолютной величины.

В результате изучения данной главы ученик должен

знать: 

1. основные приёмы решения уравнений и неравенств, содержащих  радикалы, степени, логарифмы и модули;

2. при решении неравенства надо следить за равносильностью преобразований;

3. при решении уравнения надо либо следить за равносильностью преобразований на ОДЗ исходного уравнения, либо в конце решения надо делать проверку.

уметь: 

1. объяснять равносильность преобразований;

2. правильно применять наиболее употребляемые формулы;

3. пользоваться изученными приёмами решений уравнений и неравенств.

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности на уроках, при подготовке к ЕГЭ.

Глава 4. Текстовые задачи 

Основная цель: развивать умение решать задачи на составление уравнения, системы уравнений или неравенств, воспитывать умение работать в паре, развивать логическое мышление, умение говорить.

В результате изучения данной главы ученик должен

знать: 

1. решение любой текстовой задачи складывается из трёх основных моментов: а) удачного выбора неизвестных; б)составления уравнений и формализации того, что требуется найти; в) решения полученной системы уравнений и неравенств;

2. в задачах на движение за неизвестные, как правило, надо принимать расстояние, скорость; в задачах на работу – производительность; в задачах на смеси, сплавы – либо вес, либо концентрацию.

уметь: 

1. записывать словесные условия при помощи уравнений или неравенств

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.

Глава 5. Производная. Применение производной.

Основная цель: повторить правила дифференцирования; рассматривать задачи из открытого банка заданий к ЕГЭ на применение производной (часть 1)

В результате изучения данной темы ученик должен

знать: 

1. таблицу производных

2. правила дифференцирования

3. геометрический смысл производной

4. уравнение касательной к графику функции (общий вид)

уметь: 

1. вычислять производные

2. использовать геометрический смысл производной для решения задач в формате ЕГЭ

3. составлять уравнений касательной

4. решать задачи на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности для подготовки к ЕГЭ.

Глава 6. Решение уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций 

Основная цель: познакомить учащихся с некоторыми приёмами решения уравнений и неравенств с использованием свойств входящих в них функций, показать применение производной при решении уравнений или неравенств. Обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых для формирования качеств мышления с целью углубления и расширения знаний учащихся.

В результате изучения данной главы ученик должен

знать: 

1. основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;

2. о применении производной при решении уравнений и неравенств.

уметь: 

1. объяснять, на основе какого свойства функции решаются уравнение или неравенство;

2. применять производную для доказательства свойства функции, входящей в уравнение или неравенство.

Использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности при подготовке к ЕГЭ.

Организация проведения аттестации учащихся:

Уровень достижений учащихся определяется в результате:

1. наблюдения активности на практикумах;

2. беседы с учащимися;

3. предстоящего ЕГЭ

Основные формы организации учебных занятий :

1. лекция

2. объяснение

3. практические работы

4. выполнение тренировочных упражнений

5. работа в малых группах

Формы контроля :

1. проверка самостоятельно выполненных заданий

2. групповая и индивидуальная работа над решением заданий

3. тестирование

Учебно-тематическое планирование

№ п/п	Название темы	Количество часов
	Алгебраические уравнения и неравенства	14
1	Разложение многочлена на множители	1
2	Разложение многочлена на множители	1
3	Разложение многочлена на множители	1
4	Разложение многочлена на множители	1
5	Симметричные и возвратные уравнения	1
6	Симметричные и возвратные уравнения	1
7	Симметричные и возвратные уравнения	1
8	Симметричные и возвратные уравнения	1
9	Некоторые способы решения алгебраических уравнений	1
10	Некоторые способы решения алгебраических уравнений	1
11	Решение алгебраических неравенств	1
12	Решение алгебраических неравенств	1
13	Решение алгебраических неравенств	1
14	Итоговое занятие	1
	Алгебраические системы	6
15	Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций	1
16	Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций	1
17	Решение систем уравнений повышенной сложности	1
18	Решение систем уравнений повышенной сложности	1
19	Решение систем уравнений повышенной сложности	1
20	Итоговое занятие	1
	Уравнения и неравенства, содержащие радикалы, степени, логарифмы и модули	26
21	Решение тригонометрических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
22	Решение тригонометрических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
23	Решение тригонометрических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
24	Решение иррациональных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
25	Решение иррациональных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
26	Решение иррациональных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
27	Решение иррациональных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
28	Решение показательных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
29	Решение показательных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
30	Решение показательных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
31	Решение показательных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
32	Решение показательных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
33	Решение показательных уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
34	Решение логарифмических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
35	Решение логарифмических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
36	Решение логарифмических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
37	Решение логарифмических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
38	Решение логарифмических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
39	Решение логарифмических уравнений и неравенств в формате ЕГЭ	1
40	Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля в формате ЕГЭ	1
41	Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля в формате ЕГЭ	1
42	Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля в формате ЕГЭ	1
43	Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля в формате ЕГЭ	1
44	Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля в формате ЕГЭ	1
45	Решение уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля в формате ЕГЭ	1
46	Итоговое занятие	1
	Текстовые задачи	6
47	Задачи на движение	1
48	Задачи на совместную работу	1
49	Задачи на проценты	1
50	Задачи на смеси и сплавы	1
51	Задачи на смеси и сплавы	1
52	Итоговое занятие	1
	Производная. Применение производной	8
53	Вычисление производных	1
54	Вычисление производных	1
55	Геометрический смысл производной	1
56	Геометрический смысл производной	1
57	Уравнение касательной к графику функции	1
58	Уравнение касательной к графику функции	1
59	Применение производной к решению задач	1
60	Применение производной к решению задач	1
	Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций	8
61	Применение основных свойств функций	1
62	Применение основных свойств функций	1
63	Применение основных свойств функций	1
64	Применение основных свойств функций	1
65	Решение уравнений и неравенств путём сведения к решению систем уравнений или неравенств относительно той же переменной	1
66	Решение уравнений и неравенств путём сведения к решению систем уравнений или неравенств относительно той же переменной	1
67	Применение производной	1
68	Итоговое занятие	1

Литература

1. Белоносов В.С., Фокин М.В. Задачи вступительных экзаменов по математике. – Новосибирск: Изд-во Новосибирского университета: Сиб. унив. изд-во, 2002.

2. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Начала анализа. – М.: Наука, 1990.

3. Куланин Е.Д., Норин В.П., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: Рольф, 1999.

4. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы. – М.: Дрофа, 2001.

5. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике. – М.: Столетие, 1995.

6. Ткачук В.В. Математика абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2001.

7. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989.

8. Материалы для подготовки к ЕГЭ-2013. Открытый банк заданий.

9. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Разноуровневые дидактические материалы.

10. КИМы для подготовки к экзамену выпуска 2013 .

11.  Ресурсы интернета.