kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Модули. Решение уравнений.

Нажмите, чтобы узнать подробности

Материал предназначен для учащихся 9-11 классов. Работа содержит краткую теорию и подробный разбор решения уравнений содержащих модули. Ознакомившись с данной работой учащиеся приобретут навыки и умения решать  уравнения различного уровня сложности, содержащие модули и смогут проверить усвоение своих знаний. 

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Модули. Решение уравнений. »

Модули. Решение уравнений. Плотникова Надежда Михайловна

Модули. Решение уравнений.


Модулем действительного числа а (абсолютной величиной числа а) называют расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета и обозначают │а│.

Основные свойства модуля

1.

2.

3.

4.

5. ,

6.

7.

8.

9.

10.

Решение уравнений


При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, применяются чаще всего следующие методы:

  • раскрытие модуля по определению;

  • возведение обеих частей уравнения в квадрат;

  • метод разбиения на промежутки.


Пример 1.

Решение : 2х-3=5 или 2х-3=-5

х=4 х=-1

Ответ: -1; 4.

Пример 2.

Решение: х2 - х = 6 или х2 – х = -6

х2 – х – 6 = 0 х2 – х + 6 = 0

х1=-2; х2=3 корней нет

Ответ: -2;3.

Пример 3.

Решение: х2 + х + 1 = 0

корней нет, так как дискриминант уравнения меньше нуля.

Ответ: корней нет.

Пример 4.

Решение: корней нет, так как -2

Ответ: корней нет.

Пример 5.

б). | x2–8 |= 1

x2–8 = 1 или x2–8 = –1

x2=9; x2=7

х1,2=± 3 х3,4 = ±

Ответ: ± 3; ± .


Алгоритм решения уравнения

1 способ. По определению модуля действительного числа уравнение равносильно совокупности

2 способ. Уравнение равносильно смешанной системе


Пример 5.

Решение:

Ответ: -1.


Пример 6.

Решение:

Ответ: -3; 1; 3.

Пример 7.

Решение:

Ответ: -3;3.



Алгоритм решения уравнения .

1 способ. Уравнение вида равносильно совокупности систем

2 способ. Воспользуемся четностью функции . Нули этой функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а – корень, х = -а -тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные найденным корням.

Пример 1.

Решение:

Ответ: -2;2.

Пример 2.

Решение:

Ответ: -2;2.


Пример 3.

Решение: Ответ: корней нет.






Алгоритм решения уравнения .

Уравнение данного вида равносильно совокупности

Пример 4.

Решение:

Ответ:


Пример 4.1. Решить уравнение 2х-3 = х+7.

Решение. Так как обе части уравнения неотрицательны, то при возведении в квадрат обеих частей, получим уравнение равносильное данному.

Теорема. Если обе части уравнения f1(x) = f2(x), где f1(x) f2(x) 0, при всех значениях переменной из области определения уравнения (неравенства), возвести в одну и ту же натуральную степень n , то получится уравнение

(f1(x))n = (f2(x))n равносильное данному:

(2х-3)2=(х+7)2. Получили квадратное уравнение, решая которое находим

х1 = 10, х2 = -43.

Замечание. 1. Уравнение вида f(x) = b, где b действительное число,

при b  0 решений не имеет;

при b = 0 равносильно уравнению f(x) = 0;

при b  0 равносильно совокупности уравнений f(x) = b, f(x) = -b.

2. Уравнение вида f1(x) = f2(x) равносильно уравнению (f1(x))2 = (f2(x))2



Пример 5.

Решение:

Ответ: 2.


Алгоритм решения уравнения

Уравнение данного вида равносильно системе

Пример 6.

Решение:

Ответ: 2.




Алгоритм решения уравнения

Для решения уравнения выполним следующую последовательность шагов:

  • найдем нули всех подмодульных выражений;

  • отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;

  • на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражения и раскроем модули по определению;

  • составим и решим совокупность смешанных систем.


Пример 7.

Решение: 1)

2)


х

-1≤х

х≥3

х-3

-

-

+

х+1

-

+

+


3)

Ответ: -1.

Пример 8.

Решение: 1)

2)


х

-2≤x

x≥3

x+2

-

+

+

x-3

-

-

+

3)

Ответ: .


Пример 8.1. Решить уравнение 3-х- х+2 = 5.

Решение.

  1. Найдем значения переменной, обращающие в нуль выражения стоящие под знаком модуля, для чего решим уравнения 3-х=0 и х+2=0, откуда получаем х1= 3, х2= -2.

  2. Нанесем эти значения на числовую прямую, тем самым, разбив ее на три промежутка.

-2 3

  1. Определим знак каждого из выражений, стоящих под знаком модуля на каждом из полученных промежутков числовой прямой:


3-х + + -

х+2 - -2 + 3 +

  1. Решим уравнение с учетом полученных знаков на каждом промежутке числовой прямой:

    1. если х -2, имеем уравнение 3-х + х+2= 5, решив его получим верное числовое равенство 5 = 5, которое не зависит от переменной, но так как мы рассматривали это уравнение только для х -2, то первоначальному уравнению будут удовлетворять только х -2.

    2. если -2 х 3, имеем уравнение 3 - х – х – 2 = 5, решив его, получим х=-2, причем –2 входит в рассматриваемый промежуток.

    3. если х 3, имеем уравнение -3 + х – х -2= 5, решая его, получим числовое равенство -5 = 5, которое ни при каких значениях неизвестных не является верным.

  2. Объединим решения найденный на каждом из промежутков: из п.1 имеем промежуток (-; -2); из п.2 имеем х = -2.

  3. Ответ: (-; -2.


Пример 9.

Решение:

Ответ:





Самостоятельная работа. Часть 1.


I вариант

II вариант

Решите уравнения:

1)

1)

2)

2)

3)

3)

4)

4)

Ответы: I вариант. 1)4; -2; 2)4; 3)нет корней; 4) 1.

II вариант. 1)-1;-7/3; 2)4; 3)нет корней; 4)4;1+√3.


Самостоятельная работа. Часть 2.


I вариант

II вариант

Решить уравнения:

Ответы: I вариант.

II вариант.











4



Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Прочее

Целевая аудитория: 11 класс

Скачать
Модули. Решение уравнений.

Автор: Плотникова Надежда Михайловна

Дата: 17.06.2014

Номер свидетельства: 106306

Похожие файлы

object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(133) "программа элективного курса - решение уравнений и неравенств с модулями "
    ["seo_title"] => string(80) "proghramma-eliektivnogho-kursa-rieshieniie-uravnienii-i-nieravienstv-s-moduliami"
    ["file_id"] => string(6) "181795"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1425396401"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(185) "Конспект занятия "Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля, методом промежутков" "
    ["seo_title"] => string(116) "konspiekt-zaniatiia-rieshieniie-uravnienii-sodierzhashchikh-nieizviestnoie-pod-znakom-modulia-mietodom-promiezhutkov"
    ["file_id"] => string(6) "104156"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402672337"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(68) "Решение уравнений содержащих модуль "
    ["seo_title"] => string(45) "rieshieniie-uravnienii-sodierzhashchikh-modul"
    ["file_id"] => string(6) "223736"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1438086022"
  }
}
object(ArrayObject)#874 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(145) "«Метод интервалов для решения уравнений и неравенств с несколькими  модулями» "
    ["seo_title"] => string(86) "mietod-intiervalov-dlia-rieshieniia-uravnienii-i-nieravienstv-s-nieskol-kimi-moduliami"
    ["file_id"] => string(6) "206312"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1430149417"
  }
}
object(ArrayObject)#852 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(97) "Построение графиков функций, содержащих знак модуля "
    ["seo_title"] => string(61) "postroieniie-ghrafikov-funktsii-sodierzhashchikh-znak-modulia"
    ["file_id"] => string(6) "182303"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1425488789"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

Распродажа видеоуроков!
1580 руб.
2260 руб.
1680 руб.
2400 руб.
1860 руб.
2660 руб.
1850 руб.
2640 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Проверка свидетельства